Fizikçi Werner Heisenberg’in bir keresinde “Tanrı ile karşılaştığımda ona iki soru soracağım: neden görelilik? Neden türbülans?” dediği rivayet edilir. Alıntı kurgusal olsa da, birçok fizikçinin türbülans hakkında hissettikleri benzerdir.
Bir çoğumuz türbülansı sadece uçaktan yaşanılan bir şey zannetse de türbülans aslında her yerdedir. Bir musluktan akan suya bakarken, dişlerimizi fırçaladıktan sonra lavaboda dönüp duyan suyu izlerken, damarlarımızdaki kanın akışı, etrafımızı çevreleyen hava hareketleri temelinde her şey bir biçimde türbülans ile ilişkilidir.
Sıvılar ya da hava kolay olmalıdır. Ne var ki bunda demeyin. Bir kasırganın bir masa tenisi topu fabrikasının çatısını parçaladığını düşünün. Etrafa saçılan tüm pinpon toplarının nereye düşeceğini tahmin etmeye çalışın. Fark ettiğiniz gibi işin içine bir çok şey karıştığı için bu hiç de kolay bir şey değildir. Bu aslında, fizikçilere ve matematikçilere düşündüğünüzden daha fazla sorun çıkaran türbülans nedeniyle zordur.
Türbülansın tanımını basitçe düzgün bir sıvı akışının küçük girdaplara bölünmesi biçiminde yapabiliriz. Ancak bu girdaplar da daha sonra girdaplara bölünecektir. Bu durum devam ettikçe, bu girdapların hepsi birbirini etkileyecektir. Bunun anlamı ölçtüğünüz sıvıdaki herhangi bir parçacığa ne olacağını kesin olarak tahmin etmenin neredeyse imkansız olmasıdır. Bu durum da bilim insanları, matematikçiler ve mühendisler için büyük bir zorluk teşkil edecektir.
Türbülansı Anlamak Neden Bu Kadar Zor?
Türbülans her zaman doğru bir şekilde analiz edilemeyecek ve hatta ölçülemeyecek kadar karmaşık olmuştur. Yüzyıllarca süren çalışmalardan sonra bile fizikçilerin bu konuyla ilgili genel bir teorik tanımı yoktur. Türbülansın zor ve aynı zamanda şaşırtıcı yanı, çok çeşitli ölçeklerde meydana gelmesidir.
Atmosferde binlerce kilometrelik ölçeklerden, okyanuslarda belki yüzlerce kilometrelik ölçeklere kadar bir çok farklı fenomende deneyimlenirler. İster astrofiziksel ölçekte, ister jeofizik ölçekte, ister laboratuvar ölçeğinde olsun, doğadaki çoğu akış türbülanslıdır. ( Fizik dilinde “akışkan”, sıvılar, gazlar ve hatta bazen kum gibi tanecikli malzemeler de dahil olmak üzere akan her şeydir. ) Bu akışları anlamak için bilim insanlarının elindeki tek araç matematiktir.
Sıvıların hareketini tanımlayan iki denklem seti vardır. Bunlardan biri, adını 18. yüzyıl matematikçisi Leonhard Euler’den alıyor ve yapışkan veya viskoz olmayan akışkanlar için kullanılır. 1757’de matematikçi ortaya konan Euler denklemleri, akışkanın her andaki ve her noktadaki hareketini ve hareketin o noktadaki akışkanın iç basıncıyla nasıl ilişkili olduğunu tanımlamak için akışkanın sürekli doğasından yararlanır.
Akışkanın hızı ve basıncı hem zamana hem de uzaya göre değiştiğinden, Euler denklemleri bu farklı niceliklere göre değişim oranını açıklayan kısmi diferansiyel denklemlerdir. Bu denklemlerin detaylarını açıklamak bu yazımızın kapsamında değildir. Ancak aşağıdaki görselde bir kısmını görebilirsiniz.
Euler denklemlerini çözmek, kısmi türevleri denklemleri karşılayan u, v ve P fonksiyonlarını bulmak anlamına gelir. Ancak aradan geçen 300 yıl içinde hiç kimse gerçekçi koşulları tanımlayacak denklemleri çözmeyi başaramamıştır.
