Karekökü -1 olan sayının “i” olarak adlandırılan sanal bir sayı olduğunu biliyor olabilirsiniz.
Peki ya aşağıdakileri de biliyor muydunuz?
Bazen yaşadığımız Evren’i doğru bir şekilde tanımlamak istiyorsak, alışıldık düşünme biçimlerinin ötesine geçmemiz gerekir. 20. yüzyılın başlarında, fizikte yaşanan iki büyük devrim — Einstein’ın görelilik teorisi (önce özel, sonra genel) ve kuantum mekaniği — yalnızca gerçek sayılarla ifade edilemeyecek bir matematik anlayışına olan ihtiyacı doğurdu. O zamandan beri, hem gerçek hem de sanal (imajiner) bileşenler içeren karmaşık matematik, Evren’i kavrayışımızla ayrılmaz bir şekilde iç içe geçmiştir.
Sanal Sayılar Nedir?
Sayı kümeleri, temel ihtiyaçlardan doğarak adım adım genişlemiştir. Öncelikle sayma sayılar ortaya çıktı; insanlar nesneleri saymak için 1, 2, 3 gibi sayıları kullandı. Ancak, başlangıç durumlarını veya yokluğu ifade etmek gerektiğinde sıfır kavramı doğdu ve doğal sayılar tanımlandı.
Zamanla, borç ve eksikliği ifade etmek için negatif sayılar tanındı ve böylece tamsayılar ailesi oluştu. Tamsayılar, pozitif ve negatif sayılarla birlikte eksiksiz bir yapı sağladı. Ancak bölme işlemi her zaman tamsayılar arasında sonuç vermiyordu. Bu durum, rasyonel sayılar kavramını doğurdu
Ancak zamanla, bazı sayıların kesirli şekilde tam olarak ifade edilemediği keşfedildi. √2 veya π gibi değerler, ondalık olarak sonsuza kadar gider ve tekrar etmez. Bu nedenle, irrasyonel sayılar tanımlandı ve rasyonel sayılarla birlikte gerçel sayılar kümesini oluşturdu. Fakat negatif sayıların karekökü gibi işlemler, gerçel sayıların bile ötesine geçmeyi zorunlu kıldı. Böylece sanal (imajiner) sayılar ve onların birleşimi olan karmaşık sayılar kavramı doğdu.
Sanal bir sayı, gerçek bir sayı gibidir, ancak “i” yani (-1)’in karekökü ile çarpılmış halidir. Sayılar ayrıca karmaşık da olabilir; bu durumda bir gerçek kısım (a) ve bir sanal kısım (b) içerirler ve genellikle (a + bi) şeklinde ifade edilirler. Artık sanal sayıların ne olduğunu bildiğinize göre, işte sanal sayılar hakkında bazı eğlenceli bilgiler.
i sayısının karekökünün hem gerçek hem de sanal kısımları vardır
Negatif bir gerçek sayının karekökü tamamen sanal bir sayı olurken, tamamen sanal bir sayının karekökü hem gerçek hem de sanal parçalara sahip olmalıdır! Bunu kendiniz de kolayca kanıtlayabilirsiniz.
Öncelikle bir gerçek kısmı (x) ve bir sanal kısmı (y) olan (x + yi) karmaşık sayısının aradığımız cevap olduğunu kabul edelim. Daha sonra bunu i sayısının kareköküne aşağıdaki gibi eşitleyelim. Sonrasında da her iki tarafında karesini alalım.
İki tarafın karesini aldıktan sonra eşitliğin sağ ve sol tarafında kalan ifadelerin tam kısımlarını ve sanal kısımlarını birbirine eşitlememiz lazım. Bu durumda elimizde aşağıdaki eşitlik var. Sonrasında yapmamız gereken eşitlikleri çözmek olacak.
Bu denklem sisteminin çözümünde y= + √1/2 ve y=-√1/2 sonuçlarını elde edersiniz. Bu durumda da aşağıdaki sonucu elde etmiş oluruz. Gördüğünüz gibi i sayısının karekökünün hem gerçek hem de sanal kısımları bulunur. Şimdi ikinci ilginç bilgimize geçelim.
