25 yılı aşkın bir aradan sonra matematikçiler, asal sayıları saymanın yeni bir yolunu başarıyla ispatladı. Bu çığır açıcı çalışmayla birlikte, sayı kuramında daha ileri adımlar atılmasını sağlayacak güçlü bir araç seti de geliştirdiler.
Asal sayılar — yalnızca kendisine ve bire kalansız bölünebilen doğal sayılar — matematiğin temel yapı taşlarıdır. Aynı zamanda en gizemli olanlardır. İlk bakışta asal sayılar, sayı doğrusu üzerinde gelişigüzel dağılmış gibidir. Ancak bu yalnızca bir yanılsamadır. Asal sayılar tamamen belirli bir düzene sahiptir. Dikkatli bakıldığında iç içe geçmiş, şaşırtıcı örüntüler ortaya çıkar.
Bugüne dek asal sayıların dağılımını yaklaşık olarak açıklayan bazı formüller geliştirildi. Ancak, onları kesin biçimde tanımlayan bir yöntem hâlâ bulunamadı. Bu yüzden matematikçiler, doğrudan hesaplamaktansa dolaylı stratejilere başvurmak zorunda kalıyor.
Bu stratejilerden ilki, MÖ 300’lerde Öklid’in asal sayıların sonsuz olduğunu kanıtlamasıyla başladı. O günden bu yana, matematikçiler bu ispatı daha özel koşullardaki asal sayılar için de genişletmeye çalıştı. Örneğin içinde belirli rakamlar bulunmayan asal sayılar ya da belli biçimlerde ifade edilen asal sayılar için de sonsuzluk ispatları arandı. Bu koşullar giderek daha karmaşık hâle gelse de, böyle asal sayıların varlığını göstermek sayıların doğasını anlamamızda önemli bir rol oynadı.
Son olarak, Oxford Üniversitesi’nden Ben Green ile Columbia Üniversitesi’nden Mehtaab Sawhney bu yaklaşımların en zorlu örneklerinden birinde önemli bir başarıya imza attı. Özellikle karmaşık bir asal sayı türü için geçerli olan bir sonsuzluk durumunu kanıtladılar.
Ancak bu başarı yalnızca asal sayılarla sınırlı değil. Bu ispatı mümkün kılan teknikler, daha önce tamamen farklı alanlarda kullanılan matematiksel araçların, sayı kuramında da etkili olabileceğini gösterdi. Bu, yalnızca asal sayıların doğasına değil, matematiksel araçların gücüne dair anlayışımızı da yeniden şekillendiren bir gelişme oldu.
Asal Sayı Sayma Problemine Yeni Bir Yaklaşım
Matematikçiler genellikle, hem ilgi çekici hem de üzerinde çalışması olası asal sayı kümeleriyle ilgilenir. Örneğin, aralarında tam 500 birim olan asal sayı çiftlerinin sonsuz sayıda olup olmadığını araştırabilirler. Ya da iki sayının karelerinin toplamıyla ifade edilecek asal sayıların sonsuz olup olmadığını sorgularlar.
Bu ikinci tür kısıtlamalar, özellikle verimli sonuçlar üretmiştir. Yüzyıllar boyunca matematiksel ilerlemeye yön vermiştir. 1640 yılında Pierre de Fermat, iki tam sayının karesi toplanarak yazılabilen sonsuz sayıda asal sayı olduğunu öne sürdü. (Örneğin, 13 sayısı 2² + 3²)
Bu iddia daha sonra Leonhard Euler tarafından ispatlandı. Ancak soruyu biraz değiştirip, örneğin karesi alınan sayılardan birinin sadece tek sayı ya da mükemmel kare olması şartını eklerseniz, çözüm çok daha zorlaşır.
19. yüzyılda bu tür ifadeler üzerine yapılan çalışmalar, modern sayı kuramının temel taşlarını oluşturdu. 20. yüzyılda ise bu arayışlar, günümüzde bile etkisi süren en büyük matematiksel girişimlerden biri olan Langlands programına ilham verdi. 21. yüzyılda da asal sayılarla ilgili benzer sorular, yeni tekniklerin ve kavrayış biçimlerinin ortaya çıkmasına katkı sağlıyor.
