Matematik ile felsefenin tarihi çoğunlukla ortaktır. Hatta bazen matematiği felsefeden ayırt edemeyiz. Bu yazımızda matematik ve felsefenin buluşma noktasına değineceğiz: Matematik felsefesi.
Matematik felsefesi neyle ilgilenir?
En basit matematiksel ifadeler bile felsefi açıdan derin sorulara işaret eder: Neden 1+1=2? “1+1=2” ifadesi, neden “Dün yağmur yağdı” gibi bir ifadeden tamamen farklı bir anlam taşır? Daha da temel bir soru sorarsak, “1” veya “2” nedir? Bunlar gerçekten var mıdır? Eğer öyleyse, nasıl ve nerede var olurlar?
Bu tür sorular, matematik pratiği kadar eskidir ve filozofların ilgisini çekmeye devam etmektedir. Felsefenin birçok sorunu gibi bunlar da genel ve cevaplanması zor sorular arasındadır. Görünen o ki, “1+1=2” gibi ifadeleri gerçekten anlamlandırmak için derin felsefi araçlara ihtiyaç vardır. Platon’dan Leibniz’e, Kant’a kadar bu sorulara verilen yanıtlar, matematik felsefesinin temelini oluşturan geniş felsefi sistemlerin bir parçası haline gelmiştir.
Matematik ve felsefe, kısa bir sürede büyük değişimler geçirmiştir. Eski sorular hala araştırmaların merkezinde yer almaktadır: Filozoflar, ‘1’ ve ‘çember’ gibi nesnelere nasıl bir varlık statüsü tanınması gerektiğini belirlemeli ve “1+1=2” gibi ifadelerin nasıl bir doğruluk taşıdığını analiz etmelidir.
Ancak modern matematik, filozoflara daha önce karşılaşmadıkları yeni ve kafa karıştırıcı sorular sormaktadır. Matematik, doğası tam olarak belirlenemeyen nesnelere işaret etmekte ve bu konudaki tartışmalar, birbirine tamamen zıt ve uyumsuz gibi görünen cevapları ortaya çıkarmaktadır.
Matematik felsefesinin ilginç bir özelliği, yalnızca felsefi spekülasyonlardan ibaret olmaması, gerçek matematiğin kendisini doğrudan etkileyen keşiflere yol açmasıdır. Aynı şekilde, matematik ilerledikçe, onun temelinde yatan felsefi sorunlar da kaçınılmaz olarak yeniden tartışmaya açılmaktadır.
David Hilbert: Matematikte (ve Matematik Felsefesinde) Büyük Bir Proje
19. yüzyılda matematik hızla gelişirken, soyut ve sezgisel olarak kavranması zor kavramlarla karşılaşmaya başladı. Bu durum, hem matematikçilerin hem de filozofların matematiğin temellerini daha derinlemesine inceleme ihtiyacı hissetmelerine yol açtı.
Matematiğin sağlam, tutarlı ve mantıksal bir temele oturtulması gerektiğini düşünenler arasında, dönemin en etkili matematikçilerinden biri olan David Hilbert de vardı. Hilbert, matematiği somut bir matematiksel sistem haline getirmeyi amaçlıyordu.
Hilbert’in matematik anlayışı, özellikle sonsuzluk kavramının matematikte nasıl ele alınması gerektiği üzerine yoğunlaşıyordu. Matematikçiler, sonsuzluğu genellikle iki şekilde ele alır:
- Gerçek Sonsuzluk – Var olan, tamamlanmış bir sonsuzluk fikri. Örneğin, tüm doğal sayıları içeren {1, 2, 3, …} kümesi gibi.
- Potansiyel Sonsuzluk – Sonsuz büyüklüğe ulaşabilen, ancak hiçbir zaman tamamlanamayan bir kavram. Örneğin, istediğiniz kadar büyük bir sayıyı seçebilirsiniz, ancak tam anlamıyla “tüm sonsuz sayıları” içeren tamamlanmış bir küme oluşturamazsınız
Bu ayrım Platon’dan beri filozofların üzerinde düşündüğü bir konuydu. Ancak Cantor, bu kavramı matematiksel olarak ilk kez küme teorisi içinde sistematik bir biçimde ele aldı. Cantor’un çalışmaları, sonsuz kümeler arasında bile farklı büyüklüklerin olabileceğini gösterdi ve bu, matematik dünyasında büyük bir devrim yarattı.
Hilbert ise sonsuzluk kavramına kesin bir matematiksel temel kazandırmayı amaçladı. Sonsuzluk gibi soyut kavramları matematiğin içine dahil ederken, onları çelişkilerden uzak bir sistem içinde konumlandırmak istiyordu.
Sezgicilik ve Yapılandırmacılık
Hilbert’in matematiğe bakış açısı, dönemin bir başka büyük düşünürü olan L.E.J. Brouwer ile keskin bir tartışmaya yol açtı. Brouwer, sezgicilik (intuitionism) olarak bilinen bir matematik felsefesi geliştirmişti. Sezgiciliğe göre, bir matematiksel nesne yalnızca insan zihni onu inşa edebildiği sürece var olabilirdi.
Bu görüş, Hilbert’in matematiğin mantıksal ve bağımsız bir yapı olduğu fikriyle doğrudan çelişiyordu. Hilbert için matematik, yalnızca sezgilere dayanmamalı, aksine mantıksal ve formel temellere oturtulmalıydı.
