Günlük dilde “limit” kelimesi bir miktar, bir fikir ya da herhangi bir şeyin ötesine geçemeyeceği sınırları tanımlamak için kullanmaktayız. Örneğin, hız limiti size yasal olarak izin verilen maksimum hızı ve kredi kartı limitiniz kullanabileceğiniz maksimum bakiyeyi bildirir.
Bu iki örnek de üst sınırları temsil etmektedir. Limit, elbette alt sınırlar için de geçerlidir. Mesela, bir kredi almak için gerekli minimum kredi puanı buna bir örnek olabilir. Matematikte, limit kavramı bir açıdan yukarıdaki örneklerle benzer fakat tam olarak aynı diyemeyiz.
Limit kelimesi Latince Limes ya da Limites ‘den gelmekte olup sınır, uç nokta anlamındadır. Matematikte limit kavramından bahsedildiğinde aslında verilen bir fonksiyonun limiti anlaşılır. Bu sayede bir fonksiyondaki x değerleri belirli bir sayıya yaklaşırken fonksiyon grafiğinin nasıl davranacağı gözlemlenir. Bunun tam olarak ne anlama geldiğini açıklamadan önce size bir örnek verelim.
Limit Nedir?
Evde bir pasta olduğunu hayal edin. Şimdi bu pastayı ikiye, sonra elde ettiğiniz yarımları tekrar ikiye, sonra da elde ettiğiniz çeyrekleri tekrar ikiye böldüğünüzü düşünelim. Bu ikiye bölme işlemine sonsuza dek devam ettiğinizi düşünelim. Kesmeye devam ederken pasta parçalarının boyutları hakkında ne söyleyebiliriz?
Elbette söyleyebileceğimiz ilk şey, parçaların durmaksızın küçüldüğü olacaktır. Gerçekte mümkün olmasa da bu ikiye bölme işlemine devam ederseniz teoride pasta dilimlerinizi bir insan saçının genişliğinden daha ince veya en küçük atomdan daha küçük yapabilirsiniz. Bu örnek bir sayı dizisinin bir limite nasıl yaklaştığını sezgisel olarak anlamanızı sağlar.
Pastayı ikiye bölme örneğimizi istersek f(n)= 1/2n biçiminde bir fonksiyon olarak da gösterebiliriz. Bu noktadan sonra da n=1, n=2, n=3, n=4 … gibi ne yerine sayılar koyarak her kesme işlemimizden sonra kaç parçamızın olacağını ve bunların kalınlıklarını hesaplayabiliriz. Sonra da istersek elde ettiğimiz pasta dilimi kalınlıklarını 1/2, 1/4, 1/8, 1/16 … şeklinde bir dizi halinde de yazabiliriz.
Buradaki soru; n’ in çok daha büyük değerlerinde bunu yapmaya devam ederseniz dizi hangi sayıya yaklaşacaktır? biçiminde olacaktır. Diğer bir deyişle n sonsuza giderken dizi asla ulaşamasa bile hangi sayıya yaklaşır?
Verdiğimiz örneğimizde cevabın görülmesi kolaydır. Sonucunda n arttıkça dizideki sayıların değeri gittikçe küçülüyor, yani daha ince pasta dilimleri elde ediyoruz. Bu durumda n’ in sonsuz büyüklükteki değerleri için dizimizin limiti sıfıra yaklaşır. Ancak unutmayız, hiç bir zaman sıfıra ulaşamaz.
Elde ettiğimiz bu sonucu matematiksel bir dil ile a1, a2, … ‘yı gerçek sayılardan bir dizi için eğer bu dizinin limiti gerçek sayı L ise bu sonucumuzu aşağıdaki gibi gösteririz ve okurken “n sonsuza giderken an ‘in limiti L’ye eşittir” deriz.
Limit Ne İşe Yarar?
Doğrudan matematikle ilgisi olmayan birine “Günlük yaşamda limit ne işine yarayacak?” diye sorulursa; buna cevap vermek pek kolay değil. Hatta doğrudan hiçbir işine yaramayacak desek çok da yanılmış olmayız. Tabi büyük resme odaklanırsak bazı şeyler değişecektir.
Asla değişmeyecek bir şey, dünyanın sürekli değiştiği gerçeğidir. Türev ve integral değişimin matematiğidir. Dolayısıyla değişimin olduğu her yerde bu iki kavram kendisini gösterecektir. Bunların olduğu her yerde de aslında limit karşımıza çıkacaktır.
Türev, bir niceliğin başka bir niceliğe göre değişimidir. Örneğin yolun zamana bağlı değişimi olan hız veya hızın zamana bağlı değişimi olan ivme türev kavramı ile tanımlanır. Genellikle türevin tersi olarak bilinen integral kavramı ise belirli bir aralıktaki toplam değişimi belirtir. ( Biraz detay için: Türev Nedir? İntegral Nedir? Bu Kavramları Bilmek Neden Gereklidir?)
Newton ve Leibniz’le başlayan türev ve integralin sağlam bir zemine oturtulması sürecinde limit kavramsal olarak ortaya çıkmıştır. Sonuç olarak limit kavramının matematikte tek başına fazla bir anlamı yoktur. Ancak türev ve integral hesaplamalarında süreklilik, bir fonksiyonun türevi ve bir fonksiyonun belirli integrali gibi önemli sonuçları elde etmemize yarayacaktır. Bu nedenle de matematiğin kalbinde yer alır.
Matematikte içinde limit kelimesi geçen bir başka teorem daha vardır. Ancak bunlar sadece isim benzerliğidir. Göz atmak isterseniz: Merkezi Limit Teoremi Nedir? Neden Önemlidir?
Kaynaklar ve ileri okumalar:
- Maths in a minute: Limits; yayınlanma tarihi: 22 Nisan 2022; Kaynak site: Plus Math. Bağlantı: Maths in a minute: Limits;
- Maths in five minutes: Calculus; yayınlanma tarihi: 22 Nisan 2022; Kaynak site: Plus Math. Bağlantı: Maths in five minutes: Calculus;
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
