Sonsuzluk ile ilgili okumalar yaptığınıza zamanlarda karşınıza ilginç bir sembole sahip Alef sayılarının çıkmış olması olasıdır. Bu sayıların sonlu ötesi sayılar olduğu size söylenecektir.
Daha genel bir tanım yapmak gerekirse, Alef sayıları kümeler teorisinde, iyi sıralı olabilen sonsuz kümelerin kardinalitesini göstermek için kullanılan sayılardır. Ancak kabul edelim matematiğe yabancı biri için bu tanım oldukça karışık. Bu nedenle bu sayıların nereden geldiğini en başından aktarmaya çalışalım.
Bir anlamda hepimiz sonsuzluğun ne olduğuna dair bir sezgiye sahibiz. Asla bitmeyen şeyleri karakterize etmek için bu kelimeyi kullanırız. Ucu bucağı olmayan bir evren veya 1, 2, 3, 4, …. biçiminde listelediğimiz doğal sayılar bir çoğumuz için sonsuza verilecek örneklerdir. Sonuçta ne kadar sayarsak sayalım ya da en hızlı uzay gemisi ile ne kadar seyahat edersek edelim ne evrenin ne de sayıların sonuna erişmek mümkün olmaz.
Bu tür bir sonsuzluk, antik Yunan matematikçi Aristoteles’in potansiyel bir sonsuzluk dediği şeydir. Yani kesinlikle oradadır, ancak onunla asla yüz yüze kalamayız. Bu sonsuzluklar bitmeyen herhangi bir şeyi karakterize ederler. Doğal sayılar listesini düz bir çizgi olarak düşünün. Bu çizgi sonsuza kadar uzanacaktır. Peki acaba, bu çizginin temsil ettiği sonsuzluk ile doğal sayıları tanımlamak için kullandığımız sonsuzluk aynı şey midir?
Sezgisel olarak ikisinin farklı olduğunu düşünebilirsiniz. Sonuçta düz bir çizgi bir süreklilik oluştururken, doğal sayılar ayrı, ayrı varlıklardır. Doğal sayıları çizginiz boyunca 1 metre arayla yerleştirebilirsiniz. Bu şekilde düşündüğünüz zaman, doğrunun sonsuzluğunun doğal sayıların sonsuzluğundan daha fazla olduğunu fark edebilirsiniz. Sonuçta doğal sayılar arasındaki boşlukları başka sayılar ile doldurmamız mümkündür.
Sayılabilir Sonsuzluklar ve Sayılamayan Sonsuzluklar
Matematikçiler bu sezgiye katılıyor. Bu nedenle sonsuzlukları Sayılabilir olanlar ve sayılamayanlar biçiminde birbirinden ayırırlar. Doğal sayılar sayılabilir bir sonsuzluk oluşturur. Aslında bu mantıklıdır. Sonuçta sonsuz zamanınız varsa hepsini sayabilirsiniz. Sonsuz sayıda insandan oluşan bir grup da sayılabilir bir sonsuzluk olarak kabul edilecektir. Çünkü (sonsuz bir süre boyunca) tüm isimlerin bir listesini yapar ve sonra onları, tıpkı doğal sayılarda olduğu gibi sayabilirsiniz.
Peki ya sonsuz uzunlukta düz bir çizgi? Bu çizgiyi sonsuz uzunlukta bir cetvel olarak hayal ederseniz, o zaman her nokta bir sayı ile gelir. Bu sayıların bir listesini yapmamız mümkün mü? İlk sayının 0 olduğunu düşünelim. Peki ya ikincisi? 0.1’i deneyebilirsiniz, ancak 0.01 bundan daha küçüktür, bu nedenle 0.1’den önce gelmelidir.
Peki ya 0.001? Listede ikinci sırada olarak atayabileceğiniz her sayı için daha küçük bir tane bulabilirsiniz: Bunun için ondalık noktadan sonra fazladan 0 eklemeniz yeterlidir. Bu nedenle, bu sayıları cetvel boyunca boyuta göre sıralamak umutsuzca bir girişimdir. Asla tam bir liste yapamazsınız. Bu, sonsuz düz çizgiyle (veya eşdeğer olarak pozitif gerçek sayılarla) temsil edilen sonsuzun sayılamayan bir sonsuzluk olduğunu gösterir.
Hangi Sonsuzluk Daha Büyük?
Sonsuz çizginin sonsuzluğunun bir şekilde doğal sayıların sonsuzluğundan “daha büyük” olduğu fikrine ne dersiniz? Eğer saymakla uğraşamıyorsanız, nesnelerin sonlu koleksiyonlarının boyutunu karşılaştırmanın bir yolu, onları tam olarak eşleştirip eşleştiremeyeceğinizi görmektir.
Birkaç sandalye ve birkaç insan düşünün. Her kişiye bir sandalye varsa ve hiç sandalye kalmadıysa, bilirsiniz ki, insan sayısı kadar sandalye olması gerekir. Boşta kalan fazladan sandalye varsa, insandan çok sandalye olduğunu bilirsiniz. Ve ayakta kalanlar varsa, biliriz ki sandalyeden çok insan vardır.