2018 yılında, Toronto Üniversitesi’nden John Friedlander ve Rutgers Üniversitesi’nden Henryk Iwaniec, p ve q asal sayılar olmak kaydıyla p² + 4q² formundaki asal sayıların sonsuz olup olmadığını sordu. (Örneğin, 41 sayısı 5² + 4 × 2²) Ancak bu kısıt, sanılandan çok daha zorluydu. Yine de bu problem çözülebilirse, matematikçiler asal sayılar üzerinde benzeri görülmemiş bir denetim gücüne ulaşabilecekti.
Ben Green ve Mehtaab Sawhney daha önce böyle bir asal sayı sayma problemine doğrudan eğilmemişti. Ancak her ikisi de asal sayıların oluşturduğu karmaşık desenler üzerine çalışmaya fazlasıyla aşinaydı. 2024 yılı Temmuz ayında, Edinburgh’daki bir konferansta bir araya geldiler. Bir süre konuştuktan sonra, Friedlander ve Iwaniec’in öne sürdüğü varsayım üzerinde çalışmaya karar verdiler.
Asal Sayılar Yerine Yaklaşık Asal Sayıları Saymak
Green ve Sawhney, iki asal sayının karelerinin toplamı biçimindeki asal sayıların doğrudan sayımını yapamıyordu. Bu nedenle koşulu biraz gevşetmeye karar verdiler. Buldukları çözüm, asal sayılar yerine yaklaşık asal sayıları kullanmak idi.
Yaklaşık asal sayılar ile çalışmak çok daha kolaydır. Örneğin 1 ile 200 arasındaki yaklaşık asal sayıları bulmak için önce 2, 3, 5 ve 7 gibi birkaç küçük asal seçilir. Ardından bu sayılardan hiçbirine bölünmeyen tüm sayılar listelenmelidir.
Ortaya çıkan yaklaşık asal kümesinde hem asal olan hem de olmayan sayılar yer alır. 1 ile 200 arasında 50 yaklaşık asal sayı vardır. Bunlardan 46’sı gerçekten asaldır. Kalan dört tanesi ise (121, 143, 169 ve 187) asal değildir. Yaklaşık asal sayıların asal sayılara göre daha az rastgele dağılması, onları matematiksel açıdan daha uygun araçlar kılar.
Green ve Sawhney, iki yaklaşık asal sayının karesinin toplamı biçiminde yazılan sonsuz sayıda asal sayı olduğunu kanıtladı. Ancak çözmek istedikleri asıl problemi tamamlayabilmeleri için bu sonucu orijinal soruya bağlamaları gerekiyordu.
Bunun için de her iki problemde kullanılan sayı kümelerine ait Type I ve Type II adı verilen özel fonksiyonları incelemeleri gerekiyordu. Bu fonksiyonlar üzerinden yapılan toplamların birbirine denk olduğunu göstermeden, yaklaşık asal sayıları gerçek asal sayıların yerine koyamazlardı.
Bu noktada önemli bir buluş yaptılar. Ellerinde güçlü bir araç vardı. Timothy Gowers tarafından geliştirilmiş Gowers normu, bir sayı kümesinin rastgeleliğini ya da düzenini ölçen bir yöntemdi. Görünüşte tamamen farklı bir alana ait gibi duran bu araç, daha önce her iki matematikçinin de bağımsız çalışmaları sırasında karşısına çıkmıştı.
Bu sayede, yaklaşık asal sayıların oluşturduğu kümenin, gerçek asal sayıların oluşturduğu kümeye yeterince benzer olduğunu gösterebildiler. Bu da yaklaşık asal sayıların, orijinal problemin çözümünde kullanılabileceği anlamına geliyordu.
Sonuç Olarak
Sonuçta Green ve Sawhney, Friedlander ve Iwaniec’in varsayımını ispatladı: p² + 4q² biçiminde sonsuz sayıda asal sayı vardır. Bu sadece uzun süredir çözülemeyen bir problemi aşmakla kalmadılar. Aynı zamanda Gowers normunun sayı teorisinin farklı alanlarında da güçlü bir araç olabileceğini gösterdiler. Şimdi matematikçiler bu yöntemi genişleterek, asal sayılar dışında kalan diğer problemlerde de kullanmanın yollarını arıyor.
Kaynaklar ve ileri okumalar
Mathematicians Uncover a New Way to Count Prime Numbers. Yayınlanma tarihi: 11 Aralık 2024. Kaynak site: Quanta Magazine. Bağlantı: Mathematicians Uncover a New Way to Count Prime Numbers.
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