Navier-Stokes Denklemleri Nedir?
Sıvıların hareketini tanımlayan ikinci denklem seti ise Navier-Stokes denklemleridir. Euler denklemleri ile ilişkili olan bu denklemler de adını 19. yüzyıl matematikçileri Claude-Louis Navier ve Gabriel Stokes’tan alır ve aynı zamanda bal veya yağ gibi viskoz sıvılar için de geçerlidir. Bu denklemler hızdaki değişiklikleri, basınçtaki değişiklikleri ve sıvının viskozitesini ilişkilendirir.
Bir akışkanın hareketini yöneten bu denklemler, bir akışkan kütlesinin hareketine uygulanan Newton’un İkinci Hareket Yasasının bir ifadesidir. 200 yıldır süregelen deneyler sonucu anladık ki bu denklemler kesinlikle işimize yarıyor. Navier-Stokes’un öngördüğü akışlar, deneylerde gözlemlenen akışlara uyuyor. Ancak sizin de tahmin edebileceğiniz gibi bu denklemleri çözmek çok da kolay değil.
Uygulamada, fiziksel olarak ilgili ve birçok sıvı akışıyla mükemmel uyum sağlayan birçok çözüm biliyoruz. Ancak bu çözümler, Navier-Stokes denklemlerinin yaklaşık çözümleridir. Her ne kadar (yaklaşık) çözümlerimizin doğru olduğundan oldukça emin olsak da, çözümlerin varlığının resmi bir matematiksel kanıtı eksiktir.
Bu nedenle Clay Matematik Enstitüsü‘nün 2000 yılında ortaya koyduğu yedi matematik problemi arasında Navier-Stokes denklemleri de vardır. Aslında Clay Enstitüsü’nün ödülü vermek için talep ettiği bilgi ise oldukça basittir. Birincisi denklemlerin çözümlerinin varlığına odaklanır. İkincisi ise bu çözümlerin sınırlı olup olmadığını (sonlu kalıp kalmadığını) sorar.
Sonuç olarak
Belirli bir sıvı akışı göz önüne alındığında, Euler veya Navier-Stokes denklemlerinin (hangisi uygunsa) çözümü size zaman ve uzayda herhangi bir noktada sıvının hızını ve basıncını söyleyecektir. Ancak denklemlerimiz doğrusal değildir. Eğer öyle olsaydı tüm akışkanlar üzerinde tam kontrole sahip olurduk: onların her zaman ve her yerde nasıl davranacaklarını tahmin edebilirdik. Ancak bu mümkün değil.
Bunun yerine, çoğu gerçek hayattaki durum için, hesaplamalı akışkanlar dinamiği adı verilen bir şeyi kullanarak doğru yaklaşık çözümleri bulmamız gerekiyor. Ancak bunun için de çok büyük bilgi işlem gücü gerekir. Reynolds sayısı adı verilen, akışkanın yapışkanlığına göre hızını temsil eden bir sayıya sahibiz. Akışkanlar bu sayıya göre sınıflandırılır.
Yukarıdaki sınırlara dikkat ediniz. Ancak atmosferde ve başka bir çok olguda Reynolds sayısının milyon değerlerini aldığı akışlar da vardır. Bu yüzden tüm türbülanslı akışları modern bilgisayarlar ile bile hesaplamak neredeyse imkansızdır.
Sonuç olarak ünlü fizikçi Richard Feynman’ın da ifade ettiği gibi türbülans, klasik fiziğin çözülmemiş en önemli problemidir. Ancak bu elbette türbülansın doğasını anlamaya çalışan fizikçiler ve matematikçiler için engel değildir.
Kaynaklar ve ileri okumalar
- Why turbulence is troubling. Yayınlanma tarihi: 22 Nisan 2022. Kaynak site: PlusMath. Bağlantı: Why turbulence is troubling
- Turbulence trouble. Yayınlanma tarihi: 3 Şubat 2021. Kaynak site: Cosmos. Bağlantı: Turbulence trouble
- Turbulence, the oldest unsolved problem in physics. Yayınlanma tarihi: 10 Ekim 2018. Bağlantı: Turbulence, the oldest unsolved problem in physics
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak veya Patreon üzerinden ufak bir bağış yaparak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
