Sizce “sonsuzun karekökü nedir?” Saçma bir soru diye düşünmeyin. Sürreel yani gerçeküstü sayılara göre bu sorunun bir cevabı vardır.
1970’lerin başında matematikçi Donald Knuth, karısıyla birlikte Norveç’te bir tatile çıkmıştı. Aslında keyifli bir zaman geçiriyordu ancak bir gece uykusundan tedirgin biçimde uyandı. İçinde bir anda, tarif edilemez bir biçimde, yazma isteği vardı. Bu konu ile ilgili eşi ile konuştu ve devamında Oslo’da kendisine bir otel odası ayarladı. Bu otel odasında da kitabını yazdı. Kitabın adı Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned On to Pure Mathematics and Found Total Happiness” idi.
Knuth sürreel yani gerçeküstü sayılar kavramını icat etmedi. Ancak konuyla ilgili ayrıntılı bir çalışma yayınlayan ve terimi icat eden o oldu. Günümüzde de onun kaleme aldığı bu kitabı konuyla ilgili temel çalışma olarak kabul ediliyor.
Gerçeküstü Sayılar Nedir?
COVID-19 nedeniyle hayatını kaybeden efsanevi matematikçi John Horton Conway, bulmacalar ve oyunlar icat etmekten çocuksu bir zevk alırdı. Kıyamet algoritmasını (haftanın gününü kafanızda hesaplamanın hızlı bir yöntemi – Conway bunu iki saniyeden kısa sürede yapabilirdi) ve ünlü Game of Life’ı o icat etti. Hatta kendisinin matematiğe olan tutkusunun bu bulmaca ve oyunlara olan merakından kaynaklandığı söylenmektedir.
İlk olarak John Conway tarafından tanımlanan gerçeküstü sayılar, isimlerinin de ima ettiği gibi, ilginç sayılardır ve bu sayıların keşfi de yine onun oyunlara olan tutkusunun bir neticesinde olmuştur. 1972 civarında, Conway, Go masa oyununu analiz ederken, birkaç basit kuraldan sonlu ve sonsuz tüm sayıları oluşturmanın yeni bir yolu olduğunu fark etmişti. Elde ettiği sonuç ise gerçeküstü sayı sistemi olacaktı.
Onun ortaya koyduğu bu sayılar gerçekten de gerçeküstüydü. Bu sayılar ile sonsuzu sonsuz ile toplamak ve hatta yazının başında da dediğimiz gibi sonsuzun karekökünü almak bile mümkün oluyordu.
Gerçeküstü sayıların oluşturulması başlangıçta fazla da ilginç değildir. İki sayı seçersiniz ve ortasındaki sayıyı bulursunuz. Örneğin 0 ile 1 sayılarının ortasında 1/2 ve 0 ile 1/2 sayılarının ortasında 1/4 vardır. Bu işlemi yapmaya devam edersiniz ancak yeterince büyük sayılara ulaştığınız zaman garip bir şey olur. Birdenbire gerçek sayılarda bile yer almayan değerler ortaya çıkmaya başlar.
Conway, iki temel kural belirlemişti. Öncelikle her x sayısı iki kümeyle tanımlanırdı (ML ve MR) ve x = {ML : MR} biçimindeydi. ( Burada ML soldaki ve MR sağdaki küme anlamına geliyor). İlk kural, soldaki kümenin elemanlarının her zaman sağdaki kümedekilerden daha küçük olmasıydı. İkinci kurala göre de, 0 bu ikisinin arasında bir sınırdı.
Gerçeküstü Sayılar Nasıl Oluşturulur?
Donald Knuth kitabını yazarken gerçeküstü sayıları farklı biçimde tanımlamayı seçti. Öncelikle 0 sayısı için 0 = { : } ifadesini kullandı. Tanıma göre 1 = {0: } ve –1 = { :0} biçiminde olacaktı. Bu durumda {0:1} ise, 0 ile 1 arasında kalan sayıyı yani 1/2 sayısını belirtiyordu. Ayrıca {1: } = 2, {–1:0} = –1/2 ve { :–1} = –2 biçiminde yazılır.
Böyle devam ettirirseniz, tüm tam sayıları ve paydaları 2’nin kuvvetleri olan kesirler ile ifade edebilirsiniz. Ancak şu anda diğer kesirleri, köklü sayıları ve Pi sayısı gibi sayıları elde edemedik. Aslında gerçeküstü sayıların gerçekten heyecan verici özellikleri, ω ile başlıyor. Bu omega sembolü sayılabilir bir sonsuzluğa karşılık geliyor.
Matematikçileri sonsuzluğu sayılabilen sonsuzluklar ile sayılamayan sonsuzluklar olarak ikiye ayırır. Doğal sayılar sayılabilen bir sonsuzluktur. Eğer sonsuz bir zamanınız olsaydı hepsini sayabilirdiniz. Ancak gerçek sayılar sayılamayan bir sonsuzluktur. Daha fazlası için bu yazımıza göz atmalısınız.
