Matematikte sorulara genellikle net cevaplar verilir. Ancak 2000 yılında popüler hale gelen ve o günden bu yana matematikçileri ve filozofları ikiye ayıran Uyuyan Güzel Problemi için henüz kesin bir yanıt bulunmamaktadır.
Bu problemin çözümüyle ilgili 100’den fazla akademik yayın yapılmış durumda. Görünüşe göre, hemen herkesin bu konuda kendine göre bir fikri var.
Problem felsefi literatürde ilk kez ele alındığında, cevabın 1/2 olduğu savunuldu. Ancak daha sonra 1/3 cevabı da ortaya atıldı. O günden beri, bu iki yanıt arasında net bir fikir birliği sağlanamadı. Bu nedenle, kesin bir cevap sunamasak da, problemin yapısını ve her iki çözüm yolunun nasıl hesaplandığını açıklayabiliriz.
Uyuyan Güzel Problemi Nedir?
Uyuyan Güzel Problemi, olasılık teorisi ve karar verme süreçleriyle ilgili tartışmalı bir düşünce deneyidir. 2000 yılında filozof Adam Elga tarafından popüler hale getirilmiştir. Bir grup bilim insanı, Uyuyan Güzel’i bir deneye davet eder. Uyuyan Güzel de bunu kabul eder ve deney başlar. Deney şu şekilde işler:
Pazar günü, Uyuyan Güzel’e bir uyku ilacı verilir ve uyutulur. Uyuyakaldıktan sonra, araştırmacılar adil bir yazı-tura atışı yapar. Eğer tura gelirse, Uyuyan Güzel yalnızca pazartesi günü uyandırılır ve ona paranın tura gelme olasılığı sorulur. Daha sonra deney sona erer.
Eğer yazı gelirse, Uyuyan Güzel pazartesi günü uyandırılır ve yine aynı soru sorulur. Ancak, hafızası silinerek tekrar uyutulur. Salı günü tekrar uyandırılır ve yine aynı soru sorulur. Daha sonra deney sona erer.
Önemli olan, Uyuyan Güzel’in hafızasının silinmesi nedeniyle daha önce uyandırılıp uyandırılmadığını hatırlayamamasıdır. Uyandığında, içinde bulunduğu günün pazartesi mi yoksa salı mı olduğunu bilemez ve yazı mı yoksa tura mı geldiğini bilmesine imkân yoktur.
Şimdi kendinizi Uyuyan Güzel’in yerine koyun. Bir deneye tabi tutulduğunuzu ve belirli sorular sorulacağını biliyorsunuz. Ancak uyandığınızda hangi gün olduğunu ya da daha önce uyandırılıp uyandırılmadığınızı bilmiyorsunuz. Bu durumda, sizce paranın tura gelme olasılığı ne olurdu?
Uyuyan Güzel Problemine Verilen Olası Cevaplar
Sezgisel olarak vereceğiniz cevap 1/2 olacaktır. Sonuçta, hilesiz bir madeni paranın tura gelme olasılığı her durumda 1/2’dir. Uyuyan Güzel uyandığında, günün pazartesi mi yoksa salı mı olduğunu bilmez. Ancak madeni para, bu belirsizliği dikkate almaz.
Ancak Uyuyan Güzel’in deneyimini düşündüğümüzde, üç farklı senaryo gerçekleşir. Pazartesi günü tura geldiği için, Pazartesi günü yazı geldiği için ve Salı günü yazı geldiği için Uyuyan Güzel tekrar uyandırılacaktır. Koşullu olasılık hesabına göre, bu üç olasılık eşittir. Olasılıkların toplamı 1 olması gerektiğinden, her birinin değeri 1/3 olacaktır.
Bunu şöyle açıklayabiliriz: Uyuyan Güzel uyandığında bugünün pazartesi olduğu bilgisi verilirse, Pazartesi/tura (M, T) olasılığı ile Pazartesi/yazı (M, Y) olasılığı eşittir. Yani P(M, T) = P(M, Y) = 1/2 diyebiliriz. (Burada P olasılık anlamına gelir.)
Benzer şekilde, Uyuyan Güzel uyanır ve yazı atıldığını öğrenirse, O günün pazartesi veya salı olması gerekir. Bu durumda P(M, Y) = P(T, Y) = 1/2 olacaktır. İki eşitliği birleştirdiğimizde, P(M, Y) = P(M, T) = P(T, Y) üçlü eşitliğini elde ederiz. Üç olasılığın toplamı 1 olması gerektiğinden, her birinin değeri 1/3 olarak hesaplanır.
