Henüz Çözülememiş 11 Matematik Problemi İle Tanışın

Matematikte çözülememiş birçok problem vardır. Özellikle sayılar teorisinin neresinden bakarsanız bakın, derinlerine indikçe çözülemeyen bir probleme denk gelirsiniz. Çözümü oracıkta gibi gözükür ancak ne yaparsanız yapın cevaba bir türlü ulaşamazsınız. Bazı örnekler sunalım…

1- Goldbach Hipotezi

Matematikçileri hayal kırıklığına uğratan en ünlü matematiksel varsayımlardan biri, Alman matematikçi Christian Goldbach tarafından ünlü İsviçreli matematikçi Leonhard Euler’e 1742 tarihli bir mektupta yer aldı. Goldbach, mektupta, ikiden büyük her tam sayının üç asal sayının toplamı olduğunu öne sürecekti. Euler, bunun “2’den büyük her çift tam sayı, iki asal sayının toplamıdır” şeklindeki daha basit ifadeden kaynaklanacağını söyledi.

Goldbach hipotezi basit bir sorudur ve “2’den büyük her çift tam sayı iki asal sayının toplamı olarak yazılabilir mi?” biçimindedir. Bu soruya evet ya da hayır cevabını vermek için matematikçiler yıllardır uğraşıyorlar. Devasa büyüklükte çift sayılar için hipotezin doğruluğu gösterildi.

Ancak şimdiye kadar hiç kimse bunun 2’den büyük tüm çift sayılar için geçerli olduğunu kanıtlayamadı. Eğer bir kanıt bulunursa, bu muhtemelen tamamen yeni bir fikir veya yaklaşımı içerecektir. Detaylar için: Goldbach Hipotezi: Her Çift Sayı İki Asal Sayının Toplamı mıdır?

2- Riemann Hipotezi

Dünyanın en zor ve en ünlü matematik probleminin ne olduğunu belirlemek elbette tam olarak mümkün değil. Ancak, Bernhard Riemann tarafından 1859’da ortaya atıldığından beri matematikçileri şaşkına çeviren Riemann Hipotezi bunun için bir aday gibi gözüküyor.

Riemann Hipotezi, David Hilbert’in 1900’de yayınladığı çözülmemiş 23 problem listesindeki sekizinci problemdir. Ayrıca Clay Mathematics Institute Millennium Prize Problems (2000) listesinde en önemli ikinci problem olarak yerini korumaktadır.

Riemann hipotezi özünde asal sayılar daha ziyade asal sayıların sayı doğrusu üzerine dağılımı ile ilgilidir. Riemann hipotezinin cevabı basit bir “evet” veya “hayır”dır, ancak bu cevaba ulaşmanın pek çok varsayımsal yolu vardır ve bunların hepsi son derece zordur.

Eğer ispatı doğru çıkarsa bu, uzun yılların en önemli matematik başarılarından biri olacaktır. Detaylar için: Riemann Hipotezi: Dünyanın En Zor ve Ünlü Problemi

3- İkiz Asal Varsayımı

Matematikçilerin asal sayılara takıntılı olduğunu fark etmişsinizdir. Bu takıntının nedenlerinden birisi de matematikte çözülememiş problemlerin bazılarının asal sayılar ile ilgili olmasıdır. Bunlardan biri de asal sayıların sayı doğrusu üzerinde dağılımı ve ikiz asallar ile ilgilidir.

Aralarındaki fark 2 olan ardışık asal sayılara ikiz asallar denir. Örneğin (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139) çiftleri ikiz asal sayılardır.

Asal sayılar sayı doğrusu başında bol miktarda bulunmalarına rağmen dağılımları eşit aralıklarla değildir. Sayılar büyüdükçe birbirlerinden giderek uzaklaşırlar. Aslına bakarsanız sonsuz sayıda asal sayı vardır ve ayrıca ardışık asal sayılar birbirinden sonsuz derecede uzakta da olabilir. 

Ayrıca aralarında sadece 2 fark bulunan sonsuz sayıda asal sayı çifti de olabilir. Bu da bizi ikiz asallar varsayımına getirir. İkiz asalların sayısı sonsuz mudur? sorusu uzun zamandan beri matematikçilerin aklını kurcalamaktadır. Bu matematik problemi hakkında daha fazla bilgi için: İkiz Asallar Nedir? Sonsuz Sayıda Asal Sayı Nasıl Birbirinden Sonsuz Uzaklıkta Olabilir?

4- NP Problemlerinin Gerçekte P Problemleri Olup Olmadığı

Gizemli bir görünümü olan “P ile NP eşit midir?” sorusu ise, bilgisayar biliminin matematikle buluştuğu yerde ortaya çıkmış bir problemdir. Bu problem aynı zamanda 21. yüzyılın hayati problemlerinden biridir. Çünkü bilgisayar güvenliği açısından önemli sonuçları vardır.

