Okullarda matematik konularını az orasından az burasından öğrenir geçeriz. Genelde akıllarımızda bazı konuların adı kalır bazıları hakkında da hiçbir fikrimiz olmaz. Oysa fikirlerin netlik kazanması açısından bazen büyük resmi görmek gerekir. Şimdi gelin matematiğin büyük resmini çizmeye, matematik haritasını oluşturmaya çalışalım.
Matematik tarihi bir kaç cümle ile özetlenemeyecek kadar kapsamlıdır. Ancak işin kökenine inersek karşımıza matematikten önce sayma işlemi çıkacaktır. Kemiklerin üzerine atılan çentikler prehistorik zamanlardan itibaren sayılara ihtiyaç duyduğumuzun göstergesidir.
Şehir devletlerin kurulup, ticaret ağlarının genişlemesiyle muhtemel biraz da mal, mülk hesaplama işlemlerinin getirdiği zorunluluktan matematik hızlı sıçrayış dönemleri yaşayanır devamında. Antik Mısır ve Yunan uygarlıkları elbette Babil uygarlığının katkılarıyla sayılar, denklemler ve geometri sahneye çıkar.
Hintliler sıfır sayısını bulur, İslam’ın yayılışı ile beraber bu sayı Batı uygarlıklarına ulaşır.. Matematik ve diğer bilimler Rönesans’ı tetikler ve ardı arkası gelmeyen keşifler gelmeye başlar. Matematiğin ultra kısa tarihi bu biçimdedir. Şimdi yazının asıl konusu olan modern zaman matematiğine geçelim.
Matematiğin Haritası
Modern matematik aslında iki temel başlık altında sınıflandırılmaktadır.
- Soyut Matematik (Pure Mathematics) Matematik adına yapılan matematik
- Uygulamalı Matematik (Applied Mathematics) Diğer bilim dalları ve gerçek hayatta karşılaşılan sorunları için yapılan matematik
İki ayrık dal gibi gözüktüklerine bakmayın örtüştükleri çok nokta vardır. Aslında tarihte pek çok kere matematikçiler bulundukları dönemde ne işe yarayacaklarını pek de bilemedikleri çıkarımları sezgileri ile bulmuştur. Ancak çok zaman sonra bir başkası gelişen teknoloji yardımı ile bu bulgunun hayatta karşılaşılan önemli bir problemin çözümü için gerekli olduğunu fark etmiştir.
Size bundan sonra anlatacaklarımızı sınırlarla bölmek pek de doğru değil. Çünkü matematikte her konu bir diğeriyle geçişlidir, biri diğerinin gerekliliğidir. Ancak amacımız başta da dediğimiz gibi kafanızda büyük resmin canlanmasını sağlamak.
Soyut Matematik
Soyut matematik altında pek çok konu vardır. Bunların ilki sayılar teorisidir. En başlangıcında doğal sayılar ve dört işlem vardır. Devamında tamsayılar, rasyonel sayılar, irrasyonel sayılar, reel sayılar ve karmaşık sayılar gelir. Bu arada sonsuzlukta buralarda bir yerlerdedir…
Bir başka grupta da matematiği yapısal özellikleri ile ele alabiliriz. Bu sefer işin içine denklemler ve dolayısıyla cebir karışmaya başlar. Yapılar dediğimiz zaman aklımıza aynı zamanda vektörler, matrisler de gelir. Her yeni sistemin özellikleri de vardır. Bunu incelemekte lineer cebirin işidir.
Soyut matematikte bir de kombinatorik dediğimiz kısım karşımıza çıkar. Adı gibi uğraştığı alt konularda gariptir, soyuttur aslında. Kombinatorik belirli kriterleri karşılayan nesnelerin sayılması, kriterleri karşılayan nesnelerin inşa ve analiz edilmesi, bu nesnelerin sahip olabileceği cebirsel yapıların bulunması gibi konularla ilgilenir. Çizgeler, grafikler, grup teorisini, sıra kuramını bu şemsiyenin altında düşünebiliriz.
Geometri
Soyut matematik elbette aynı zamanda şekillerle de ilgilenir. Hepimizin bildiği Öklid geometrisi temelde olmak üzere, trigonometri, son zamanlarda işin içine buçuklu boyutları bize tanıtan fraktal geometrinin katılması ile geometri daha eğlenceli bir hal almaya başladı elbette. Tabi topoloji yani daha sevimli adıyla lastik geometriyi de unutmamak lazım.
Aslında farklı bir yerlerde de olabilir elbette ama adından da anlaşıldığı gibi ölçümlerle ilgilenen ölçüm teorisini de burada analım. Ve son olarak eğriler ve yüzeylerle ilgilenen diferansiyel geometri kaldı geriye. Her biri hakkında anlatılacak çok şey var ama biz ana başlıkları öğrenelim şimdilik.