Bu fikri sonsuz sayıda nesne içeren kümeler için düşünelim. A kümesindeki her elemanı, B kümesindeki elemanlar ile eşleştirmeye çalışabiliriz. Eğer bunu başarabilirsek o zaman iki kümenin aynı boyutta olduğunu yani aynı sayıda elemana sahip olduğunu söyleyebiliriz. Matematikçiler ise, aynı kardinalitede olduğunu söyleyecektir. Kardinalite, birbirine eş kümelerin karşılık geldiği ve bu kümelerdeki eleman sayılarını belirten sayıdır.
Bunu yukarıdaki sonsuz insan grubumuzla çalışırken gördük. İnsanları tek tek listeleyerek, aslında onları doğal sayılarla eşleştirdik. Bu nedenle, insan grubunun ve doğal sayıların aynı türde sonsuzluğu temsil ettiğini söylüyoruz. Bu sayılması mümkün olan bir sonsuzluk. Bununla birlikte, sonsuz uzunluğumuzdaki noktalar için bunu yapamadık. Bu yüzden bu sayılamayan bir sonsuzluk idi. Sonucunda doğrunun kardinalitesi, doğal sayıların kardinalitesinden daha büyük olmalıdır.
Sayılabilir Sonsuzlukların hepsi Birbirine Eşittir
Sezgisel olarak, sayılamayan sonsuzluklar daha karışık ancak sayılabilenler daha basit olduğu gibi gözükür. Ancak bu fikir de aslında aldatıcıdır. Örnek olarak, 2, 4, 6, 8 vb. biçimindeki tüm çift sayıları düşünün. Sonsuz sayıda var olduklarını biliyoruz. Ancak tüm doğal sayılarla karşılaştırıldığında bu sonsuzluğun kardinalitesi nedir? Mantığımız bize yarısı kadar olması gerektiğini söyleyecektir. Ancak bu cevabımız hatalıdır.
Az evvel bir kümedeki nesneleri diğer kümedeki nesneler ile tam olarak eşleştirilebiliyorsak, iki sonsuz kümenin de aynı kardinaliteye sahip olduğunu söyledik. Tüm çift sayıları tüm doğal sayılarla tam olarak eşleştirmek oldukça kolaydır:
Yani çift sayıların kardinalitesi doğal sayılarınkiyle aynıdır. Bu garip görünüyorsa, belki bir sonraki sonuç daha da gariptir. Tüm rasyonel sayıların ( yani 1/2 veya 5/6 gibi tüm kesirlerin) de aynı biçimde eşleştirilebileceğini göstermek mümkündür. Dolayısıyla, doğal sayılardan çok daha fazla kesir varmış gibi görünse de (ardışık iki doğal sayı arasında sonsuz sayıda kesir vardır), iki sayı kümesi aynı kardinaliteye sahiptir.
Alef Sayıları İle Tanışın
200 yılı aşkın bir süre sonra, matematikçi Georg Cantor bize tam sayılar ve doğal sayılar kümelerinin eşit büyüklükte olduğunu göstermiştir. Hatta Cantor, rasyonel sayıların da doğal sayılarla bire bir eşleşmeye sokulabileceğini kanıtlamıştır. Ancak gerçek sayıların (yani rasyonel ve irrasyonel sayılar) doğal sayılarla bire bir yazışmaya koymanın da mümkün olmayacağını da kanıtlamıştır.
Cantor’un sonluötesi sayılar kuramına göre doğal sayılar en basit sınıftadır ve sayılabilir sonsuzluğa sahiptir. Derecelendirme ℵn (alef) ile gösterilir. Doğal sayılar ℵ0 olarak yazılır. (alef sıfır diye okunur). Reel sayılar kümesi de sayılamaz bir sonsuzdur. Reel sayılar kümesi de bu nedenle ℵ1 olarak gösterilmektedir. Bu biçimde devam ederek, ℵ2 ; ℵ3 sayılarını tanımlamamız da mümkündür.
Aslında Cantor bizlere herhangi bir sonsuz kümenin tüm alt kümelerinden oluşan yeni bir küme oluşturulduğunda, orijinal kümeden daha büyük bir sonsuzluk temsil edeceğini göstermişti. Yani, bir sonsuzluğunuz varsa, daima onun alt kümelerinin kümesinden daha büyük bir sonsuzluk elde edebilirsiniz.
Tüm bunlar bir miktar kafanızı karıştırmış olmalıdır. Aslında haklısınız. Kendisi bu fikirlerini açıkladığı zaman hemen hemen tüm matematikçilerin kafası karışmıştı. Fransız matematikçi Henri Poincaré (1854–1912), Cantor’un fikirlerinden matematik disiplinini etkileyen “ciddi bir hastalık” olarak bahsetmiştir. Alman matematikçi Leopold Kronecker (1823-1891) Cantor’a şahsen saldırarak onu “şarlatanlık” ve gençliği yozlaştırmakla suçlamıştır.
Zamanında kendisini derin bunalımlara sürükleyen Cantor’un bu tehlikeli düşünceleri bugün tüm matematik araştırmacıları tarafından kabul görmektedir. Yazının devamında göz atmak isterseniz: Matematik Felsefesinin Temelini Oluşturan Problemler Nelerdir?
Kaynaklar ve ileri okumalar:
- What is infinity?; yayınlanma tarihi: 4 Şubat 2015; Bağlantı: https://plus.maths.org/
- Infinities are not made equal; Yayınlanma tarihi: 26 Ocak 2020. Bağlantı: https://towardsdatascience.com/
Matematiksel