Bildiğiniz gibi herhangi bir pozitif sayının karekökünü almak size bir pozitif bir de negatif cevap verecektir. Ancak yukardaki örnekte de gördüğünüz gibi i sayısının karekökünü aldığınız zaman iki cevap elde ederseniz. Aslına bakarsanız farklı dereceden kökler ile işlem yapmaya çalışırsanız ilginç bir örüntü ortaya çıkar. Eğer zaman bulursanız aşağıdaki eşitlikler çözerek bunu siz de görebilirsiniz.
Eğer zamanınız yoksa söyleyelim. Üçüncü dereceden kök için üç tane cevap, 4. derece kök için dört tane cevap, beşinci dereceden kök için beş tane cevap bulacaksınız ve bu biçimde devam edecek. Kolaylık olması açısından aşağıya i sayısının üçüncü derecen kökü için bulacağınız cevapları ekleyelim.
e, π ve i’nin hepsi birbiriyle ilişkilidir
Bildiğin gibi, standart bir x ve y ekseni (ikisi de gerçek sayılardan oluşur) üzerinde bir nokta belirleyebilirsin. Ancak aynı uzayı kutupsal koordinatlarla da ifade edebilirsin; burada bir radyal koordinat (r) ve bir açı (θ) kullanılır.
Eğer x ve y ekseni yerine, bir gerçek ve bir sanal eksen oluşturursan, aynı şeyi burada da yapabilirsin. Ancak bu kez açı θ seni gerçek düzlemden sanal düzleme ve tekrar geri taşır!
Bu ilginç sonucu matematikçiler dünyanın en güzel denklemi olarak tanımlar. Biz ise aşağıda gördüğünüz bu eşitliği Euler özdeşliği adı ile biliyoruz. Bu sayede de i sayısı, e sayısı ve π sayısını birbiri ile ilişkilendirebiliyoruz. Detaylar burada: Euler Formülü Neden Matematiğin En Güzel Formülüdür?
Karmaşık sayılarda i sayısı üzeri i sayısı işleminin sonucu reeldir
Lisede karmaşık sayılar konusunu görenler i sayısının kuvvetlerini hesaplamasını bilir. Bu sayının kuvvetlerini aldığınız zaman aşağıda gördüğünüz gibi sonuçlar elde edersiniz.
Peki, i sayısı üzeri i sayısının sonucu kaç çıkacaktır. Bu sayının sonucu tam olarak söylemek gerekirse 0.2078795763507619085… biçiminde uzayıp giden bir irrasyonel sayıdır. Bu sonucun nasıl ortaya çıktığını anlayabilmeniz için temel düzeyde logaritma ve ayrıca yukarıda size tanıttığımız Euler özdeşliğini bilmeye ihtiyacınız var.
Euler formülünde x yerine açılar yerleştirerek ilginç sonuçlara ulaşabilirsiniz. Şimdi Euler formülüne açı olarak π/2 yani 90 dereceyi yerleştirdiğimizi düşünelim. Bu durumda açılım aşağıdaki gibi olacaktır.
Şimdi her iki tarafın i. kuvvetini alalım. Ardından π için yaklaşık 3,14 ve e için yaklaşık 2,71 değerlerini yerine koyarak gerekli hesaplamayı yapalım. Bu işlemin sonucunda i üzeri i, yaklaşık olarak 0,20788 değerine ulaşır. Yani sanal bir sayının sanal bir kuvveti, gerçek bir sayı verir.
Ancak bir noktayı hatırlatmak gerekir: Bizim hesaplamamızda ulaştığımız değer, birçok olası değerden yalnızca biridir. Eğer π/2 yerine 3π/2, 5π/2 gibi farklı değerler kullanırsak, farklı sonuçlar elde ederiz.
Kaynaklar ve ileri okumalar
- Top 5 facts about Imaginary Math. Yayınlanma tarihi: 26 Ocak 2014. Kaynak site: Big Think. Bağlantı: Top 5 facts about Imaginary Math
- A brief history to imaginary numbers. Kaynak site: Science Focus. Bağlantı: A brief history to imaginary numbers
- What Is i Raised To The Power i?; Yayınlanma tarihi: 19 Ocak 2022; Bağlantı: What Is i Raised To The Power i/
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