Sonsuzluk 1, 2, 3 gibi bir sayı değildir. Bildiğimiz aritmetik işlemleri sonsuzluk ile çalışmaz. Mesela sonsuzu ikiye bölerseniz ne olur? Örneğin ikiye bölerseniz ne olur? 1 artı sonsuz, sonsuz artı 1’den büyük mü, küçük mü yoksa aynı boyutta mı? Bundan 1 çıkarırsanız ne olur? Bu gibi sorulara çalıştığımız reel sayılar kümesinde cevap vermek zordur.
Ancak John Conway, birkaç basit kural ve kavram kullanarak bunun gibi görünüşte anlamsız sorulardan nasıl anlam çıkarılacağını bulmuştu. Bunun tam olarak nasıl olacağını anlamak için gerçeküstü sayılar kümesini inşa etmeye devam edelim.
İşin İçine Sonsuzluk Karışınca Gerçeküstü Sayılar Garipleşmeye Başlar
Artık irrasyonel sayılara geçebiliriz. Örneğin √2 ifadesini artık = {1 5/411/8 … : … 23/163/2} biçiminde gösterebiliyoruz. Bu durumda π gibi diğer irrasyonel değerleri de bu biçimde bulmak mümkün olacaktır. Aslında gerçeküstü sayıların gariplikleri de bu noktadan sonra başlayacaktır.
Şimdi sayma sayılarını soldaki kümeye yerleştirmemiz ve sağdaki kümeyi boş bırakmamız gerekiyor. Bu ω = {1 2 3 … : } biçiminde gösterilecektir. Bu, tüm doğal sayılardan büyük olan sayıya karşılık gelir. Bu durumda sağdaki boşluğa yazacağımız her şey tüm sayılardan daha büyük olacaktır.
Bu düşünce size garip geldiyse aslında daha da garibi de var. Şimdi soldaki boşluğa sıfır sayısını yazalım ve ε = {0 : …1/81/41/2 1} biçiminde yeni bir sayı tanımlayalım. Bu epsilon sonsuzluğun tersini temsil ediyor. Ancak ε o kadar küçüktür ki onu temsil edecek hiçbir gerçek sayı yoktur. Ve aslında ε, ω’nin tersine karşılık gelir. Yani ε = 1/ω biçimindedir.
Bu durumda 1/2 + ε = {1/2 : … 1/81/41/2 1} biçiminde gösterilecektir. Yani sonsuz küçük bir sayı ile bir rasyonel sayıyı toplamak artık mümkündür. Ayrıca ω + 1 ve ω – 1 gibi iki yeni sonsuzluk da elde edebiliriz. Diğer bir deyişle sonsuzluk ile işlem yapmaya başlarız.
Ayrıca artık herhangi bir gerçek sayı ε ile birleştirilebilir. Örneğin π + ε = {π : …1/81/41/2 1} biçiminde olacaktır. Tüm bunların anlamı yeni sonsuzluklar ve sonsuz küçüklerdir. Hayal gücümüz yardımı ile ortaya çıkan sayılar artmaya devam eder. Bu sayıları toplu halde resmetmeye çalışsak aşağıdaki gibi gözükecektir.
Sonuç Olarak
Bu yazı gerçeküstü sayılara giriş niteliğindedir ve aslına gerçeküstü sayılar daha pek çok sürpriz barındırmaktadır. Ayrıca gerçek sayılardan önemli ölçüde daha fazla gerçeküstü sayı olmasına rağmen bunlar bir süreklilik oluşturmazlar. Yani bir sayı doğrusu üzerinde göstermeye çalışsak, arada boşluklar kalır. Bu boşlukların nedeni, daha önce oluşturulan gerçeküstü sayıların arasına her zaman daha küçük sonsuz küçüklerin girebilmesidir.
Her ne kadar her şey çok soyut ve tuhaf görünse de Knuth, gerçeküstü sayıların dünyamızı tanımlamak için bildiğimiz diğer sayılar kadar uygun olduğuna inanıyordu. Ona göre “eğer yüz yıl boyunca herkes bunu okulda öğrenmiş olsaydı, sayıların bu şekilde olduğunu düşünürlerdi.” Sayıların insan zihninin bir yan ürünü olduğunu bildiğimize göre onun bu sözünün doğru olabileceğini düşünmememiz için bir nedenimiz yok.
Yazının sonunda akla gelecek soru “tüm bunlar bir işe yarar mı?” biçiminde olacaktır. Aslında fizikçiler gerçeküstü sayıları halihazırda teorilerine dahil etmeye çalıştılar. Şimdilik sonuçlar çok da anlamlı olmasa da bunu gelecekte ne getireceğini kestirmek kolay değildir.
Kaynaklar ve ileri okumalar
- Knuth, Donald Ervin. “Surreal numbers : how two ex-students turned on to pure mathematics and found total happiness : a mathematical novelette.” (1974).
- Surreal Numbers Are a Real Thing. Here’s How to Make Them. Yayınlanma tarihi: 14 Şubat 2024. Kaynak site: SCientific American. Bağlantı: Surreal Numbers Are a Real Thing. Here’s How to Make Them
- Nieto, Juan. (2016). Some Mathematical and Physical Remarks on Surreal Numbers. Journal of Modern Physics. 7. 2164-2176. 10.4236/jmp.2016.715188.
Matematiksel
