1900’lerin başında Bertrand Russell tarafından ortaya atılan berber paradoksu, aradan geçen zamana rağmen bugün hâlâ şaşırtıcı olmayı sürdürüyor.
Çoğumuz ilköğretim yıllarında kümelerle, nesnelerden oluşan basit topluluklar olarak tanışırız. Venn şemalarında bir dairenin içine elmalar, armutlar çizerek anlatılan bu kavram, ilk bakışta oldukça masum görünür. Oysa küme kavramı, bu kadar basite indirgenebilecek bir fikir değildir.
Kümelerin hak ettiği felsefi derinliği ortaya koyan kişi Bertrand Russell’dır. Bu süreçte Russell, 20. yüzyılın en etkili matematikçilerinden, mantıkçılarından ve filozoflarından biri olarak, modern dönemin en ünlü ve etkili mantıksal çelişkilerinden birini formüle etmiş ve bu paradoksa kendi adını vermiştir: Russell paradoksu.
Algılanması pek de kolay olmayan Russell paradoksu, matematiğin temellerine ilişkin yerleşik tanımları sarsarak bilim dünyasında ciddi bir krize yol açtı. Bu nedenle Bertrand Russell, paradoksu soyut küme tanımlarıyla anlatmak yerine, gerçek dünyayla ilişkilendirilen örnekler üzerinden açıklamayı tercih etti. Bu örneklerin en ünlüsü ise berber paradoksu oldu.
Berber Paradoksu Nedir?
Figaro, Sevilla’da yaşayan bir berberdir. Kuralı şudur: Kendini tıraş etmeyen tüm erkekleri tıraş eder. Peki Figaro kendini tıraş eder mi?
Eğer Figaro kendini tıraş ederse, kural gereği berberin onu tıraş etmemesi gerekir. Ama berber Figaro’nun kendisidir. Eğer Figaro kendini tıraş etmezse, bu kez kural gereği berberin onu tıraş etmesi gerekir. Yine berber Figaro’dur.
Yani hangi seçeneği seçerse seçsin, kuralla çelişir. O hâlde Figaro ne yapmalıdır? Sorunun cevabı yoktur; bu bir paradokstur.
Berber Paradoksu Neden Önemlidir?
Russell paradoksu ilk bakışta soyut ve zor kavranır görünse de, ortaya koyduğu sonuçlar matematiğin temellerini doğrudan hedef alıyordu.
Paradoks, 19. yüzyılın sonlarında Georg Cantor’un geliştirdiği ve Gottlob Frege’nin mantıksal bir çerçeveye oturtmaya çalıştığı küme kuramının, kendi içinde ciddi bir tutarsızlık barındırdığını gösteriyordu. Bertrand Russell bu çelişkiyi 1902 yılında açık biçimde formüle ederek gün yüzüne çıkardı.
Russell, durumu “sınıf” kavramı üzerinden ifade etti. Bazı sınıflar kendilerinin üyesidir, bazıları ise değildir. Örneğin “tüm sınıflar” bir sınıftır ve bu nedenle kendisinin üyesidir; buna karşılık “çaydanlık olmayan her şey” sınıfı bir çaydanlık değildir.
Şimdi, kendilerinin üyesi olmayan tüm sınıflardan oluşan bir sınıf düşünelim. Bu sınıf kendisinin üyesi olursa, tanımı gereği üyesi olmaması gerekir. Üyesi olmazsa, bu kez tanımı gereği üyesi olması gerekir. Her iki durumda da kaçınılmaz bir çelişki ortaya çıkar. Russell paradoksu tam olarak bu noktada, küme kuramının temel varsayımlarının sorgulanmasını zorunlu kılar.
Aynı dönemlerde Frege, mantık kuramını sistematik biçimde ortaya koyduğu Aritmetiğin Temel Yasaları (Grundgesetze der Arithmetik) adlı eserinin ikinci cildini yeni tamamlamıştı. Amacı, aritmetiğin tüm yasalarını, ona göre apaçık olan birkaç aksiyomdan türetmekti.
Bu iki cilt, Frege’nin yaşam boyu süren çalışmasının doruk noktası olacaktı. Nitekim ikinci cilt 1903’te basıma girmek üzereyken, bir mektup her şeyi değiştirdi. Mektubu gönderen Bertrand Russell’dı ve mektupta paradokstan söz ediliyordu. Bu tek mektup, Frege’nin bütün çalışmasını temelden sarsıyordu.
Frege, sorunu açıkça kabul etti ve bunun ardından birçok temel inancını terk etti. Russell paradoksu, yalnızca soyut bir mantık problemi değil, modern matematiğin temellerini derinden etkileyen bir kırılma noktası hâline geldi.
Berber Paradoksunun Çözümü Var mı?
Berber paradoksu, küme kuramında kendi kendine gönderimde bulunan tanımların yol açtığı çelişkiyi gösterir. Kümeler genellikle ortak bir özelliği paylaşan öğelerden oluşur; ancak kümeler de birer öğe hâline geldiğinde sorun başlar. Kendini içermeyen tüm kümeleri tanımlayan bir küme, kendisini içerip içermemesi açısından kaçınılmaz bir çelişki doğurur.
Bu durum, kendini tıraş etmeyen tüm erkekleri tıraş eden bir berber örneğiyle somutlaştırılır. Berberin kendisini tıraş edip etmediği sorusu yanıtlanamaz, çünkü berber hem kuralın öznesi hem de nesnesidir.
Sonuç olarak bu tür kendi kendine gönderimli tanımlar ne doğru ne de yanlıştır; anlamsızdır. Berber paradoksu, tutarsız tanımların mantıksal olarak var olamayacağını gösterir.
Bir akıl yürütme hem bir sonuca hem de onun tersine götürüyorsa ortada bir sorun vardır; bir yerde bir şeyin gözden geçirilmesi gerekir. Mantık ve matematikte çoğu zaman bu sorunun kaynağı saptanabilir. Berber paradoksunda da durum böyledir.
Kaynaklar ve ileri okumalar:
- Mathematical mysteries: The Barber’s Paradox; Yayınlanma tarihi: 1 Mayıs 2002; Kaynak site: Plus Math. Bağlantı: Mathematical mysteries: The Barber’s Paradox/
- Understanding the Mind-Boggling Barber Paradox; yayınlanma tarihi: 26 Ocak 2017; Kaynak site: Interesting Engineering. Bağlantı: Understanding the Mind-Boggling Barber Paradox
- Raclavsky, Jiri. (2014). The Barber Paradox: On its Paradoxicality and its Relationship to Russell’s Paradox. Prolegomena: Casopis za filozofiju/Journal of Philosophy. 13. 269-278.
