Kendimize büyük ölçüde düz çizgilerden oluşan bir dünya inşa ettik. İçinde yaşadığımız evler, çalıştığımız gökdelenler ve günlük işe gidiş gelişlerimizde kullandığımız sokaklar. Yine de kutularımızın dışında, doğada karşımıza çıkan geometri bundan çok farklı. Örneğin mercanlar hiperbolik geometri dediğimiz şeyin biyolojik bir karşılığı gibidir.
Doğa yüz milyonlarca yıldır hiperbolik formlarla oynarken, matematikçiler bu tür yapıların imkansız olduğunu kanıtlamak için yüzlerce yıl harcadılar. Çünkü hiperbolik geometri radikal bir fikirdi. Sonuçta Öklid geometrisinin aksiyomlarından birini ihlal ediyordu. Ancak bilimsel gerçekleri bastırmak kolay değildir. Nitekim de öyle oldu. Hiperbolik geometrinin kabulü matematik tarihinde bir devrime yol açtı.
Hiperbolik geometri neden radikal bir fikirdi?
Günümüzde geometrinin babası olarak da hatırladığımız Öklid, kendisinden önce yaşamış Thales, Pisagor ve Eudoxus gibi matematikçilerin çalışmaları üzerine kurduğu Elementler isimli bir kitap kaleme almıştı. Bu kitap 19. yüzyıla kadar akademik dünyanın temel ders kitaplarından biri oldu.
Öklid’in aksiyomlarından biri, tüm üçgenlerin iç açılarının toplamının 180 derece olduğunu söylemeye eşdeğerdir. Bu Öklid’in Beşinci postulatı olarak bilinmektedir. Yüzyıllar boyunca matematikçiler beşinci postulatın ilk dördünün doğrudan bir sonucu olduğunu kanıtlamaya çalıştı ancak tüm girişimler başarısız oldu. Yine de Öklid geometrisi egemenliğini sürdürdü.
Paralellik varsayımı olarak da bilinen postulat şuna benzer. Düz bir çizgim ve çizginin dışında bir noktam varsa, orijinal çizgiyle asla kesişmeyen, ancak bu noktadan geçen, kaç tane düz çizgi çizebilirim? Öklid cevabın bir olduğunu ve daha fazlasının olamayacağını söylemişti ki bu sezgisel olarak doğru gibi geliyor.
Ancak yine de matematikçiler, bunun doğru olduğunu kanıtlamak istediler. Uzun zaman boyunca çabaları boşa çıksa da sonunda Carl Friedrich Gauss (1777-1855), Janos Bolyai (1802-1860), Nikolai İvanoviç Lobaçevski (1793-1856) gibi matematikçiler Öklid dışı geometrilerin doğmasına ön ayak oldular.
Matematikçi János Bolyai ile Nikolay Lobaçevski’nin birbirinden bağımsız keşfettiği şey beşinci postulatı gerektirmeyen, daha farklı bir geometrinin var olabileceği idi. Günümüzde onların bu keşiflerini hiperbolik geometri ya da Lobaçevski geometrisi diye biliyoruz.
Hiperbolik Geometri Nedir?
Farklı geometrileri anlamanın bir yolu eğriliklerini anlamaktır. Düz veya Öklid düzleminin eğriliği sıfırdır. Bir kürenin yüzeyi (plaj topu gibi) pozitif eğriliğe sahiptir ve hiperbolik bir düzlem negatif eğriliğe sahiptir. Bu eğrilikler de ilginç sonuçlara neden olur.
Bu üç geometrinin çok farklı özellikleri vardır. Örneğin, Öklid geometrisinde bir üçgenin açılarının toplamının 180 derece olduğunu hatırlayın. Küresel geometride durum böyle değildir. Bir küre üzerine üç nokta yerleştirilirse, aralarındaki açılar 180 dereceden fazla olur. Hiperbolik geometride, açılarının toplamının 180 dereceden kesinlikle küçük bir pozitif sayı olduğu üçgenler oluşturulabilir.
Açı toplamının görünür kuralı bozduğu üçgenler, Öklid’in hiç hayal etmediği geometri türlerinin olduğunun ortaya çıkmasına yol açtı. Bu, fizikte, bilgisayar grafiklerinde, hızlı algoritmalarda ve daha fazlasında uygulamaları olan derin bir gerçektir. Aşağıdaki şekildeki tüm siyah beyaz şekiller hiperbolik üçgenlerdir.
Yüzey alanını maksimize etmenin bir avantajı olduğu her yerde hiperbolik şekiller mükemmel bir çözümdür. Ancak bu şekilleri gerçek dünyada sembolize etmesi zordur. Buna da bir çözüm matematikçi
Daina Taimina’nın tığ işi çalışmaları ile bulundu.
Evrenimizin Şekli Nasıldır?
Hiperbolik geometri, muhtemelen size hayali bir matematiksel yapı gibi gelmiştir. Bu nedenle gerçek hayatta işe yaramaz da diyebilirsiniz. Ancak yanılıyorsunuz. Matematikçiler farklı geometrik uzayların mümkün olduğunu anlayınca, fiziksel uzayda hangisinin gerçekleştirileceği sorusu ortaya çıktı. Diğer bir deyişle Evrenimizin şekli nasıldır?
Galileo Galilei ve Isaac Newton, modern fiziği uzayın Öklid geometrisi biçiminde olduğu varsayımı üzerine kurdular, ancak Albert Einstein’ın genel görelilik denklemleri karmaşık kavisli formlara sahip olabilecek bir evreni tanımlıyor.
Gökbilimcilerin çözmeye çalıştığı en önemli sorulardan biri evrenimizin şeklinin ne olduğudur. Büyük ölçekli kanıtların çoğu Öklid yapısına işaret etse de, hiperbolik bir dünyada yaşıyor olabileceğimize dair bazı kanıtlar da var.
Kaynaklar ve ileri okumalar:
- Maths in a minute: Not always 180. Yayınlanma tarihi: 3 Temmuz 2013; Kaynak site: Plus Math. Bağlantı: Maths in a minute: Not always 180
- Corals, crochet and the cosmos: how hyperbolic geometry pervades the universe. Yayınlanma tarihi: 27 Ocak 2016. Kaynak site: Conversation. Bağlantı: Corals, crochet and the cosmos: how hyperbolic geometry pervades the universe
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
