Dünyanın bir çok yerinde matematikçiler yıllardır üç kulübe problemi ya da elektrik- su-doğal gaz problemi ya da üç ev üç kuyu problemi adı ile bilinen basit bir matematik sorusuna cevap arıyorlar.
Bu sorunun ilk olarak kim tarafından ortaya atıldığına dair elimizde bir bilgi yok. Bulmaca kitapları ile tanıdığımız Sam Loyd, bu problemi 1903’te yayınlamıştı. Ancak bu sorunun çok daha öncesinde var olduğunu ve kendisinin bulmacanın farklı bir versiyonunu yayınladığını düşünüyoruz. Şu anda da problemin farklı versiyonları internette dolaşıyor. Eğer henüz denk gelmediyseniz kısaca aktaralım.
Üç Ev Üç Kuyu Problemi Nedir?
Aslında problem çok basit. Üç tane eviniz ve üç tane de kuyunuz var. Bu kuyulardan her eve giden birer boru döşemek istiyorsunuz. Ancak su borularının hiçbiri birbirinin üzerinden geçmemeli. Bunu yapmanız mümkün müdür?
Problemin diğer versiyonunda da üç tane eviniz ve her eve bağlanması gereken elektrik, su ve doğalgaz hizmetleri vardır. Sorunun devamı aynıdır. Bu hizmetleri evlere bağlarken boruların birbiri ile kesişmemesi mümkün müdür? Bir fikir vermesi için çizime göz atabilirsiniz.
Görselde de gördüğünüz gibi üç ev problemi bu çizimde çözülememiştir. Aslına bakarsanız sizin de yıllarınızı vermemeniz adına baştan söyleyelim. Bu sorunun bir kağıdın üzerinde yani iki boyutta çözümü imkansızdır. Her durumda borulardan sonuncusu daha önceden çizdiklerinizin bir tanesi ile kesişecektir. Bu problemin çözümü ancak torus, Möbius şeridi gibi topolojik yüzeyler üzerinde çözümü olanaklıdır.
Örneğin aşağıdaki şekilde bunun olası bir çözümünü görebilirsiniz. Bunun için öncelikle bulmacayı bir kağıda çizin. Ardından kağıdı bir silindir haline getirin. Sonrasında da aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi ona bir kağıt şerit ekleyin. Bu sayede üç ev ve üç kuyu birbirine bağlanmış olacaktır.
Üç Ev Üç Kuyu Problemini Çözmek Neden İmkansızdır?
Yukarıda da dediğimiz gibi alternatif şekiller üzerindeki olası çözümleri hesaba katmazsak bu problemin iki boyutlu bir düzlemde çözülmesi imkansızdır. Aslında bu da İsviçreli bir matematikçi olan Leonhard Euler, tarafından kanıtlanmıştır.
Aslında onun kanıtlamaya çalıştığı soru günümüzde Königsberg Köprüsü Problemi olarak bilinmektedir. Ancak kendisi bu problemi çözerek matematiğe farkında olmadan çizge/ graf teorisi adı verilen yeni bir çalışma alanı kazandırmıştır. ( Konunun detaylarını merak ederseniz bu yazımızda okuyabilirsiniz. Königsberg Köprüsü Problemi Matematiği Nasıl Değiştirdi?)
Matematikte graf ya da çizge, düğümler ve bu düğümleri birbirine bağlayan kenarlardan oluşan bir tür ağ yapısıdır. Sosyal ağlar, ulaşım ağları veya internet gibi ağlarla çevrili olduğumuz için graf teorisi modern matematikte önemli bir rol oynar. Örneğin aşağıdaki kat planına göz atalım.
Bir grafikte, kenarlar köşeleri birleştirir. Bu yüzden, kat planında neyin nesneleri birbirine bağladığını düşünmemiz gerekiyor. Şimdi odaları köşeler olarak kabul edelim. Odaları birbirine bağlayan kapıları da köşeleri birleştiren bir kenarlar olarak çizelim. Oturma odası, mutfak ve yemek odasının hepsinin üç kapısı var. Dışarıya sadece oturma odası ve mutfaktan erişilebilir ve banyo sadece yemek odasına bağlanır. Bu durumda grafiğimiz aşağıdaki gibi olacaktır.
Gördüğünüz gibi bu matematiksel yapıda kenarlar ( E: edge) ve köşeler ( V: vertex) önemlidir. Ancak kenar, köşe ve Euler adı geçtiği anda bilmeniz gereken bir başka matematiksel kuram daha vardır. Buna Euler karakteristiği denir. Aynı zamanda Euler’in Çokyüzlü Formülü olarak da bilinmektedir.
Euler’in formülü bize şunu söylüyor: V – E + F = 2. Yani köşe sayısı, eksi kenar sayısı artı yüz sayısı her zaman ikiye eşittir. Buradaki 2 sayısı iki boyutlu bir düzlemi temsil etmektedir. Burada V bir köşe, yani grafikteki bir noktadır. E, grafikteki kenarların sayısıdır. Bir kenar 2 köşeyi birleştirir. F, ise grafikteki yüz sayısıdır. Yüz dediğimiz şey kenarlarla sınırlanmış bir bölgedir.
Tüm Bunların Üç Kulübe Problemi İle İlgisi Nedir?
Euler’in formülü bize, örneğin, tam olarak yedi kenarı olan basit bir çokyüzlü olmadığını söyler. Bunu bulmak için karton, makas ve yapıştırıcı ile uğraşmanıza gerek kalmaz. Euler formülünü benzer şekilde kullanarak, on yüzü ve on yedi köşesi olan basit bir çokyüzlü olmadığını da keşfedebiliriz. Anlayacağınız gibi bu mantık matematikçilere bir genelleme yapma şansı sunar ve işlerini kolaylaştırır. Aynı zamanda problemimizi de çözmemize yardımcı olur.
Artık problemimize geri dönebiliriz. Şimdi kulübeler ile kuyuları köşe ( E) olarak kabul edelim. Bunları birleştirmek için kullanacağımız borularımız ise kenar (V) olsun. Bu durumda V= 6 köşe ve E= 9 bulduk. Şimdi bunları yukarıdaki formülde yerine yazalım. Bu durumda 6-9+F=2 işlemini çözersek bu sorunun iki boyutta çiziminin mümkün olması için gerekli yüz sayısının ( F) 5 olması gerektiğini buluruz. .
Bu beş yüzü yukarıdaki görselde gösterildiği gibi çizmeye kalkarsanız, her bir yüzün 4 kenar arasında kalması gerektiğini görürüz. Ayrıca her kenar iki köşe arasında kalmalıdır. Bizim elimizde 5 yüzümüz olduğuna göre 4×5=20 kenarımız olmalıdır. Bu durumda da en az 10 köşeye ihtiyacımız vardır. Oysaki en baştan 9 köşemiz olduğunu biliyorduk. Bu nedenle üç kulübe çözümünün iki boyutta yapılması mümkün değildir.
Kaynaklar ve ileri okumalar
- The Three Utilities Problem. yayınlanma tarihi: 19 Nisan 2019; bağlantı: The Three Utilities Problem
- The Water-Gas-and-Electricity Puzzle. Bağlantı: The Water-Gas-and-Electricity Puzzle
Matematiksel
