Yüzyıllar boyunca matematikçiler, doğanın tasarım ustalığını açıklayan bir dizi kural bulmayı ummuşlardır. Bu arayış sırasında karşılarına sabun köpükleri ve onları anlamamıza yardımcı olan Plateau Kanunları çıkmıştır.
Sabun köpükleri, sabunlu suyun içi boş bir küre oluşturacak şekilde havayı çevrelemesiyle meydana gelir. Yanardöner bir yüzeye sahip olan bu köpükler, son derece ince tabakalardan oluşur. Sabun moleküllerinin katmanları arasındaki su, buharlaştığında kendiliğinden er ya da geç patlar.
Bunun bir alternatifi ise, soğuk havalarda sabun köpüğü oluşturmaya çalışmaktır. Soğuk hava, köpüğün daha dayanıklı olmasını sağlayabilir ve bu da eşsiz bir görsel deneyim sunar.
Bir sabun köpüğünün şeklini anlamanın anahtarı, yüzey gerilimi kavramıdır. Yüzey gerilimi, bir sıvının molekülleri arasındaki kohezif (çekici) kuvvetler nedeniyle oluşur. Bir sıvı molekülü, çevresindeki diğer moleküller tarafından her yönden eşit şekilde çekilir. Bu nedenle, molekül üzerine etki eden net kuvvet sıfırdır.
Ancak sıvının yüzeyindeki moleküller, yalnızca yanlara ve aşağıya doğru çekilir. Bu durum, sıvının yüzeyini esnek bir zar gibi göstermesine neden olur. Suya sabun eklediğinizde yüzey gerilimi azalır ve hava, bu sabunlu su katmanında hapsolur. Sabunlu su katmanı ise her zaman küresel bir form alır, çünkü küresel şekil minimum yüzey alanına sahip olmanın avantajını sunar.
Sabun Köpükleri Küre Dışında Başka Bir Şekil Alamaz mı?
Üçgen ya da kare biçimli bir baloncuk yaratabilseydik, izlemesi oldukça keyifli olurdu. Ancak bu mümkün değildir. Doğadaki her şey gibi, sabun köpükleri de mümkün olan en düşük enerjiyi harcayacak şekilde olma eğilimi gösterir.
Sabun köpükleri, yüzey gerilimini en aza indirmek için hacmi çevreleyen yüzey alanını azaltmayı amaçlar. Bu nedenle, belirli bir hacmi kapsamak için en düşük yüzey alanına sahip olan şekil küredir.
Bu durumu şöyle açıklayabiliriz: Elimizde hacmi 1 santimetreküp olan bir küremiz ve aynı hacimde beş Platonik katımız olduğunu düşünelim. Küremizin yüzey alanı yaklaşık 48.4 santimetrekare olacaktır. Ancak Platonik katlar, aynı hacimde olmalarına rağmen daha büyük bir yüzey alanına sahip olur. Bu nedenle, doğa her zaman en verimli yolu seçer ve sabun köpüklerini küre biçiminde oluşturur.
Tetrahedron (4 yüzlü) yaklaşık 71.1 santimetrekare, küp (6 yüzlü) 60.0 santimetrekare, oktahedron (8 yüzlü) 57.2 santimetrekare, dodekahedron (12 yüzlü) 53.2 santimetrekare ve ikosahedron (20 yüzlü) ise 51.5 santimetrekare yüzey alanına sahiptir. Dikkat ederseniz, şeklimiz küreye yaklaştıkça yüzey alanı küçülmektedir.
Baloncukların neden küreler olduğunun mantığını ve fiziğini anlamak aslında oldukça kolaydır. Ancak kürenin belirli bir hacim için minimum alana sahip yüzey olduğunu matematiksel olarak kanıtlamak, şaşırtıcı derecede zordur. Tam bir kanıt ancak 1884 yılında ortaya konabilmiştir. Bu konuyu daha iyi kavrayabilmek için öncelikle biraz tarihe yolculuk yapmamız gerekir.
Kraliçe Dido Problemi
Roma mitolojisine göre Dido, Sur şehrinden Fenikeli bir prensestir. Kral olan kardeşi, kocasını öldürdüğünde şehirden kaçar ve Kuzey Afrika’da, ileride Kartaca adını alacak olan bölgeye ulaşır. Bu bölgenin kralı, Dido’ya ve insanlarına yerleşebilmeleri için toprak satın alma izni verir. Ancak bu toprak yalnızca bir öküz derisinin kaplayabileceği büyüklükte olmalıdır.
Dido, kendisine verilen deriyi ince şeritler halinde kestirir ve bu şeritleri birbirine bağlayarak uzun bir kordon elde eder. Sırada bu kordonu, en geniş alanı kaplayacak şekilde yere yayma problemi vardır. Bu durumda Dido, şu temel matematiksel soruyla karşı karşıya kalır: Kapalı eğriler arasında, en geniş iç bölgeye sahip olan hangisidir?
Anlatılanlara göre, Dido doğru seçimi kısa zamanda yapmıştır. Eşit çevre uzunluğuna sahip düzlemsel şekiller arasında en fazla alanın daireye ait olduğunu fark eder. Ancak bu problemi matematiksel olarak çözmek, o kadar kolay olmamıştır.
Bu problem, “Dido Problemi” olarak bilinir. 19. yüzyılın başında Jakob Steiner, bu konuyu ele alana kadar tam anlamıyla cevaplanamamıştı. Steiner’ın ortaya attığı fikirler, daha sonraki matematikçiler tarafından geliştirildi. Sonuç olarak, Belçikalı fizikçi Joseph Plateau, bu problemle ilgili bir dizi yasa ortaya koydu.
Plateau Kanunları Nedir?
Plateau’nun yaptığı deneysel çalışmalar, onu dört basit ancak çarpıcı sonuca ulaştırmıştır:
- Bir sabun köpüğünün zarı, düzgün yüzey parçalarının topluluğundan oluşur.
- Bu düzgün parçaların her birinin ortalama eğriliği (yani yüzeylerinin ortalama eğimi) sabittir.
- Üç sabun baloncuğunun yüzeyleri, birleştikleri yerde düzgün bir eğri oluşturur ve her bir yüzey, bu eğriyi 120 derecelik açıyla böler.
- Ortaya çıkan altı eğri, bir noktada birleşir ve bu noktada her çift eğri arasındaki açı eşittir (yaklaşık 109 derece).
Bu kurallar dizisi, sabun baloncuklarının ne kadar karmaşık olursa olsun, tüm geometrik özelliklerini açıklamaktadır. Plateau, kendi kurallarını ihlal eden bir sabun baloncuğu bulmak için yoğun çaba harcamıştı. Ancak her seferinde elde ettiği sonuçlar, ortaya koyduğu kurallarla tam bir uyum içerisindeydi.
Sonuç olarak, sabun köpükleri, doğanın her zaman minimal alanı kaplama eğilimindeki harika oyuncaklarıdır. Bu basit ama etkileyici kurallar, sabun köpüklerinin doğasının bilimsel birer yansımasıdır.
Kaynaklar ve İleri Okumalar:
- Queen Dido’s problem; https://undergroundmathematics.org/
- Why Are Bubbles Round?; Yayınlanma tarihi: 8 Temmuz 2022; Bağlantı: https://www.scienceabc.com
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