Bilgisayarlar algoritmalarla çalışır. Ancak bazı algoritmaları gerçekleştirmek sadece mikro saniyeler alırken, bazılarını gerçekleştirmek bugünkü hızla bile milyarlarca yıl alır. Burada kilit fikir, bir algoritmanın verimliliğidir. Bunu belirleyebilmek için bilgisayar biliminde karmaşıklık teorisi adı verilen bir alan vardır. Bu alanda çalışan araştırmacılar, bilgisayarların çeşitli türdeki problemleri ne kadar kolay çözebileceğini belirlemeye çalışırlar.

P, elektronik tablodaki bir sayı sütununu sıralamak veya haritada iki adres arasındaki en kısa yolu bulmak gibi verimli bir şekilde çözebilecekleri problem sınıfını temsil eder. Yani bilgisayarlar bu tür problemleri kolayca halleder. Bu algoritmalar da verimli algoritmalardır. Verilen iki sayının en küçük ortak katını bulma, bir sayının asal olup olmadığını sap­tama, dört işlem aritmetik hesapları P sınıfındaki problemlerdir.

Ancak bazen bir probleme ne yapay, ne de doğal zeka, bazı makul bir zamanda cevap veremez. Bu tarz problemleri çözebilen verimli bir algoritma yoktur. Bu NP problemidir.

P sınıfındaki her problem NP sınıfındadır; çünkü polinom zamanda çözümü bulmak kendi kendisinin doğrulamasıdır. Ancak NP problemleri için bir polinom zaman algoritması bulmak mümkün müdür? Bunu henüz kimse bilmiyor.

5- 3n+1 Yani Collatz Problemi

1932’de, 20 yaşında bir Alman matematik öğrencisi olan Lothar Collatz, ilk bakışta basit bir hesaplamadan başka bir şey gibi görünmeyen bir muamma ile karşılaştı. Kural çok basitti. Herhangi bir sayı seçin. Eğer sayınız çift ise 2’ye bölün, tek ise 3 ile çarpıp 1 ekleyin. Sonra, sonucunuza yine aynı kuralı uygulayın. Bu işlemi istediğiniz kadar tekrar edin.

Göreceksiniz ki hangi sayıyla başlarsanız başlayın sayılar eninde sonunda 4, 2, 1, 4 … döngü­süyle devam edecek. Örneğin n=5 için 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1 şeklinde olacaktır. Benzer biçimde n=11 için, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1. Aşağıdaki örneklerde diğer sayılar için alacağı sonuçları da görebilirsiniz.

Lothar Collatz bu döngüyü ilk fark eden kişiydi. Ancak kendisi ne varsayımını kanıtlamayı ne de bir karşı örnek bulmayı başardı. Collatz hayatı boyunca bu varsayım hakkında kayda değer bir şey yayınlayamadı. Collatz Problemi, 2. Dünya Savaşı sırasında bir süre Polonyalı matematikçi Stanislaw Ulam tarafından ele alındı. Ancak o da bir kanıt bulamadı.

Paul Erdös bu sayılar ile ilgili yorumunda, “Matematik henüz böyle problemlere hazır değil “demişti. Yine de bu uyarı yıllardır matematikçileri bu probleme bir cevap aramaktan alıkoymuyor. 2019’da dünyanın yaşayan en büyük matematikçilerinden biri olan Terence Tao problemin çözümü için önemli bir atılım yaptı. Bu sayede Collatz varsayımı “neredeyse” tüm sayılar için “neredeyse” doğru olarak tanımlanmaya başladı. Şimdiden deneyenlere sabırlar dileriz. Detaylar: Basit Ama Hala Çözümsüz: 3n+1 Diğer Adıyla Collatz Problemi

6- 196 sayısı bir Lychrel sayısı mıdır?

Sayılar ile uğraşmayı seven kişileri eğlendirebilecek, ilginç özelliklere sahip belirli sayı kategorileri vardır. Palindromik sayılar bunlardan biridir. Palindromik sayı, basamakları sağdan sola ve soldan sağa aynı olan bir sayıdır. Örneğin, 383, 12321 ve 9876789 palindromiktir.

Herhangi bir sayıdan bir palindromik sayı üretmek mümkündür. Bunun için tek yapmamız gereken, bir palindroma ulaşana dek sayıya onun tersini (yani, rakamları ters sırada yazılmış sayıyı) eklemektir. Örneğin, 23 sayısından başlanarak bir palindroma bir basamakta ulaşılabilir: 23 + 32 = 55, bir palindromdur.

