1934’te psikolog Max Wertheimer, arkadaşı Albert Einstein’a bir mektup gönderdi. Bu mektupta bulanan bir soru Einstein’ı uzun süre uğraştıracaktı. Üstelik bu soru evrenin sırları ile ilgili de değildir. Temelinde basit bir matematik problemiydi.
Einstein’ı uğraştıran bu sorunun detaylarına geçmeden önce kısaca bir bilgi. Albert Einstein (1879–1955) ve Max Wertheimer (1880–1943), yakın arkadaşlardı. Einstein, o sıralarda daha sonraları Max Planck Fizik Enstitüsü olarak yeniden adlandırılacak olan kurumun müdürüydü. Max Wertheimer ise sonrasında Gestalt psikolojisi olarak adlandırılacak kuram üzerine çalışmalarını sürdürüyordu.
İkisi iletişimlerini genellikle mektuplaşarak sürdürüyordu. Sonunda bir gün Max Wertheimer, arkadaşı Einstein’a aşağıdaki soruyu yolladı. Einstein mektubu aldığında Nobel Fizik Ödülü’ne layık görülmüştü ve ünlü E = mc2 denklemini bulmuştu. Bu nedenle soruyu anlamasının ve cevaplamasının çok kolay olacağını düşünebilirsiniz. Ancak görünüşe göre sonuç hiç de öyle olmayacaktı.
Einstein’ı Şaşırtan Soru Neydi?
Eski bir araba ile evinize gitmek istediğinizi varsayalım. Yolunuzun üzerinde karşınıza bir tepe çıkıyor. Bu tepe boyunca arabanızla 1 km çıkmanız sonrasında da 1 km inmeniz gerekiyor. Sonuçta eski bir araba kullanıyorsunuz. Bu nedenle arabanız tepeyi saatte 15 km hızla çıkabiliyor. Ancak iniş esnasında da daha hızlı gitmesi mümkün. Soru şu: Toplamda 2 kilometrelik bu yolculuk boyunca arabanın hızının ortalama 30 km/sa olması için arabanın yokuş aşağı hızı ne kadar olmalıdır?
Bu soruyu sorduğunuz kişinin vereceği ilk cevap muhtemel saatte 45 km biçiminde olacaktır. Eğer siz de cevabı 45 bulanlardansanız anımsatalım. Ortalama hız hesabı aritmetik ortalama ile aynı şey değildir. Yani 15+45=60, 60:2=30 işlemi ile cevabı bulamazsanız.
Einstein mektubu aldığında ünlü bir fizikçiydi. Sonuçta bunun gibi bir soruyu kafadan çözmesi onun için çok kolay olmalıydı. Ancak eline kağıt kalem alıp hesaplama yapana kadar doğru cevabı bulamayacaktı. Sonrasında da başlangıçta hatalı düşündüğünü arkadaşına itiraf edecekti.
Soruyu Çözerken Hangi Mantık Hatasını Yapıyoruz?
Arabamız toplamda 2 kilometrelik bir yolu belli bir zamanda gidecek. Ayrıca arabamızın ortalama hızının 30 olmasını istiyoruz. Bildiğimiz gibi gidilen yol, zaman ile hızın çarpımı ile bulunur. Bu durumda yolumuz 2 kilometre, ortalama hızının da 30 olduğuna göre, bu yolculuk için harcadığımız zaman 2/30 yani 1/15 saat olacaktır. Bunu 1 saate böldüğümüzde ise 60/15’ten 4 dakika sonucuna ulaşırız. Yani araba 2 kilometrelik yolu ortalama 30 km/sa hızla giderek 4 dakikada aşmaktadır.
Şimdi arabanın tepeyi çıkmak için ne kadar süre harcadığına bakalım. Sonucunda arabamız 1 kilometre uzunluğundaki tepeyi 15 km hızla belli bir zamanda alıyor. Yukarıdakine benzer bir hesaplama daha yapmamız lazım. Bu durumda da bu yolculuk için gerekli süre yine 2/30 yani 1/15 saat yani 4 dakika olacaktır.
İki sonucunda aynı çıkması bizi ilginç bir sonuca götürüyor. Arabamız sahip olduğu 4 dakikanın tamamını tepeyi çıkarken harcamıştır. Sonuçta bu durumda tepeden aşağı inmek için yeterli zamanı yoktur. Buradan anlamanız gereken aslında doğru bir cevap olmadığıdır.
Sorunun cevabı olmadığını harmonik ortalama ile de gösterebiliriz. Harmonik ortalama formülü aşağıdaki gibidir. Bu formül ortalama hız, verimlilik gibi oranların ortalaması alınması gerektiği zamanlarda işimize yarar. Formülde x1, x2, … , xn hızı ve n zamanı göstermektedir. H=30, n=2 ve x1=15 cevaplarını yerine yerleştirdiğimizde x2 cevabının sıfır olması gerektiğini göreceksiniz.
Yani Wertheimer, Einstein‘a aslında hileli bir bulmaca göndermişti. ( Ya da biz sadece internette yayınlanan bilgilerin kurbanıyız. Çünkü bu bulmaca çok sayıda web sitesinde yayınlansa da Einstein ile ilgisi olup olmadığını teyit etmemiz mümkün değil.) Ancak Einstein’ı şaşırtan soru adı ile yayılan bu bulmaca bize sezgilerimize fazla da güvenmememiz gerektiğini anımsatıyor.
Kaynaklar ve ileri okumalar:
- A Simple Riddle That Nearly Fooled Albert Einstein! Bağlantı: A Simple Riddle That Nearly Fooled Albert Einstein!
- Can You Solve the Simple Math Problem That Fooled Einstein? Yayınlanma tarihi: 9 Mart 2020. Kaynak site: Popular Mechanics. Bağlantı: Can You Solve the Simple Math Problem That Fooled Einstein/
- Gerd Gigerenzer; Risk Savvy: How to Make Good Decisions; Penguin Books
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak veya Patreon üzerinden ufak bir bağış yaparak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
