Şimdiye kadar âşık olan herkes, size önemli olanın âşık olunan kişi hakkındaki küçük şeyler olduğunu söyleyecektir. Kimileri için de aşık olunan şey matematiğin kendisidir. Bu kişiler de sayıların dünyasına bakar ve sayıların arkasındaki ilişkileri anlamaya çalışır. Bu ilişkilerin çalışılması genel anlamda Sayılar teorisi olarak isimlendirilmektedir.
Sayılar teorisi, doğal sayılar kümesi olarak adlandırılan pozitif tam sayılar kümesinin incelenmesidir. Matematikçiler kısmen teorik kısmen deneysel olarak sayılar arasındaki ilişkileri ve özellikleri inceleyerek, matematiksel yapıları ve kuralları anlamak için çalışır.
Sayılar teorisi profesyonel matematikçilerin yanı sıra amatörleri de her zaman büyülemiştir. Matematiğin diğer dallarının aksine, sayı teorisinin birçok problemi ve teoremi sıradan kişiler tarafından kolaylıkla anlaşılabilir. Ancak problemlerin çözümleri ve teoremlerin kanıtları sıklıkla karmaşık bir matematiksel altyapı gerektirecektir.
Sayılar Teorisinde Hangi İlişkiler İncelenir?
Antik çağlardan beri insanlar doğal sayıları çeşitli türlere ayırmışlardır. Örneğin tek sayı (1, 3, 5, 7, 9, 11, . . .), çift sayı (2, 4, 6, 8, 10, . . .), kare sayı (1, 4, 9, 16, 25, 36, . . .), küp sayı ( küp 1, 8, 27, 64, 125, . . .), asal sayı ( 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, . . .), üçgen sayı (1, 3, 6, 10, 15, 21, . . .), mükemmel sayı ( 6, 28, 496, . . .), Fibonacci sayıları (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . .) bunlardan sadece bir kaçıdır. Matematik dünyası hepsi kendine ait özelliklere sahip olan daha bir çok sayı tipleri sunar.
Sayılar teorisinin temel amacı, farklı sayı türleri arasındaki ilginç ve beklenmedik ilişkileri keşfetmek ve bu ilişkilerin doğru olduğunu kanıtlamaktır. Bunun için matematikçiler sayılar ve sayı grupları arasındaki ilişkiler hakkında teoriler formüle ederler. Sonrasında da teorilerini, aksiyomlarla (daha önce gerçek olarak kabul edilen ifadeler) ve teoremlerle (diğer teoremlere veya aksiyomlara dayalı ifadeler) desteklerler.
Modern sayılar teorisi; temel sayılar teorisi, cebirsel sayılar teorisi, analitik sayılar teorisi, geometrik sayılar teorisi ve olasılıksal sayılar teorisi gibi alt başlıklara ayrılan geniş bir konudur. Bu kategoriler sayılarla ilgili problemleri çözmek için kullanılan yöntemleri yansıtır.
20. yüzyılın ortalarına kadar sayılar teorisi, gerçek dünyaya doğrudan uygulaması olmayan, matematiğin en saf dalı olarak kabul ediliyordu. Ancak bilgisayarların ve dijital iletişimin ortaya çıkışı, sayılar teorisinin gerçek dünyadaki sorunlara beklenmedik yanıtlar sağlayabileceğini ortaya çıkardı. Aynı zamanda, bilgisayar teknolojisindeki gelişmeler sayı teorisyenlerinin büyük sayıları çarpanlara ayırma ve asal sayıları belirleme gibi konularda dikkate değer ilerlemeler kaydetmesine olanak tanıdı.
Sayılar Teorisi Nasıl Çalışır?
Sayılar teorisi, matematiksel ilişkileri analiz etmenin yanı sıra onlar hakkında yeni sorular sormayı da içerir. Örneğin Pisagor teoremini (a2+b2=c2) sağlayan sayılara Pisagor üçlüsü denir. (3,4,5) gibi bu sayı üçlüsü a2+b2=c2 denklemini çözer. Peki ya a3+b3=c3?
Matematikçi Pierre de Fermat da küpler hakkında aynı soruyu sordu. Pierre de Fermat profesyonel bir matematikçi değildi. Günlük işi hukuk danışmanlığıydı. Ama tutkusu matematik özellikle de sayıların özelikleri ile uğraşmaktı. 1650 yılı civarında Fermat Diophantus’un Arithmetica adlı kitabının kenarına gizemli bir not yazdı. “… Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet!”. Bu şunun gibi bir anlama gelmekteydi. “Teoremin müthiş bir kanıtını buldum fakat burada yazacak kadar yer yok”.
Fermat meşhur notunu tam da Pisagor üçlüleri ile ilgili kısmın yanına yazmıştı. O zamandan sonra bu kitabı okuyan matematikçiler Fermat’ın iddialı sözüyle karşılaşınca hadi bizde deneyelim diye işe giriştiler. Sonunda Fermat’a meydan okuma yarışı başladı.
Aslında Fermat kitabın kenarlarına ispatı verilmemiş sayılar kuramı ile ilgili başka sorular da yazmıştı. Süreç içinde matematikçiler diğer tüm problemleri ispat ettiler. Sonunda geriye doğruluğu ya da yanlışlığı ispatlanamayan son bir teorem kaldı. Bu nedenle doğal olarak bu teorem Fermat’ın son teoremi olarak bilinmeye başlandı. 1635-1637 arasında ileri sürülen bu teorem ancak 1994 yılında İngiliz matematikçi Andrew Wiles tarafından kanıtlandı. Bu sayılar teorisinin nasıl çalıştığının güzel bir örneğidir.
Sayılar Teorisi Çözümsüz Problemlerle İle Doludur
Bugüne kadar kazanılmış onlarca zafere rağmen, sayılar teorisi halen birçok çözülmemiş sorunun kaynağıdır. Üstelik en kafa karıştırıcı olanlardan bazıları da oldukça masum görünmektedir. Örneğin, “Tek mükemmel sayılar var mı?” bilmiyoruz. “Sonsuz sayıda ikiz asal var mıdır?” ya da “Goldbach’ın varsayımı doğru mu?” bunları da bilmiyoruz. Bu nedenle günümüzde hala pek çok sayı teorisyeni bu sorulara hala cevap arıyor. Sayılar teorisi ve çeşitli alt alanları matematik severlerin aklını daha uzun süre meşgul edecek gibi gözüküyor.
Kaynaklar ve ileri okumalar
- What Is Number Theory? Bağlantı: http://science.howstuffworks.com
- Number theory. Bağlantı: https://www.britannica.com/science/number-theory/
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak veya Patreon üzerinden ufak bir bağış yaparak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