Eğer 75 sayısından başlanırsa aynı işlemi iki defa yapmanız gerekecektir: 75 + 57 = 132, 132 + 231 = 363. 86’tan başlanırsa aynı biçimde bir palindroma üç adımda ulaşabilirsiniz. 86 + 68 = 154, 154 + 451 = 605, 605 + 506 = 1111. Başlangıç sayısı 97 olduğunda bir palindroma ulaşmak için gerekli basamak sayısı altı; 98 olduğunda ise bu sayı yirmi dörttür.

Aslına bakarsanız 10.000’in altındaki sayıların büyük çoğunluğu 4 veya daha az adımda bir palindrom oluşturur. Ancak 196 sayısını kullanmamaya dikkat edin; çünkü bu sayı, bir palindroma ulaşmak konusunda sizin yeteneklerinizi tamamıyla aşacaktır. Yukarıda anlattığımız biçimde toplama yaptıktan sonra bir palindrom vermeyen sayılara Lychrel sayısı denir. Lychrel terimi, bu konu için çok fazla çaba harcayan bilgisayar bilimcisi Wade Van Landingham tarafından icat edilmiştir.

Lychrel sayısı olmaya aday olan tek sayı 196 değil. Aslında 1000’in altındaki tüm sayıları dikkate alırsak 196, 295, 394, 493, 592, 689, 691, 788, 790, 879, 887, 978, 986 da Lychrel sayısı olma adayıdır.

7- Taşınan Kanepe Problemi

Yeni bir eve taşındığımız zaman en büyük sorunlardan bir tanesi, mevcut mobilyaları yeni evin odalarından birine taşımaktır. Sonuçta mobilyalar bir önceki eve göre alındığı için çoğu zaman koridorlardan geçmez. Hele ki koridor düz biçimde değil ise bu daha da büyük bir dert halini alır.

Sonuçta matematikçilerin de sıradan insanlar gibi bir hayatı var. Bir taşınma esnasında akla gelip gelmediği bilinmese de bu konu matematikte daha özelinde geometride bir problemin ortaya çıkmasına neden olmuştur. Bu problem yani taşınan kanepe problemi ( İng: moving sofa problem) hala çözümsüz bekleyen problemler arasında yer almaktadır.

Öncelikle gerçek dünyanın aksine problemi iki boyutlu düşünmeniz gerekiyor. Bu nedenle kanepeyi yukarı kaldırma şansınız yok. Taşınma esnasında yukarıdaki gibi bir koridora denk geldiğinizi düşünelim. Bu tip bir koridordan itekleyerek bir mobilya taşımaya çalıştığınız zaman elbette bazı mobilyalar kolayca L kısmından dönecektir ve bazıları da doğal olarak dönemeyecektir. Peki, bu köşeden dönmesi mümkün olan en büyük koltuğun alanı sizce nedir? İşte taşınan kanepe problemi bu sorunun cevabını arıyor.

8- Mutlu Son Problemi

Bir matematik problemini güzel yapan şeylerden birisi, onu çözmeye çalışırken bazı beklenmedik keşifler yapma potansiyelinizin olmasıdır. En azından Esther Klein’ın 1933’teki deneyimi böyleydi. Üstelik bu keşif beklenmedik bir biçimde mutlu bir sonla bittiği için matematikte önemli bir probleme de adını verecekti.

Bu problem açıklaması oldukça kolay ancak tüm cevaplama girişimlerine meydan okuyan matematiksel problemlerden biridir. Konu oldukça basittir çünkü temelinde bir kağıda çizilen noktalar ve bunları birbirine bağlayarak oluşturabileceğiniz şekillerle ilgilidir.

Bir kağıda çizilmiş, hepsi düz bir çizgi üzerinde yer almayan yani doğrusal olmayan üç noktanız olsun. Bu üç noktayı köşeler olarak kabul ederseniz bir üçgen çizebilirsiniz. Elinizde dört nokta olduğunda da (üç tanesi aynı çizgide olmayan) bunları birleştirerek dört kenarlı bir şekil çizebilirsiniz.

Aslında dört kenarlı şekiller için 5 nokta lazımken, beş kenarlı şekiller için 9, altı kenarlı şekiller içinse 17 nokta gerekir. Peki bir dışbükey yedigen çizebildiğinizden emin olmak için kaç noktaya ihtiyacınız var? Bunu kimse bilmiyor. Detaylar: Anlaması Kolay Çözmesi Zor: Mutlu Son Problemi

9- Alanı ve Köşegeni Tam Sayı Olan Bir Euler Tuğlası Bulma

Varlığı ya da yokluğu matematikçiler tarafından ispat edilmemiş olan bir çözümsüz matematik problemi daha. Problem aslında şunu söyler: bir küboid şekilde (üç boyutlu uzayda) a > b > c iken; hacim köşegeni ve yüzey köşegenlerinin tamsayı olduğu mükemmel küboid bir şekil var mıdır?

