2000 yılının 24 Mayıs’ında, Paris’te bir grup matematikçi sahneye çıkarak bir dizi problem sundu. Bunlar, “Milenyum Problemleri” olarak bilinen, o dönemin en zorlu yedi matematik bilmecesiydi. Etkinliği düzenleyen ABD merkezli Clay Matematik Enstitüsü, bu problemlerden birini çözebilen herkese 1 milyon dolar ödül vaat etmişti.
Matematikçiler her zaman zorlu problemleri sever. 20. yüzyıl boyunca Paul Erdős’ten André Weil’e kadar birçok önemli isim, başkalarının çözmesi için problem üretmekten keyif aldı. En etkili örneklerden biri, 1900 yılında David Hilbert’in sunduğu 23 problem olmuştu.
Hilbert, bu soruların 20. yüzyıl matematiğine yön vermesini açıkça amaçlamıştı. Aslında Milenyum Problemleri de Hilbert’in mirasına bir selam niteliğindeydi.
Clay Matematik Enstitüsü için bu sorular matematiğin görünürlüğünü artırma çabasıydı. Günümüzde ödül hâlâ büyük bir heyecan yaratıyor. Çünkü bu problemler, matematikçilerin hem entelektüel bir meydan okuma hem de bilimi dönüştürecek bir keşif fırsatı olarak gördükleri türden sorulardır.
Bu durum, Grigori Perelman’ın Poincaré varsayımını kanıtlamasıyla en açık biçimde ortaya çıktı. Bu, bugüne dek çözülebilen tek Milenyum Problemidir.
Matematikte “varsayım”, doğruluğuna inanılan fakat henüz kanıtlanmamış bir önermeyi ifade eder. 1904’te Henri Poincaré, dört boyutlu bir uzayda kürenin topolojisine dair böyle bir iddia ortaya atmıştı. Perelman, tam bir yüzyıl sonra bu varsayımı kanıtladı. Çalışması dünya çapında büyük yankı uyandırdı. Ancak asıl dikkat çeken, onun 1 milyon dolarlık ödülü reddetmesiydi.
Milenyum Soruları Nelerdir?
- 1- Yang-mills ve Kütle Aralığı: Çözülmedi
- 2- Riemann Hipotezi: Çözülmedi
- 3- P NP’ye karşı Problemi: Çözülmedi
- 4- Navier–Stokes Denklemleri: Çözülmedi
- 5- Hodge Kestirimi: Çözülmedi
- 6- Poincare Kestirimi: Çözüldü
- 7- Birch ve Swinnerton-Dyer Kestirimi: Çözülmedi
Riemann Hipotezi
Milenyum Problemleri arasında en eskisi, tam 116 yıldır çözülemeyen Riemann hipotezidir. Bu hipotez, asal sayıların sayı doğrusu üzerindeki dağılımıyla ilgilidir ve Hilbert’in 1900’deki ünlü problem listesinde de yer alan tek Milenyum Problemidir.
Riemann Hipotezi, “Riemann zeta fonksiyonu” adı verilen karmaşık bir matematiksel yapıya dayanır. Bu fonksiyon, asal sayıların dağılımını anlamada kilit bir rol oynar. Hipotezin özü, Riemann zeta fonksiyonunun sıfır yapan değerlerinin belirli bir düzlemde nasıl düzenlendiğiyle ilgilidir.
Oxford Üniversitesi’nden Marcus du Sautoy’a göre, çözülecek bir sonraki problem muhtemelen bu hipotez olabilir. Ancak bugüne kadar yapılan ilerleme oldukça sınırlıdır.
Bu milenyum problemi, asal sayılar dışında görünüşte ilgisiz alanlarda ortaya çok sık olarak çıkar. Bu nedenle, kanıtlamanın (veya çürütmenin) önemi, sayı teorisinin veya bir bütün olarak matematiğin sınırlarının çok ötesine geçer. Riemann hipotezi kanıtlanabilirse kuantum dünyasında bir çok hesaplanamayan fenomen için bize bazı yöntemler gösterecektir.
Yang – Mills Hipotezi
Bir diğer Milenyum Problemi, temel parçacık fiziğiyle yakından ilişkili olan Yang–Mills kütle aralığı (mass gap) problemidir. Bu problem, doğanın en temel yapı taşlarının hem parçacık hem de dalga olarak tanımlanabilmesiyle ilgilidir.
Örneğin, bir elektronu hem kütlesi olan bir parçacık olarak hem de ışık hızında hareket eden bir dalga olarak düşünebiliriz. Ancak ışık hızında hareket eden şeylerin kütlesi olamaz. İşte bu noktada ortaya çıkan kavramsal boşluk, yani “kütle aralığı”, fizikçilerin uzun süredir matematiksel olarak açıklamaya çalıştığı bir bilmecedir. Bu boşluğu açıklayan bir matematiksel yenilik, evrenin en temel yasalarına dair anlayışımızı derinden değiştirecektir.
P – NP Problemi
Bir diğer Milenyum Problemi, bilgisayar biliminin en ünlü sorularından biri olan P ≠ NP problemidir. Bu problem, belirli türden matematiksel sorunların çözülmesi için gereken hesaplama gücüyle, bu çözümlerin doğruluğunun ne kadar kolay kontrol edilebileceği arasındaki ilişkiyi sorgular.
