Sonsuzluğun zıttı olan kavrama sonsuz küçük, yani “infinitesimal” denir. Bu kavram da en az sonsuzluk kadar tuhaftır.
Sonsuz küçük, öyle küçük bir niceliktir ki ne görülebilir ne de ölçülebilir. Matematikte sıfırdan farklı olmakla birlikte, limit olarak sıfıra yaklaşan bir değeri ifade eder. Günlük dilde sıfat olarak kullanıldığında ise “aşırı derecede küçük” anlamına gelir.
Gündelik yaşamda, sonsuz küçük bir şey, ölçülebilirliğin sınırlarının altındadır. Bu, ister boyut, ister zaman, ister kimyasal yoğunluk ya da başka bir özellik olsun—hangi ölçütü kullanırsak kullanalım, elimizdeki ölçüm araçlarıyla saptanamayacak kadar küçüktür.
Sonsuz küçükler yöntemini geliştiren öncüler, yaklaşımlarının dayandığı mantıksal temelin sorunlu olduğunu çok iyi biliyordu. Ancak çoğu, bunu pek önemsemedi. Yöntem doğru sonuçlar verdiği sürece, temelde geçerli olması gerektiğini düşündüler. Pek çok eleştirmen, sonsuz küçük kavramının yalnızca matematiği değil, akıl yürütmenin kendisini de zayıflattığını savundu. Bu görüşe göre, bu yaklaşım er ya da geç ciddi hatalara yol açacaktı.
Her Şey Nasıl Başladı?
MÖ 5. yüzyılın bir döneminde, Güney İtalya’da yaşayan Yunan filozofu Metapontumlu Hippasos, gizemli Pisagorcu kardeşliğin bir üyesiydi. Evinden ayrılıp bir deniz yolculuğuna çıktı. Nereye gittiğini ya da neden yola çıktığını bilmiyoruz, ancak varamadığını biliyoruz. Rivayete göre, gemi kıyıdan uzaklaştığında Pisagorcu yoldaşları Hippasos’a saldırdı ve onu denize attı.
Pisagorcuların bu kadar ileri gitmek için bir nedeni vardı. Kurucuları Pisagoras’ın izinden giden bu topluluk, evrendeki her şeyin tam sayılarla ve bu sayıların oranlarıyla açıklanabileceğine inanıyordu. Ancak Hippasos, bir karede köşegenin kenara oranının ölçülemez olduğunu, yani bugün söylediğimiz gibi, karekök 2’nin irrasyonel olduğunu kanıtlamıştı.
Bu keşif Batı matematiğinin yönünü değiştirdi. Hippasos’un gösterdiği şey şuydu: Sayılarla ya da noktalarla düşünülen kesikli yapı, çizgiler ve yüzeyler gibi sürekli varlıkları tam olarak açıklayamaz. Bu yüzden gerçek matematiksel bilim, ancak sürekli büyüklükler arasındaki ilişkileri inceleyen geometri olabilirdi.
Hippasos’un ortaya koyduğu gerçek, yaklaşık iki bin yıl boyunca ciddi biçimde sorgulanmadı. Geometri bu süre boyunca tartışmasız bir üstünlük kazandı. Ancak 16. ve 17. yüzyıllarda, Hollanda’da (Simon Stevin), İngiltere’de (Thomas Harriot, John Wallis) ve özellikle İtalya’da (Bonaventura Cavalieri, Evangelista Torricelli) çalışan yeni bir matematikçi kuşağı bu yaklaşımı yeniden ele aldı. Kesikli noktalar ile sürekli büyüklükler arasındaki kesin ayrımı sorgulamaya başladılar.
Sonsuz Küçükler Fikri Kolay Kabul Edilmeyecekti
Matematikçiler, alışılmışın dışında bir soruyu sormaya başladı: Ya doğrular, ardı ardına dizilmiş sonsuz küçük noktalardan oluşuyorsa? Ya düzlemler, yan yana yerleştirilmiş doğrulardan; cisimler ise bu düzlemlerin üst üste yığılmasıyla meydana geliyorsa?
Bu fikir temelde sorunluydu, ama ortaya çıkan sonuçlar son derece güçlüydü. Bu yeni bakış açısıyla, eğrilerin uzunluğunu ve eğimlerini hesaplamak artık çocuk oyuncağı hâline geldi. Alanlar ve hacimler, klasik geometriyle hesaplanması neredeyse imkânsız olan değerler, bu yöntemle kolayca bulunabiliyordu.