Örneğin, madeni parayı 100 kez attığınızı ve 52 kez yazı, 48 kez tura geldiğini düşünelim. Bu durumda, pazartesi/tura senaryosu 48 kez, pazartesi/yazı ve salı/yazı senaryoları ise 52 kez gerçekleşecektir. Salı/yazı durumu her zaman pazartesi/yazıdan sonra geldiği için, üç senaryonun olasılığı eşit olur ve her biri 1/3 olmalıdır. Bu yaklaşıma göre, Uyuyan Güzel uyandığında paranın tura gelme olasılığına 1/3 yanıtını vermelidir.
Bir miktar kafanız karıştı mı? Yalnız değilsiniz. İşte bu yüzden, Uyuyan Güzel problemi on yıllardır matematikçileri ve filozofları ikiye ayırmaya devam ediyor. Aslına bakarsanız, bu basit görünen matematik problemi, alışılmadık derecede büyük bir tartışma yarattı. Üstelik her iki taraf da problemi doğru çözdüğünden tamamen emin.
Uyuyan Güzel Probleminin Bu Durumda Cevabı Nedir?
Cevabın 1/2 olduğunu iddia edenler yapılan deneylerin sayısı üzerinden hareket ediyor. Cevabın 1/3 olduğunu iddia edenler ise Uyuyan Güzel’in uyanma sayısını temel alıyor. Sonuç olarak, ortada tek bir problem olsa da, aslında iki grup da birbirinden farklı iki problem üzerine çalışıyor. Her iki taraf da kendi yaklaşımlarını mantıklı bulduğundan, tartışma yıllardır çözüme kavuşamamıştır.
Bu problem ilk bakışta Monty Hall problemi veya Bertrand paradoksu gibi diğer olasılık bulmacalarına çok benziyor. Bu iki sorunun da birden fazla cevabı var gibi görünmektedir. Ancak, bazı önemli farklar bulunmaktadır.
Monty Hall problemi, standart olasılık teknikleriyle çözülebilen bir sorundur. Başlangıçta sezgisel olarak zorlayıcı görünse de, koşullu olasılık hesaplamaları ile doğru çözüme ulaşmak mümkündür. Bu nedenle, zaman içinde birçok kişi Monty Hall problemini anlamış ve kabul etmiştir.
Ancak Bertrand paradoksuna uygun bir çözüm bulma çabaları hâlâ devam etmektedir. Bunun nedeni, paradoksun iyi tanımlanmamış olmasından kaynaklanmaktadır. Bertrand paradoksunda, farklı yöntemlerle yapılan hesaplamalar farklı sonuçlar vermektedir ve bu durum, olasılık teorisinin yorumlanma biçimine bağlı olarak değişmektedir.
Buna karşın, Uyuyan Güzel problemi en azından benzersiz bir çözüme ulaşmaya yetecek kadar iyi tanımlanmış gibi görünmektedir. Ancak, hangi olasılık yorumunun doğru olduğu konusunda bir fikir birliği olmadığı için, çözüm hâlâ tartışmalıdır.
Sonuç Olarak;
Gördüğünüz gibi, bu sorunun tek bir kesin cevabı bulunmuyor. Bu durum, matematikte nadiren karşılaşılan bir olguyu gözler önüne seriyor. Normalde mutlak ve nesnel doğruları arayan matematik, bazı durumlarda birden fazla “doğru” cevaba sahiptir.
Hangi cevabın doğru kabul edileceği, kişinin bakış açısına, sezgilerine ve hatta yetişme tarzına bağlı olarak değişebilir. Uyuyan Güzel problemi, yalnızca bir olasılık sorusu değil, aynı zamanda bilgiyi nasıl işlediğimiz, nasıl karar verdiğimiz ve belirsizlikle nasıl başa çıktığımız hakkında da önemli ipuçları sunan bir düşünce deneyidir.
Kaynaklar ve ileri okumalar
- Adam Elga, Self-locating belief and the Sleeping Beauty problem. Analysis, Volume 60, Issue 2, April 2000, Pages 143–147, https://doi.org/10.1093/analys/60.2.143
- Why Sleeping Beauty Is Lost in Time. Yayınlanma tarihi: 31 Mart 2016; Bağlantı: https://www.quantamagazine.org/
- Why the ‘Sleeping Beauty Problem’ Is Keeping Mathematicians Awake. Yayınlanma tarihi: 4 Mayıs 2023; Bağlantı: Why the ‘Sleeping Beauty Problem’ Is Keeping Mathematicians Awake./
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