Brouwer’in sezgiciliği, yeni bir mantık sistemi geliştirilmesine yol açtı. Sezgici mantık, klasik mantıkta kullanılan “ortaya üçüncü bir seçenek yoktur” (law of the excluded middle) ilkesini reddetti. Bu ilkenin reddi, sezgici matematiğin klasik matematikten büyük ölçüde farklı bir matematiksel çerçeve oluşturmasına neden oldu.
Günümüzde sezgici mantık, matematiksel mantık alanında aktif bir araştırma konusu olmaya devam etmektedir. Öte yandan, Hilbert’in formel matematiği de büyük bir gelişme gösterdi. Onun nihai hedefi, matematiğin temel aksiyomlarının mantıksal olarak çelişkisiz olduğunu kanıtlamaktı.
Bu amaçla, 1900 yılında yayınladığı Hilbert’in 23 Problemi arasında aritmetiğin tutarlılığını ispatlama problemi de yer alıyordu. Ancak Hilbert’in bu hedefi, Gödel’in Eksiklik Teoremi tarafından temelden sarsıldı. Daha fazlası için: David Hilbert ve Çözülmesi Gereken 23 Matematik Problemi
Gödel’in Eksiklik Teoremi
1931 yılında bir Alman bilim dergisinde kısa ve ilgi çekici olduğu kadar da düşündürücü bir yazı yayınlandı. Yazının başlığı şöyleydi. ‘Uber Formal unentscheidbare Sâtze der Principia Mathematica’( Üzerinde kesin kararlar veremeyeceğimiz matematik prensipleri ve benzeri sistemler). Yazarı ise Viyana Üniversitesinden 25 yaşındaki Kurt Gödel idi.
Matematik, aksiyomlar üzerine kurulu bir sistemdir. Aksiyomlar, temel kabul edilen doğrulardır ve tüm matematiksel ifadeler bu aksiyomlardan türetilir. Örneğin, “0 bir sayıdır” gibi ifadeler aksiyomdur. Bunlar temel alınarak diğer matematiksel gerçekler kanıtlanır. Gödel’in Eksiklik Teoremi, bu sistem içinde bazı doğru ifadelerin hiçbir zaman ispatlanamayacağını söyler. Daha basit bir şekilde anlatmak gerekirse:
- Matematik içinde doğruluğundan emin olduğumuz ama ispatlayamadığımız ifadeler vardır.
- Bir matematik sistemi kendi içinde tüm doğruları kapsayamaz.
- Bir sistemin kendi çelişkisizliğini ispatlaması mümkün değildir.
Gödel’in teoremleri, matematiksel mantık tarihinde bir dönüm noktasıydı ve yalnızca matematikçileri değil, matematik filozoflarını da derinden etkiledi. Bu bulgu, Hilbert’in projesine büyük bir darbe vurdu. Matematiğin tam anlamıyla eksiksiz ve tutarlı bir sistem içinde inşa edilemeyeceği gösterilmiş oldu. Hilbert’in programı, Gödel’in kanıtlarından sonra tamamen terk edilmedi, ancak matematikçilerin mutlak tutarlılığı ispatlama umudu sona ermiş oldu.
Gödel’den önce, matematiğin mantıksal temellerini inşa etme çabalarının bir örneği de mantıkçılık (logicism) ekolüdür. Gottlob Frege ve Bertrand Russell, matematiksel önermelerin yalnızca mantıksal aksiyomlardan türetilebileceğini öne sürdüler.
Ancak, Russell kendi mantıkçı yaklaşımında Frege’nin sisteminde ciddi bir çelişki keşfetti. Russell Paradoksu, Frege’nin aksiyomlarından birinin bir çelişkiye yol açtığını gösterdi. Bu paradoks, mantıkçı matematik anlayışının revize edilmesine neden oldu. Gödel’in teoremleri ise, Russell’ın projesinin de kesin ve eksiksiz olamayacağını gösterdi.
Matematik Felsefesinin Geleceği
Matematiğin aksiyomatik temelleri konusunda en başarılı sistemlerden biri, Zermelo-Fraenkel Küme Teorisi (ZF) + Seçim Aksiyomu (C) ile oluşturulan ZFC sistemi oldu. Günümüzde, matematikçilerin büyük çoğunluğu, küme teorisini bu sistem içinde ele almaktadır.
Ancak bu, matematik felsefesinde nihai bir çözüm sunmamıştır. Matematiğin temelleri hâlâ tartışmalı bir alandır ve filozoflar ile matematikçiler arasında yeni sorular ortaya çıkmaya devam etmektedir. Özellikle yeni matematiksel soyutlamalar, Cantor’un kümeler teorisinin felsefi sonuçlarına benzer şekilde, matematik felsefesinin temel kavramlarını yeniden düşünmeye zorlamaktadır.
Bugün, matematiksel mantık, bilgisayar bilimi ve kuantum fiziği gibi alanlarda, matematiğin doğasıyla ilgili eski sorular yeni bağlamlarda yeniden tartışılmaktadır. Sonuç olarak, matematik ve felsefenin iç içe geçmiş ilişkisi, bilimsel ilerleme ile birlikte şekillenmeye devam edecektir.
Kaynaklar ve İleri Okumalar
- The Founding Problems of the Philosophy of Mathematics. Bağlantı: The Founding Problems of the Philosophy of Mathematics (thecollector.com). Yayınlanma tarihi: 30 Ekim 2022
Matematiksel
