Matematikte sorulan sorulara net cevaplar verilir. Ancak 2000 yılında popüler hale gelen ve o günden beri matematikçileri ve filozofları ikiye ayıran, Uyuyan Güzel problemi için ne yazık ki henüz net bir cevabımız yok.
Bu problemin çözümüne dair 100’den fazla yayın yapılmış durumda. problem Hemen herkesin kendine göre bir fikri olduğu anlaşıldı. Sorun felsefi literatürde ilk yer aldığında cevabın 1/2 olduğu savunulacaktı. Ancak daha sonrasında da 1/3 cevabı geldi. O günden beri de cevabın bunlardan hangisi olduğu konusunda net bir fikir birliği yok. Bu nedenle de size kesin cevabı sunamasak da problemi ve ilgili cevapların hesaplanma biçimlerini aktaralım.
Uyuyan Güzel Problemi Nedir?
Bu problem temelinde bir olasılık sorusudur ve bir düşünce deneyini ele alır. Bu deneyde araştırmacılar bir araya gelip Uyuyan Güzel üzerinde bir deney yapmaya karar verirler. Sonrasında da kendisini bu deneye katılmaya davet ederler. Uyuyan Güzel de bunu kabul eder ve deney başlar.
Deney kapsamında kendisine Pazar günü bir uyku ilacı verilir ve uykuya dalması sağlanır. Ancak öncesinde deney hakkında bilgi verirler. Deneycilerden biri daha sonra adil bir para ile yazı tura atar. Eğer tura gelirse Pazartesi günü Uyuyan Güzel’i uyandırırlar, sonrasında da kendisine paranın tura gelme olasılığının ne olduğunu sorarlar. Bu biçimde deney sona erer.
Ancak yazı gelirse bilim insanları Pazartesi günü Uyuyan Güzel’i uyandırır. Aynı soruyu sorarlar, daha sonra bir biçimde hafızasını silerler ve başka bir uyku hapı vererek yeniden uyumasını sağlarlar. Salı günü tekrar uyandırırlar. Devamında da soruyu bir kere daha sorarlar. Böylece deney sona erer.
Burada önemli olan uyku ilacı yüzünden Uyuyan Güzel’in daha önce uyandırılıp uyandırılmadığına dair bir fikrinin olmamasıdır. Bu yüzden uyandığında o günün Pazartesi mi Salı mı olduğunu ayırt edemez. Deneyi yapanlar Uyuyan Güzel’e yazı tura atmanın sonucunu ya da günü söylemezler.
Kendinizi Uyuyan Güzel’in yerine koyun: Bir deneye tabii olduğunuzu ve birilerinin size deney kapsamında bazı sorular soracağını biliyorsunuz. Ancak uyandığınız zaman hangi gün olduğunu ya da daha önce uyandırılıp uyandırılmadığınızı bilmiyorsunuz. Cevabınız ne olurdu?
Uyuyan Güzel Problemine Verilen Olası Cevaplar
Sezgisel olarak vereceğiniz cevap 1/2 olacaktır. Sonucunda hilesiz bir madeni paranın tura gelme olasılığı her durumda 1/2’dir. Uyuyan Güzel uyandığında, günün hangi gün olduğunu bilmez (Pazartesi ya da Salı), ama madeni para bu gerçeği umursamaz. Ancak hangi gün uyanırsa uyansın sonuç aynı olacaktır.
Ancak aslında Uyuyan Güzel’in deneyimini düşünürseniz, üç senaryo gerçekleşecektir. Pazartesi günü kendisi tura geldiği için uyandırılacaktır. Aslında yine Pazartesi günü yazı geldiğinde de uyandırılacaktır. Salı günü ise yazı geldiği için uyandırılacaktır. Her olay için olasılıklar nelerdir?
Koşullu olasılıklar hesabına göre, üç değer eşittir. Üç olasılığın hepsinin toplamı 1 olması gerektiğinden, her bir değer ⅓’dür. 2000 yılında Uyuyan Güzel problemini popülerleştiren Princeton Üniversitesi’nden bilim felsefecisi Adam Elga bu sonuca vardı. Argümanını matematiksel olarak sağlam bir şekilde formüle etti.
“Koşullu olasılıklar hesabına göre, üç değer eşittir.” cümlesini tam olarak anlamamış olmalısınız. Bunu şu biçimde açıklayabiliriz. Uyuyan Güzel uyandığında bugünün Pazartesi (M) olduğu söylenirse, Pazartesi/tura (M, T) ve Pazartesi/yazı (M, Y) olma olasılığı tartışmasız eşittir. Bu durumda P(M, T) = P(M, Y) = ½ diyebiliriz. ( Burada P olasılık anlamına gelir.)
