Karmaşık sayılar ve sanal sayıları öğrenen öğrencilerin aklına çoğu zaman bu benim ne işime yarayacak sorusu gelir. Aslında bir yerde de haklıdırlar. Sonucunda gündelik hayatımızda i sayısı ile fazla karşılaşmayız. Aslına bakarsanız karşılaşsak bile bunun farkında olmayız.
Her ne kadar çoğumuz bu sayıları okulda öğrenmemiz ve sonrasında da unutmamız gereken bir şey gibi düşünse de, içinde yaşadığınız evreni doğru bir şekilde tanımlamak istiyorsanız onlara ihtiyacınız vardır. 20. yüzyılın başlarında fizikteki iki devrim— Einstein’ın göreliliği (önce özel, sonra genel) ve kuantum mekaniği— gerçek sayıların ötesinde bir matematik ihtiyacı olduğunu ortaya koydu.
O zamandan beri, hem gerçek hem de sanal parçalardan oluşan karmaşık matematik, Evren anlayışımızla ayrılmaz bir şekilde iç içe geçmiş durumda. Daha fazla bilgiyi bu yazımızda ele almıştık: Kuantum Fiziği İle İlgili Hesaplamalarda Neden Her Seferinde Karşımıza Sanal Sayılar Çıkıyor? Bu yazıda da size i sayısı ile ilgili bazı ilginç bilgiler vereceğiz. Ancak öncesinde konuya yabancı olanlar için bu sayılara neden ihtiyaç duyduğumuzu anlayalım.
Sanal Sayılar Nedir?
Bugün okullarımızda doğal sayılardan başlayarak, tamsayılar, rasyonel sayılar biçiminde birbirini kapsayan sayı ailelerini öğretiyoruz. En sonunda da karmaşık sayılara geliyoruz. Çünkü “Hangi sayının karesi -1 yapar?” sorusunu sorduğumuz zaman bir noktadan sonra cevap alamıyoruz. Bu sorunun cevabının -1’in karekökü diğer deyişle x=√ -1 biçiminde olur ve bunun reel sayılarda bir karşılığı yoktur. Bu durumda da yeni bir sayı sistemine daha ihtiyaç duyulur.
Sanal (imaginary) sayılar adı, filozof ve matematikçi Rene Descartes tarafından 1637 yılında verildi. Devamında da Euler bu sayılara bir kimlik kazandırdı. Bu sayede de √-1 , “i” olarak gösterilmeye başlandı. ( Genellikle i sembolüyle gösterilen sanal sayılar, elektronikte j sembolüyle gösterilir. Çünkü i akımı belirtir ve aynı sembolün kullanılması kafa karışıklığına neden olacaktır.
İ sayısı işin içine karıştığı zaman karşımıza yeni bir sayı sistemi çıkar. Bu sistemin adı karmaşık sayı sistemidir. Artık yeni sistemimizde 1, 2 gibi sayıların yanı sıra 1+2i, -3+i gibi sayılar da vardır. Sanal sayılar ile ilgili bu temel bilgiyi aldıktan sonra şimdi bu sayılar ile ilgili üç ilginç ilişkiye göz atalım.
i sayısının karekökünün hem gerçek hem de sanal kısımları vardır
Yukarıdaki giriş kısmında da açıkladığımız gibi i sayısı negatif bir gerçek sayının karekökü anlamına gelir. Ancak işin ilginç tarafı i sayısının karekökünün hem gerçek hem de sanal kısımları vardır. Şimdi bunun nedenini görelim. Öncelikle bir gerçek kısmı (x) ve bir sanal kısmı (y) olan (x + yi) karmaşık sayısının aradığımız cevap olduğunu kabul edelim. Daha sonra bunu i sayısının kareköküne aşağıdaki gibi eşitleyelim. Sonrasında da her iki tarafında karesini alalım.
İki tarafın karesini aldıktan sonra eşitliğin sağ ve sol tarafında kalan ifadelerin tam kısımlarını ve sanal kısımlarını birbirine eşitlememiz lazım. Bu durumda elimizde aşağıdaki eşitlik var. Sonrasında yapmamız gereken de aşağıdaki eşitlikleri çözmek olacak.
Bu denklem sisteminin çözümünde y= + √1/2 ve y=-√1/2 sonuçlarını elde edersiniz. Bu durumda da aşağıdaki sonucu elde etmiş oluruz. Gördüğünüz gibi i sayısının karekökünün hem gerçek hem de sanal kısımları bulunur. Şimdi ikinci ilginç bilgimize geçelim.
