Matematikte mutlu ve mutsuz sayıları keşfetmek kolaydır. Örneğin 1 sayısı en mutlu sayılar arasında yer alır. Ancak 4 mutsuz bir sayıdır. Üstelik her ikisi de narsistik sayıdır. Peki ama tüm bunlar ne anlama gelir?
Sayılar karşımıza pek çok farklı biçim ve formda gelir. Okuldan hatırlayacağınız doğal, rasyonel, irrasyonel, sanal gibi farklı sayı kümeleri vardır. Ancak bugün onlardan değil, neşeli bir şeyden, yani “mutlu sayılardan” bahsedeceğiz.
Evet, mutlu sayılar gerçekten de matematikte karşımıza çıkar ve gerçek dünyada herhangi bir uygulaması olmasa da şaşırtıcı özelliklere sahiptirler. Bu nedenle de amatör matematikçiler arasında oldukça popülerdirler. Aslında tüm doğal sayılar “mutlu” veya “mutsuz” sayılar biçiminde ikiye ayrılır. Ve “mutluluğun” genelleştirilmesi, güçlü bir şekilde kendilerine odaklanan “narsisistik sayılara” da yol açar.
Mutlu Sayılar Ve Mutsuz Sayılar Hayatımıza Nasıl Girdi?
Mutlu sayılar kavramını ilk kimin geliştirdiği belirsizdir. Ancak popülerleştiren kişi 1960’larda İngiliz matematikçi Reginald Allenby olarak kabul edilmektedir. Mutlu sayıları bulması da son derece basittir. Bunun için herhangi bir doğal sayıyı alın, örneğin 13, ve rakamlarının karesini hesaplayın. (1 2 = 1; 3 2 = 9) Sonrasında da bunları toplayın. (1 + 9 = 10). Daha sonrasında da aynı işlemi elde edilen sayıyla (1 2 + 0 2 = 1) tekrarlayın. Bu tekrarın sonucunda elde edilen toplam 1 ise sayınız mutlu bir sayıdır.
Mutlu sayılar adını kimin taktığı bilinmiyor. Ancak sonsuz sayıda mutlu sayı olduğunu sezinlemek olasıdır. İşin ilginç tarafı, gerçek dünyada olduğu gibi, mutluluğu bulma çabası mutsuzluğu elde etmenize de yarayacaktır. Herhangi bir sayı mesela 4 ile işe başlayalım. Önce bu sayının karesinin alalım. Sonrasında da sonucumuz 16’nın basamaklarının karesini hesaplayalım ve toplayalım. Bu durumda 37 sayısını elde ettik. (1 2 = 1 ve 6 2 = 36’nın toplamı )
Mutlu sayıları bulmak için yaptığımız bu hesaplamaya devam edersek sırasıyla 4 – 16 – 37 – 58 – 89 – 145 – 42 – 20 – 4 döngüsüne girecektir. İşte bu döngüye giren sayılara da mutsuz sayılar denir.
Mutlu Ve Mutsuz Sayılar İçin Bir Genelleme Yapmak Mümkün müdür?
Sonucunda elimizde mutlu ya da mutsuz sayılar formülü diye bir şey yoktur. Küçük sayılar ile hangi sayının mutlu ya da mutsuz olduğunu hesaplamak mümkün olsa da sayılar büyüdükçe işler zorlaşacaktır. Neyse ki matematikçiler bunun için bazı algoritmalar geliştirmişlerdir. ( Detayları kaynakta mevcut.) Bu sayede tüm üç ve dört basamaklı sayıları ya mutlu ya da mutsuz bir sayı olduğunu göstermek mümkündür.
Ayrıca matematikçiler sayıların yüzde kaçının mutlu olduğunu da merak etmişlerdir. Mesela mutlu sayılar, asal sayılar gibi büyüdükçe seyrekleşiyorlar mı, yoksa her zaman aynı sıklıkta mı görünüyorlar? Yoğunlukları (ρ) yani mutlu sayıların tüm doğal sayılara oranı nedir? İlk 10 doğal sayı arasında üç mutlu sayı vardır (ρ = 0,3). İlk 100 içerisinde 20 adet bulunmaktadır (ρ = 0,2). Ve ilk 1000 doğal sayı arasında 143 mutlu sayı var (ρ = 0,143). Devamını aşağıda görebilirsiniz.