Bazı problemlerin çözümünü bulmak oldukça zordur, bu tür problemler (NP) olarak sınıflandırılır. Bu, bir çözüm bulmak için bilgisayarın çok uzun süre çalışması gerektiği demektir.. Ancak bu çözüm bulunduğunda, doğruluğunu kontrol etmek genellikle çok kolaydır.
Örneğin, çok büyük bir sayının asal çarpanlarını bulmak NP sınıfına girer. Çözümü bulmak zordur, fakat çözüm verildiğinde, bu asal sayıların gerçekten doğru olup olmadığını kontrol etmek basittir. Sonucunda yalnızca sayıları çarpmanız yeterlidir.
Bugüne kadar yanıtı bulunamayan temel soru şudur. Eğer bir problemin çözümünü kontrol etmek kısa sürede mümkünse, o çözümü aynı hızda bulmak da mümkün müdür? P ile NP arasındaki bu olası eşitlik sorusu, modern matematik ile bilgisayar biliminin en büyük gizemlerinden biri olmaya devam ediyor.
Navier-Stokes Denklemleri
Bu problem, akışkanların hareketini tanımlayan Navier–Stokes denklemlerinin güvenilirliğini sorgular. Bu denklemler, havanın bir uçağın kanatları üzerindeki akışını, kanın damarlarımızda nasıl hareket ettiğini ya da atmosferdeki rüzgâr akımlarının dünya çevresinde nasıl döndüğünü tahmin etmek için kullanılır.
Eğer bu problemi çözmeyi başarırsanız, yalnızca 1 milyon dolarlık ödül kazanmakla kalmaz, aynı zamanda dünyanın dört bir yanındaki mühendislerden, doktorlardan ve iklim bilimcilerden milyonlarca teşekkür de alırsınız.
Hodge Varsayımı
Hodge Varsayımı, Milenyum Problemleri arasında en soyut ve en karmaşık olanlardan biridir. Problem, cebirsel geometri ve topolojinin kesişim noktasında yer alır. Bu varsayım, karmaşık şekilleri daha basit matematiksel biçimlerle, yani “cebirsel çevrimler” adı verilen soyut nesnelerle temsil etmenin güvenilir yollarını bulmayı amaçlıyor.
Ancak aradan geçen 25 yıla rağmen bu alanda kayda değer bir ilerleme sağlanamadı. Princeton’daki Institute for Advanced Study’den Pierre Deligne, “Bu probleme nasıl yaklaşmamız gerektiği konusunda neredeyse hiçbir fikrimiz yok,” diyerek durumu özetliyor.
Birch ve Swinnerton-Dyer Varsayımı
Bir diğer Milenyum problemi de Bryan John Birch ve Peter Swinnerton-Dyer tarafından ortaya atılan Birch–Swinnerton-Dyer Varsayımıdır. 1960’lı yılların başında geliştirilen bu varsayım, “eliptik eğriler” adı verilen denklemlerin çözümleriyle ilgili bazı özellikler üzerine odaklanmaktadır.
Eliptik eğriler cebirsel denklemlerle tanımlanır. Bu özellikleri sayesinde de çok farklı alanlarda kullanılmaktadır. Örneğin, büyük sayıların asal çarpanlarına ayrılmasında, modern kriptografi yöntemlerinde ve hatta Andrew Wiles’ın 1990’larda Fermat’nın Son Teoremi’ni kanıtladığı süreçte karşımıza çıkar.
Sonuç Olarak
Aslında matematikte her şey doğru araçlara sahip olmakla ilgilidir. Eğer uygun teknikler geliştirilmemişse, ilerleme mümkün değildir. Nitekim 17. yüzyılın sonunda Isaac Newton ve Gottfried Wilhelm Leibniz, hareketi ve değişimi tanımlayacak bir yöntem olmadığı için türev ve integral hesabını, yani analizi geliştirmişti.
Doğru araçlar doğru ellerde olduğunda ise ilerleme kaçınılmazdır. Newton, bu yöntemle gezegenlerin kütleçekimi altındaki hareketlerini açıklayarak matematik tarihinin en büyük atılımlarından birini gerçekleştirmişti. Bugün de matematikçilerin elinde doğru araçlardan biri olduğunu kanıtlayan yapay zeka var.
Bir Milenyum Problemi yapay zekâ tarafından çözülürse, Clay Matematik Enstitüsü’nün bunu kabul edip etmeyeceği tamamen matematikçilerin o çözümü “kabul edilmiş” sayıp saymamasına bağlı. Çünkü ödül şartlarına göre bir problemin çözümünün geçerli sayılması için, “dünya çapındaki matematik topluluğu tarafından genel kabul görmesi” gerekiyor.
2000 yılında Alain Connes, enstitünün dört danışmanından biri olarak şu sözleri söylemişti. “Bu yedi problem bilgisayarlar için tamamen erişilemez.” Ancak bugün durum oldukça farklı. Matematikçilerin artık yapay zekâ ile birlikte çalışmaya daha açık hale gelmesi, belki de bu iddianın da bir gün çökeceği anlamına geliyor.
Kaynaklar ve ileri okumalar:
- An eminent mathematician claims to have solved one of math’s greatest mysteries. And it’s one of 6 problems with a $1 million prize. Yayınlanma tarihi: 25 Temmuz 2018. Kaynak site: Business Insider. Bağlantı: An eminent mathematician claims to have solved one of math’s greatest mysteries. And it’s one of 6 problems with a $1 million prize.
- How Numbers Work; Discover the strange and beautiful world of mathematics; New Scientist Books
Matematiksel