Bildiğiniz gibi herhangi bir pozitif sayının karekökünü almak size bir pozitif bir de negatif cevap verecektir. Ancak yukardaki örnekte de gördüğünüz gibi i sayısının karekökünü aldığınız zaman iki cevap elde ederseniz. Aslına bakarsanız farklı dereceden kökler ile işlem yapmaya çalışırsanız ilginç bir örüntü ortaya çıkar. Eğer zaman bulursanız aşağıdaki eşitlikler çözerek bunu siz de görebilirsiniz.
Eğer zamanınız yoksa söyleyelim. Üçüncü dereceden kök için üç tane cevap, 4. derece kök için dört tane cevap, beşinci dereceden kök için beş tane cevap bulacaksınız ve bu biçimde devam edecek. Kolaylık olması açısından aşağıya i sayısının üçüncü derecen kökü için bulacağınız cevapları ekleyelim.
e, π ve i’nin hepsi birbiriyle ilişkilidir
Bildiğiniz gibi koordinat düzleminde bir doğruyu aşağıdaki gibi temsil etmek mümkündür. Ancak bir doğruyu istersek kutupsal koordinat sisteminde de gösterebiliriz. Kutupsal koordinat sistemi deyince de işin içine sanal sayılar karışacaktır.
Kartezyen koordinat sisteminden kutupsal koordinat sistemine geçiş yaptığımızda ilginç bir şey gerçekleşir. Bu sistemde reel eksen üzerindeki -1 sayısının yerini tanımlamak istersek ilginç bir sonuç elde ederiz.
Bu ilginç sonucu matematikçiler dünyanın en güzel denklemi olarak tanımlar. Biz ise aşağıda gördüğünüz bu eşitliği Euler özdeşliği adı ile biliyoruz. Bu sayede de i sayısı, e sayısı ve π sayısını birbiri ile ilişkilendirebiliyoruz. Detaylar burada: Euler Formülü Neden Matematiğin En Güzel Formülüdür?
Karmaşık sayılarda i sayısı üzeri i sayısı işleminin sonucu reeldir
Lisede karmaşık sayılar konusunu görenler i sayısının kuvvetlerini hesaplamasını bilir. Bu sayının kuvvetlerini aldığınız zaman aşağıda gördüğünüz gibi sonuçlar elde edersiniz.
Peki, i sayısı üzeri i sayısının sonucu kaç çıkacaktır. Bu sayının sonucu tam olarak söylemek gerekirse 0.2078795763507619085… biçiminde uzayıp giden bir irrasyonel sayıdır. Bu sonucun nasıl ortaya çıktığını anlayabilmeniz için temel düzeyde logaritma ve ayrıca yukarıda size tanıttığımız Euler özdeşliğini bilmeye ihtiyacınız var.
Euler formülünde x yerine açılar yerleştirerek ilginç sonuçlara ulaşabilirsiniz. Şimdi Euler formülüne açı olarak π/2 yani 90 dereceyi yerleştirdiğimizi düşünelim. Bu durumda açılım aşağıdaki gibi olacaktır.
Şimdi her iki tarafın i kuvvetini alalım. Sonra da π=3,14 ve e=2.71 yaklaşık sonuçlarını yerlerine yazıp gerekli hesaplamayı yapalım. Bunun neticesinden i üzeri i yaklaşık olarak 0,20788 biçiminde olur. Böylece, sanal bir sayının sanal kuvveti gerçek sayı olur. Ayrıca hatırlatalım. Bizim hesaplamamızda ulaştığımız değer birçok değerden sadece biridir. π/2 yerine 3π/2 , 5π/2 gibi farklı değerler aldığımız zaman farklı sonuçlar elde ederiz.
Kaynaklar ve ileri okumalar
- Top 5 facts about Imaginary Math. Yayınlanma tarihi: 26 Ocak 2014. Kaynak site: Big Think. Bağlantı: Top 5 facts about Imaginary Math
- A brief history to imaginary numbers. Kaynak site: Science Focus. Bağlantı: A brief history to imaginary numbers
- What Is i Raised To The Power i?; Yayınlanma tarihi: 19 Ocak 2022; Bağlantı: What Is i Raised To The Power i/
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