Bir de değişimleri ifade etmek için matematiğe ihtiyaç duyarız. Kalkülüs içinde bolca türev ve integral barındırarak matematiksel analizin başlangıcıdır. Vektör kalkülüste aynı işi vektörler için yapar. Buraya başka şeylerde eklemek gerekirse dinamik sistemlerden bahsedebiliriz.
Dinamik sistem geometrik uzay katmanındaki bir noktanın zamana bağlı durumunu tarif eder. Akışkanlar dinamiği, kaos teorisi ve karmaşık değişkenli fonksiyonları araştıran kompleks analizi bu grupta tanımlayabiliriz. Şimdi birazda uygulamalı matematiğe göz atalım. Ancak bir kere daha hatırlatalım. Matematikte her şey birbiri ile ilintilidir.
Uygulamalı Matematik
Uygulamalı matematiğin amacı temelde gerçek hayatta karşılaşılan sorunlara çözüm üretmektir. Mesela fizik ile başlayalım işe. Aslında fizik soyut matematikteki her kavramı kullanmak zorundadır. Matematiksel fizik ve teorik fizik olarak kendi içinde ayrılsa da bu gerçek değişmez.
Kimya ve biyoloji de belli bir oranda matematikten nasibini alır. Ancak elbette matematik ağırlıklı olarak mühendislikte karşımıza çıkmaktadır. Kontrol teorisi doğadaki fiziksel olayların diferansiyel denklemler yardımı ile modellenmesi ve sistemlerin verimini optimize etmek üzerine kurulmuştur. Nümerik analiz değişik matematiksel problemlere sayısal çözümler elde etmek içim algoritmaların çalışmasını, geliştirilmesini ve analizini içerir.
Oyun kuramı, İstatistik biliminin, sosyal bilimlerde, biyoloji, mühendislik, politik bilimler, ekonomi, bilgisayar bilimleri ve felsefede kullanılan bir dalıdır. Olasılık bir şeyin olmasının veya olmamasının matematiksel değeri ile ilgilidir. Bayes teoremi de olasılık kuramı içinde incelenen önemli bir konudur. Bu teorem bir değişken için olasılık dağılımı içinde koşullu olasılıklar ile marjinal olasılıklar arasındaki ilişkiyi gösterir.
İstatistik gözlemlediğimiz dünya hakkındaki sayıların bizim için ne anlam ifade ettiğini açıklamaya çalışır. Finans matematiğinin işi piyasalar ve paradır. Optimizasyon eldeki kısıtlı kaynakları en optimum biçimde kullanmaya odaklanır. Matematiksel olarak ifade etmek gerekirse bir fonksiyonun minimize veya maksimize edilmesidir. Elbette soyut matematikle doğrudan ilgili olan bir başka alanda Bilgisayar bilimidir.
Makine öğrenimi, bilgisayarların algılayıcı verisi ya da veritabanları gibi veri türlerine dayalı öğrenimini olanaklı kılan algoritmaların geliştirilmeleri ile ilgilenir. Yapısı gereği lineer cebir, optimizasyon, olasılık, dinamik sistemler gibi bir çok diğer alanla yakın ilişki içindedir. Kriptoloji de sayılar teorisi ve kombinatorik gibi konulara yoğunlaşarak güvenlik konusunda çalışmalarını sürdürür.
Matematiğin Haritası Tamamlanıyor
Kabaca matematiğin alanları bunlar daha da detaya girmek gerekirse yazının sonu gelmez. Ancak olmazsa olmaz son bir şeyden daha bahsetmek gerekiyor elbette. Matematiğin kalbini anlatmak lazım, temelini içeren alanı.
Bahsettiklerimizin içinde “matematik mantığın uygulama alanıdır” söyleminden yola çıkarak matematiksel mantık, kümeler kuramı ve matematiksel yapılar ve ilişkilerle soyut olarak ilgilenen kategori teorisi gelebilir akla. Buralarda bir yerlerde son olarak Hesaplama teorisinden bahsedelim.
Bu teori bir problemin belirli bir algoritma ve hesap modeli ile çözülüp çözülemeyeceğini veya çözülürse ne kadar hızlı ve verimli bir şekilde çözüleceğini inceler. İki bölüme ayrılır ve o da 2 dala ayrılır: Karmaşıklık Teorisi ve Hesaplanabilirlik Teorisi. “P=NP?” sorunu olarak bilinen soru bu alana aittir.
Umarız matematiğe giriş yapanların kafasında bir şeyler şekillenmiştir. Bundan sonra yapmanız gereken kal savaş ya da geri çekil durumu elbette. Bu yazıklarımızı ayrıca şu kaynaktan da izleyebilirsiniz: The map of maths: https://www.youtube.com/
Matematiksel