Daha basit anlatalım. Dik üçgenin kenarları arasında kurulan Pisagor teoremini herkes bilir. (3-4-5), (5-12-13) gibi Pisagor üçgenlerinde ise tüm kenar uzunlukları tam sayıdır. Şimdi bu fikri üç boyuta taşıyalım. Üç boyutlu uzayda, dört sayı var.

Yukarıdaki resimde, bunlar a, b, c ve  g olarak gösterilmekte. İlk üçü kutunun boyutları ve g de kutunun bir üst köşesinden alt zıt kösesine giden bir köşegenin uzunluğu. Euler’in tuğlası diye de isimlendirilen bu soruda amaç tuğlanın bütün yüzey köşegenlerinin tamsayı olması (d, e ve f) aynı zamanda hacim köşegenin de tamsayı olmasıdır.(g)

Bu kutu mükemmel kuboid olarak isimlendiriliyor. Matematikçiler birçok olasılığı denediler ve henüz bir tane bile bulamadılar. Fakat böyle bir kutunun olmadığını da ispatlayamadılar, bu nedenle mükemmel kuboid avına devam…  

10- Herhangi Bir Mükemmel Tek Tam Sayı Var mı?

Bir sayının mükemmel olabilmesi için (kendisi hariç) pozitif tam bölenlerinin toplamı bu sayıya eşit olmalıdır. Örneğin 6’nın kendisi hariç pozitif tam bölenleri 1, 2, 3 ‘tür. Bu sayıların toplamı (1+2+3) ise 6’yı verir. Bu nedenle 6 mükemmel bir sayıdır. 28 de 6 gibi mükemmel bir sayıdır. 28’ in kendisi hariç tam bölenleri 1, 2, 4, 7 ve 14 ‘tür. Bu sayıların toplamı da 28 ‘dir.

Mükemmel sayılar hem matematikçileri hem de matematikçi olmayanları tarih boyunca büyülemiştir. Bunun en temel nedeni tanımlanmalarının kolay olmasından gelir. Ancak matematikteki en eski problemlerden birisi de mükemmel sayılar ile ilgilidir.

Bugüne kadar 51 mükemmel sayı keşfedildi; en büyüğü 49.724.095 basamaklıdır. Aşağıda mükemmel sayıların bazılarının bir listesini görebilirsiniz. Ancak sizin de dikkatinizi çekeceği gibi bu listedeki tüm sayılar çifttir. İşte bu nedenle de matematikçiler tek mükemmel sayı olup olmadığını yıllardır sorguluyor. 

11- Navier – Stokes Denklemleri

Clay Matematik Enstitüsü‘nün 2000 yılında ortaya koyduğu yedi matematik problemi arasında, içinde yaşadığımız fiziksel dünyaya dair anlayışımızla temel bir şekilde ilgili olan bir problem var. Bu sıvıların akışını tarif eden Navier-Stokes denklemleridir.

Claude-Louis Navier ve George Gabriel Stokes’un isimli fizikçilerin adını taşıyan Navier-Stokes denklemleri, birleştirilmiş kısmi diferansiyel denklemler kümesidir. Bu denklemler hızdaki değişiklikleri, basınçtaki değişiklikleri ve sıvının viskozitesini ilişkilendirir.

Aslında Clay Enstitüsü’nün ödülü vermek için talep ettiği bilgi ise oldukça basittir. Birincisi denklemlerin çözümlerinin varlığına odaklanır. İkincisi ise bu çözümlerin sınırlı olup olmadığını (sonlu kalıp kalmadığını) sorar.

Uygulamada, fiziksel olarak ilgili ve birçok sıvı akışıyla mükemmel uyum sağlayan birçok çözüm biliyoruz. Ancak bu çözümler, Navier-Stokes denklemlerinin yaklaşık çözümleridir. Her ne kadar (yaklaşık) çözümlerimizin doğru olduğundan oldukça emin olsak da, çözümlerin varlığının resmi bir matematiksel kanıtı eksiktir.

---

Kaynaklar ve ileri okumalar:

• These Math Problems Have Left Mathematicians Around the World Dumbfounded; Yayınlanma tarihi: 30 Ağustos 2020. Kaynak site: Interesting Engineer. Bağlantı: These Math Problems Have Left Mathematicians Around the World Dumbfounded/
• 10 Hard Math Problems That Continue to Stump Even the Brightest Minds; Yyaınlanma tarihi: 8 Aralık 2023. Kaynak site: Popular Mechanics. Bağlantı: 10 Hard Math Problems That Continue to Stump Even the Brightest Minds/

Matematiksel