1700’e gelindiğinde, Isaac Newton ve Gottfried Wilhelm Leibniz bu yaklaşımı sistematik bir yönteme dönüştürdü. Bugün diferansiyel ve integral hesap dediğimiz bu yöntem, gezegenlerin yörüngelerinden tel titreşimlerine, top mermilerinin uçuşundan ışık dalgalarına kadar sayısız alana uygulanabilir hâle geldi.
Bu yöntemin temelinde sonsuz küçük kavramı vardı. Leibniz, diferansiyeller için bugün hâlâ kullandığımız d notasyonunu tanıttı. Örneğin, şu ifadeyi elde etti:
d(xy) = xdy + ydx
Bu sonuç, şu işlemin açılımından gelir: d(xy) = (x + dx)(y + dy) − xy = xdy + ydx + dxdy
Burada dxdy terimi göz ardı edilir. Çünkü dx ve dy, sonsuz küçük büyüklükler olarak kabul edildiğinden, çarpımları diğer terimlere göre çok daha küçüktür. Yani ihmal edilmesi mümkündür.
Tam da bu yüzden, sonsuz küçükler uzun yıllar boyunca tartışma konusu oldu. 18. yüzyılda d’Alembert, bu kavramı “chimera” yani hayali bir şey olarak niteledi. 19. yüzyılda Abbé Moigno da benzer şekilde, sonsuz küçüklerin ya var olamayacak kadar çelişkili ya da matematiksel sayı olmayacak kadar belirsiz olduğunu savundu.
Sonsuz Küçükler Hesabı ve Augustin-Louis Cauchy’nin Çalışmaları
19. yüzyılın başlarında, sonsuz küçükler konusundaki tartışmayı sonlandırmak Augustin-Louis Cauchy’ye düştü. Cauchy, matematiksel yaklaşımların maddi gerçeklikle birebir örtüşmesi gerektiği varsayımının sorun yarattığını fark etti. Hippasos’un yüzyıllar önce ortaya koyduğu gibi, bu beklenti işlemiyordu.
1821’de yayımladığı Cours d’Analyse adlı eserinde, türev ve integrali sezgisel ya da fiziksel tanımlardan arındırdı. Bu kavramları, yalnızca sonsuz dizilerin limitleri üzerinden, tamamen matematiksel temellere dayandırarak tanımladı.
Cauchy ayrıca analizde limit kavramına kesinlik kazandırdı. Serilerin hangi koşullarda yakınsadığını ortaya koyarak, integrali ilk kez net bir kuramsal çerçeveye oturttu. Daha 1814 yılında, karmaşık sayı değerli fonksiyonları tanımlayan ilk kişi oldu. Bu fonksiyonların türevlenebilirliği için gereken koşulları belirledi—bugün Cauchy-Riemann denklemleri olarak bilinen kurallarla.
Bu yaklaşımlar, sonsuz küçükler fikrine dayalı hesaplamalara ciddi bir alternatif sundu. Cauchy’nin ardından, matematik eğitmenleri öğrencileri bu eski yaklaşımdan uzak durmaya teşvik etti. Yine de birçok matematikçi, pratikte işe yaradığı için bu kavramı kullanmaya devam etti.
1960 yılında Abraham Robinson, sonsuz küçükleri nihayet sağlam bir mantıksal zemine oturttu. Geliştirdiği “standart olmayan analiz” yöntemi, bu kavrama geçerlilik kazandırdı. Sonsuz küçükler yeniden kabul edildi—tam anlamıyla sevilmese de artık ciddiye alınıyordu.
Sonuç Olarak
Cauchy, kalkülüsü kesin kurallara dayalı bir matematiksel sisteme dönüştürerek iki bin yılı aşkın süredir devam eden bir çatışmayı sona erdirdi. MÖ 5. yüzyılda Hippasos, matematiğin dünyayı tam anlamıyla açıklayamayacağını göstermişti. MS 19. yüzyılda ise Cauchy, bunun gerekmediğini ortaya koydu. Modern matematik işte böyle doğdu.
Kaynaklar ve İleri Okumalar:
- Fraser, Craig. (2015). Nonstandard Analysis, Infinitesimals, and the History of Calculus. 10.1007/978-3-319-12030-0_2.
- What Is The Opposite Of Infinity?; Yyaınlanma tarihi: 19 Ekim 2023. Kaynak site: Science ABC. Bağlantı: What Is The Opposite Of Infinity?/
- Bair, Jacques & Blaszczyk, Piotr & Ely, Robert & Henry, Valérie & Kanovei, Vladimir & Katz, Karin & Katz, Mikhail & Kudryk, Taras & Kutateladze. Thomas & Mormann, Thomas & Schaps, David & Sherry, David. (2017). Cauchy, Infinitesimals and ghosts of departed quantifiers. Matematychni Studii. 47. 10.15330/ms.47.2.115-144.
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
