Bir terazi yardımı ile hangi paranın sahte olduğunu belirlemeniz istenen ya da en az kaç tartım yapmanız gereken bulmacalara rastlamış olmanız olasıdır. Bu sorularda genellikle kullanılan nesne para olduğu için sahte para bulmacaları diye anılır.
Denge bulmacaları mantıksal akıl yürütmeyi gerektirir ve matematiksel genellemeye oldukça uygundur. Bu soruların bir çok farklı versiyonu vardır. Kimi durumlarda soruda 8, 9 ya da 12 tane para kullanılır. Aslına bakarsanız bunlar en kolay olanlarıdır. Daha genel çözümler için matematikçiler de bu bulmacalar ile uzun zamandır uğraşmaktadır.
Sahte Para Bulmacası 1
Birbirinin aynısı olan sekiz paranız var. Bu paralardan biri sahte ve diğerlerinden daha hafif. İki tartımda sahte olan parayı bulunuz.
Oldukça kolay bir soru olsa da daha kolayını ele alarak bir genelleme yapalım. Bu tip bulmacalarda bu her zaman iyi bir yaklaşımdır. Bu nedenle, biri diğer ikisinden daha hafif olan yalnızca üç madeni paranız olduğunu hayal edin. Bu üç paradan hangisinin sahte olduğunu belirlemek için sadece 1 tartım yapmanız yeterlidir. Sonucunda tartım sonucunda iki para dengede kalırsa kullanmadığınız para sahtedir. Yada denge olmazsa hangi paranın sahte olduğunu tartım esnasında görmeniz mümkündür.
Sonucunda elinizde kaç tane para olursa olsun son tartıma sahte parayı bırakırsanız onu kolayca bulmanız mümkün olacaktır. Bunu da ancak elinizdeki paraları gruplara ayırıp devamında da bu grupları birbirine karşı tartarak başarabilirsiniz. Eğer iki grup dengesiz olursa hafif olanı kolayca belirlersiniz. Sonraki ikinci tartım için de yukarıdaki gibi ilerleyebilirsiniz.
Bu arada 8 parayı iki tartımda bulmayı da şu şekilde başarırsınız. Verilen madeni paralardan her biri üçer madeni paradan oluşan iki grup seçin ve bunları terazinin karşı taraflarına koyun. Aynı ağırlığa sahiplerse sahte para, kalan iki madeni para arasındadır ve bu iki madeni paranın tartılması, daha hafif olan sahte parayı belirleyecektir. İlk tartımda denge sağlanamazsa, daha hafif olan sahte para, tarttığınız paralar arasındadır. Bu durumda hafif olan kısımdaki paraları alın, içlerinden birini kenara sonrasında da yukarıda 3 para için bahsettiğimiz yöntemi kullanın.
Sahte Para Bulmacası 2
Birbirine benzeyen 12 adet paranız var. Bunlardan biri farklı ancak bu sefer farklı olanın daha mı ağır daha mı hafif olduğunu bilmiyorsunuz. Sadece 3 tartımda farklı olan parayı ayrıca bu paranın daha hafif mi yoksa ağır mı olduğunu bulunuz.
Bu sorunun çözümü için daha farklı düşünmeniz gerekecektir. Öncelikle paraları 1’den 12’ye kadar numaralandırın. İlk olarak 1, 2, 3, 4’e karşı 5, 6, 7, 8. numaraları paraları tartın.
Eğer eşitse
Bu durumda terazideki sekiz para da gerçektir ve sahte olan para diğer dörtlü kümenin içindedir. Şimdi bu paralardan üçünü alın ve daha önce tarttığınız ve gerçek olduğunu bildiğiniz üç para ile birlikte tartın. Yani bu sefer 9, 10, 11 ve 1, 2, 3 numaralı paraları tartın. Eğer eşitse, 12 numaralı para sahtedir. Bu durumda ağır mı hafif mi olduğunu belirlemek için onu diğer madeni paralarla karşılaştırın. Bu durumda 3 tartım da cevabı buldunuz.
Eşit değilse 9, 10, 11 numaralı paralara geri dönmelisiniz. (1, 2 ve 3’ün gerçek olduğunu biliyoruz). Bu sefer 9 ile 10 numaralı paraları tartın. Eğer eşitse 11 sahte olan paradır. Bu durumda 9 ya da 10’dan biri sahte olmalı. Şimdi 9 ile 10’un ikinci tartımdaki pozisyonunu anımsayın. Yani 9, 10, 11 ve 1, 2, 3 numaralı paraları tarttığınızda 9,10,11 daha hafif miydi, yoksa ağır mıydı? Eğer daha hafifse 9 ile 10 numaraları tarttığınızda hafif gelen sahtedir.( Aynı şey ağır için de geçerlidir.)
Eğer eşit değilse
1, 2, 3, 4 ve 5, 6, 7, 8 numaraları paraları tarttığınızda denge yoksa bu sefer her iki tarafın hangi yöne hareket ettiğini işaretleyin. Diyelim ki 1, 2, 3, 4 aşağı ve 5, 6, 7, 8 yukarı doğru hareket etti. İkinci tartım 1, 2, 5 ve 3, 4, 6 arasında olsun. Eğer eşitse 7 veya 8 sahtedir. Şimdi bu iki parayı birbirine karşı tartın. Hangisi yukarı çıkarsa sahtedir ve hafiftir.
Eğer 1, 2, 5 ve 3, 4, 6 eşit değilse o zaman yerlerini değiştirdiğiniz 3 para yani 3, 4 ve 5 sahte değildir. Eğer sahte olsalardı dengede bir bozulma olurdu ancak halen ilk biçim korunmaktadır. ( Çizerek görebilirsiniz) Diyelim ki yine 1, 2, 5 yine aşağı doğru hareket etti. Bu, 1 veya 2’nin sahte olduğu ve birinin ağır olduğu anlamına gelir. Son olarak 1 ile 2’yi tartın hangisi daha ağır gelirse sahte para odur.
Bu arada 1, 2, 5’in aşağıda doğru hareket etmesi 1 veya 2’nin normal ancak 6’nın hafif olduğu anlamına da gelebilir. Bu durumda üçüncü tartımda 1 ve2 eşitse, o zaman 6 sahtedir ve hafiftir. Bu durumda da çözüm tamamlanmıştır.
Yazımızın devamında okumaya devam etmek isterseniz bu yazımıza göz atabilirsiniz. 1982 Yılında Sorulan Ve Herkesin Yanlış Anladığı SAT Sorusu. Daha fazla sahta para bulmacasına erişmek isterseniz de kaynaklardaki yazılardan devam edebilirsiniz.
Kaynaklar ve ileri okumalar:
- Seeking Mathematical Truth in Counterfeit Coin Puzzles. Yayınlanma tarihi: 29 Temmuz 2022. Kaynak site: Quanta. Bağlantı: Seeking Mathematical Truth in Counterfeit Coin Puzzles
- Khovanova, Tanya. (2013). Parallel Weighings.
- The Twelve-Coin Problem. Yayınlanma tarihi: 21 Temmuz 2014. Kaynak site: NY. Times Bağlantı: The Twelve-Coin Problem
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak veya Patreon üzerinden ufak bir bağış yaparak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