Yukarıdan da görebileceğiniz gibi sayılar büyüdükçe yoğunluk yaklaşık yüzde 14’e eşdeğer oluyor. Ancak matematikçi Justin Gilmer’ın 2011’de mutlu sayıların bir yoğunluğu olmadığını, yoğunluklarının incelenen aralığa bağlı olduğunu ve sabit bir sınıra yaklaşmadığını gösterdi.
Ardışık Mutlu Sayılar Kaç Tanedir?
Matematikçileri meşgul eden bir diğer soru ise ardışık kaç tane mutlu sayı olduğudur. İlk ikisi 31 ve 32’dir. Ardışık ilk üç mutlu sayıyı bulmak için dört basamaklı değerlere gitmeniz gerekir: 1.880, 1.881, 1.882. Matematikçi Hao Pan, 2006 yılında herhangi bir sayıda ardışık mutlu sayının bulunduğunu kanıtladı. Sorun şu ki, uzun süre arama yapmak zorunda kalabilirsiniz. Ardışık dört sayıdan oluşan bir dizi 7.839 ile, beşli bir dizi 44.488 ile başlar ve altılı bir dizi ise 7.899.999.999.999.959.999.999.996 ile başlar.
Başka bir bulmaca da, mutlu bir sayıyı 1’e getirmek için mutlu hesaplamanın kaç kez gerekli olduğuyla ilgilidir. Bu miktar, bir sayının genel mutluluğunu tanımlamak için kullanılabilir. Sonucunda ne kadar az tekrar olursa, sayı o kadar mutlu olur. Yani 1, 10, 100 vb. son derece mutluyken, 13 biraz daha az mutludur.
Peki en az mutlu olan sayı hangisidir? İki basamaklı sayılar arasında 7’dir. 7’den 1’e gitmek için beş yineleme gerekir. Sırada 356 vardır ve bunun için altı hesaplama yapmanız lazım. Bu noktadan sonra işler çığırından çıkıyor. Daha da az mutlu bir sayı istiyorsanız, yani yedi adımdan sonra döngünün bitmesini istiyorsanız 977 basamaklı bir sayı ile işe başlamanız gerekiyor. Dokuz adım için ise başlamanız gereken sayı 10 977 basamaklı. Dolayısıyla mutsuzluğun derecesinin bir sınırı yoktur.
Narsistik Sayılar Nedir?
Yukarıdaki satırlarda size mutlu ve mutsuz sayılar ile ilgili yapılan çalışmalardan bazı örnekler verdik. Ancak başta da dediğimiz gibi bir de narsist/ narsistik sayılar vardır. Aslına bakarsanız bu sayılar yine mutlu sayılar arayışında karşımıza çıkan bir genellemenin sonucudur.
Bir doğal sayının her bir basamağında bulunan rakamı, sayının basamak sayısı kadar kuvveti alınarak toplandığında, sayının kendisi elde ediliyorsa bu doğal sayı narsistik bir sayıdır. Örneğin 243 için sonuç: 2 3 + 4 3 + 3 3 = 8 + 64 + 27 = 99 biçimindedir. Ancak bazı sayılar için bu hesaplamanın sonucu kendine döner. Bir örnek 153’tür çünkü 1 3 + 5 3 + 3 3 = 153 yapar. İşte bu tür sayılara narsistik sayı denir.
Tek haneli sayıların tümü narsisttir. Aslında toplamda yalnızca 89 narsisistik sayı vardır: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 153, 370, 371, 407, 1.634, 8.208, 9.474, 54.748, 92.727, 93.084, 548.834,… ve en büyüğü 115.132.219.018.763.992.565.095.597.973.971.522.401’dir.
Matematikçiler, 60’tan fazla rakamdan oluşan narsistik bir sayı olamayacağını kanıtlamıştır. Yalnızca sonlu sayıda narsisistik sayı olduğundan, mutlu sayılara göre önemli ölçüde daha az açık soru barındırırlar. Matematikçilerin mutluluk arayışı bitmez. Bir başka örnek için de bu yazımıza bakabilirsiniz. Anlaması Kolay Çözmesi Zor: Mutlu Son Problemi Nedir?
Kaynak ve ileri okumalar
All Natural Numbers Are Either Happy or Sad. Some Are Narcissistic, Too. Yayınlanma tarihi: 24 Ekim 2023. Kaynak: Scientificamerican. Bağlantı: All Natural Numbers Are Either Happy or Sad. Some Are Narcissistic, Too
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak veya Patreon üzerinden ufak bir bağış yaparak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