Benzer bir biçimde Uyuyan Güzel uyanır ve yazı atıldığını öğrenirse, o gün Pazartesi veya Salı (Tuesday – T) olmalıdır. Bu sefer de P(M, Y) = P(T, Y) = ½ olacaktır. Yazdığımız iki eşitliği bir araya getirirsek, geçişme özelliği sonucunda da P(M, Y) = P(M, T) = P(T, Y) üçlü eşitliğini elde ederiz. Üç olasılığın hepsinin toplamı 1 olması gerektiğinden, her bir değer ⅓’dür.
Bir miktar kafanız karıştı mı? Yalnız değilsiniz. Peki en başta 1/2 olarak düşündüğünüz sonuç konusunda fikriniz değişti mi? Muhtemelen tam olarak değişmese de bir miktar şüphe aklınıza düşmüş olmalıdır. İşte tam da bu nedenle Uyuyan Güzel problemi on yıllardır insanları oyalıyor.
Uyuyan Güzel Probleminin Bu Durumda Cevabı Nedir?
Aslına bakarsanız bu basit matematik problemi, alışılmadık derecede hararetli bir tartışma yarattı. Günümüz seçim tartışmalarına benzer bir biçimde teorisyenler 1/2’ciler ve 1/3’cüler olarak ikiye ayrılmış durumda. Aralarındaki tartışmalar da siyasi tartışmaları aratmıyor. Üstelik her iki taraf da problemi doğru biçimde çözdüklerinden son derece emin. Konu ile ilgili son derece fazla yayın sayısının olması da bu nedenledir.
Cevabın 1/2 olduğunu iddia edenler yapılan deneylerin sayısı üzerinden hareket ediyor. Cevabın 1/3 olduğunu iddia edenler ise Uyuyan Güzel’in uyanma sayısını temel alıyor. Cevap 1/2 diyenler deneyi yapanın bakış açısından, 1/3 diyenler ise Uyuyan Güzel’in bakış açısından hesaplamalarını yapıyor. Sonucunda ortada tek bir problem olsa da her iki kutuptaki matematikçiler iki ayrı problem ile ilgili çalışmalarını sürdürüyor gibi gözüküyor.
Bu problem ilk bakışta Monty Hall problemi veya Bertrand paradoksu gibi diğer olasılık bulmacalarına çok benziyor. Detayları verdiğimiz kaynaklarda da görebileceğiniz gibi bu iki sorunun da temelde birden fazla cevabı bulunuyor. Bununla birlikte, Monty Hall probleminin çözümü standart olasılıksal modelleme teknikleriyle yapılabiliyor. Detaylar için: Değişim Her Zaman İyi Değildir, Monty Hall Problemi Bizi Yanıltabilir
Ancak Bertrand’ın paradoksuna “uygun” bir çözüm arayışı hala devam ediyor. Bu biraz da bu paradoksun iyi tanımlanmamış olmasından kaynaklanıyor. Ancak Bertrand’ın paradoksunun aksine, Uyuyan Güzel problemi en azından benzersiz bir çözüme sahip olacak kadar iyi tanımlanmış gibi görünüyor. Detaylar için: Joseph Bertrand ve Üç Kutu Paradoksu
Sonuç Olarak;
Bu yazıda hangi tarafta olduğumuzu sizlere bildirmeyeceğiz. Zaten amacımız problemin çözümünden ziyade böyle bir problemin varlığından ve arka plandaki tartışmalardan sizleri haberdar etmek. Ancak bu ve benzer problemlerden anlamanız gereken bir şey var.
Gördüğünüz gibi, bu sorunun tek bir cevabı yok. Bu da bize çok ender durumlarda bile olsa, normalde mutlak anlamda ‘nesnel’ doğruyu arayan matematiğin bile bazen birden fazla ‘doğru’ cevaba sahip olabileceğini gösteriyor. Hangi doğruyu kabul edeceğiniz de sizin duygularınız, yetişme tarzınız ve önyargılarınızla ilgili gibi gözüküyor.
Kaynaklar ve ileri okumalar
- Adam Elga, Self-locating belief and the Sleeping Beauty problem, Analysis, Volume 60, Issue 2, April 2000, Pages 143–147, https://doi.org/10.1093/analys/60.2.143
- Why Sleeping Beauty Is Lost in Time. Yayınlanma tarihi: 31 Mart 2016; Bağlantı: https://www.quantamagazine.org/
- Why the ‘Sleeping Beauty Problem’ Is Keeping Mathematicians Awake. Yayınlanma tarihi: 4 Mayıs 2023; Bağlantı: https://www.scientificamerican.com/article/why-the-sleeping-beauty-problem-is-keeping-mathematicians-awake/
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak veya Patreon üzerinden ufak bir bağış yaparak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
