2025 Abel Ödülünü, cebirsel analiz ve temsil teorisine katkılarından dolayı Masaki Kashiwara elde etti. Matematiğin Nobel’i olarak da görülen bu ödül, onun kuramsal matematiğe yarım yüzyılı aşan etkisini resmen taçlandırmış oldu.
Kamo Nehri, Kyoto’nun simgelerinden biridir ve matematikçi Masaki Kashiwara’nın yaşadığı kentin merkezinden geçer. Nehrin bazı yerlerinde, köprülerden uzak noktalarda, insanların karşıya geçmesini sağlayan taş basamaklar yer alır. Bu taşlara dikkatlice bakıldığında, çevresinde girdaplar ve küçük akıntılar oluştuğu görülecektir.
Ancak bir sıvının bu şekildeki hareketini tanımlamak kolay değildir. Pek çok bilinmez içeren karmaşık denklemlerin çözülmesini gerektirir. Bu denklemlerin her zaman bir çözümü var mıdır? Bu çözümler nasıl hesaplanır? Ne gibi özellikler taşır? Uzun zaman boyunca, matematikçilerin elindeki mevcut yöntemler bu soruların ötesine geçmekte yetersiz kalıyor. Yeni bir ilerleme için farklı araçlara ihtiyaç vardı. Masaki Kashiwara, 1970’lerde tam da bu amaçla yeni bir yöntem geliştirdi.
Kashiwara, cebirden gelen güçlü yöntemleri analiz alanına taşıdı. Bu alan, fonksiyonlar ve limitler gibi kavramları inceler ve kalkülüsün temelini oluşturur. Böylece meslektaşlarıyla birlikte “cebirsel analiz” adı verilen tamamen yeni bir matematik dalının kurucusu oldu. Bu yeni yaklaşım, farklı bilim alanlarında önemli gelişmelerin önünü açtı. Örneğin, Kashiwara, 20. yüzyılın başlarında matematikçi David Hilbert’in ortaya koyduğu problemlerden birini çözdü ve günümüz fiziğinde kullanılan bazı tekniklerin temelini attı.
Norveç Bilim ve Edebiyat Akademisi, bu yılki Abel Ödülü’nü kendisine verdikten sonra yayımladığı basın bülteninde şu ifadelere yer verdi: “Kashiwara, kimsenin hayal bile edemeyeceği yöntemlerle çarpıcı teoremler ispatladı. O, gerçek bir matematiksel vizyonerdir.”
Masaki Kashiwara Kimdir?
Masaki Kashiwara, 1947 yılında Tokyo yakınlarında doğdu. Matematiğe olan ilgisi, daha çocuk yaşlardayken ortaya çıktı. Bu ilgi, Japonya’da geleneksel olarak bilinen tsurukamezan bilmeceleriyle başladı. Bu bilmeceler, belirli bir baş ve bacak sayısına bakarak kaç tane turna ve kaç tane kaplumbağa olduğunu hesaplamayı gerektirir. Örneğin, x kadar baş ve y kadar bacak varsa, kaç tane turna ve kaç tane kaplumbağa olabilir?
Kashiwara, bu türden soruları genelleştirmenin kendisine büyük keyif verdiğini fark etti. Öğrencilik yıllarında da matematikte üstün başarılar gösterdi. Tokyo Üniversitesi’nde eğitim görürken, dönemin önde gelen matematikçilerinden Mikio Sato ile tanıştı.
Sato’nun öğrencisi olan Kashiwara, bu tür problemlere odaklanmaya karar verdi. Karşılaşmaları doğru zamana da denk gelmişti. Çünkü Sato ve ekibi, o sırada analiz ile cebiri birleştiren tamamen yeni bir matematik dalı üzerinde çalışıyordu. Kashiwara, hocası Mikio Sato ile birlikte diferansiyel denklemler üzerine çalıştı.
Masaki Kashiwara ve Cebirsel Analizin Doğuşu
Dünya sürekli değişir. Matematikçiler bu tür değişimleri türevlerle ifade eder. Fizik bilimi de bu tür türevleri içeren denklemlerle, yani diferansiyel denklemlerle ilerler.
Matematikçiler için bu denklemleri yazmak kolaydır. Ancak çözmek bambaşka bir iştir. Bazı özel durumlarda çözümler mevcuttur. Ama çoğu zaman, çözümün olup olmadığını bile netleştiremezler. Örneğin, sıvıların hareketini açıklayan Navier-Stokes denklemleri her zaman çözüm verir mi? Bu soru, hâlâ cevapsızdır. Matematik dünyası yüzyıllardır bu tür sorularla uğraşır ama birçok temel problemi hâlâ çözüme kavuşturamaz.
İşte böyle anlarda bir adım geri çekilip bütüne bakmak, çözüm yolunu açar. Detaylar bulanıklaşsa da yapının genel hatları ortaya çıkar. Sato’nun öncülüğündeki Japon araştırma grubu da bu stratejiyi izledi. Diferansiyel denklemleri analizle değil, cebirle ele almayı önerdi.
Denklemlerin kendisinden çok, nasıl davrandıklarına odaklandılar. Fizikte yeni bir parçacığı anlamak için onun diğer parçacıklarla ilişkisini incelemek gerekir. Benzer biçimde farklı denklemler arasındaki etkileşim de matematikçiye yeni ipuçları sunar. Cebirsel analiz (algebraic analysis) tam olarak bu düşünceye dayanır.
Sato ve ekibi, tek bir diferansiyel denkleme odaklanmak yerine, bu tür tüm denklemleri kapsayan daha geniş bir sınıfı incelemeye yöneldi. Üstelik bu denklemlerin yalnızca düz yüzeylerde değil, eğimli ve bükülmüş yüzeylerde de işlemelerine izin verdiler. İlk bakışta karmaşık görünen bu yaklaşım, matematikte yeni kapılar açtı. Çünkü bu sayede, tek tek denklemlerde gözlemlenemeyen genel özellikler ortaya çıktı.
1970 yılında Masaki Kashiwara, henüz 23 yaşındayken, diferansiyel denklemlerden değerli bilgiler elde etmeyi mümkün kılan D-modülleri tanıttı. D-modüller, bir denklemin çözümlerinin bazı bölgelerde sonsuz değerlere ulaşıp ulaşmadığını gösterir. Ayrıca bu modüller, denklemin kaç farklı çözüme sahip olduğunu hesaplamaya da olanak tanır.
Kashiwara’nın elde ettiği sonuçlar, cebirsel analizin yeni gelişmekte olan alanına yön verdi. Ancak tezini Japonca yazdığı için, bu çalışma ancak 25 yıl sonra İngilizceye çevrilerek daha geniş bir çevre tarafından erişilebilir hale geldi.
Masaki Kashiwara ‘nın Simetriler İle İlgili Çalışmaları
Mezun olduktan sonra Kashiwara, Kyoto Üniversitesi’ne geçti. Burada Sato ile iş birliğini sürdürdü ve doktora derecesini aldı. Bu süreçte, başlattığı yöntemlerini daha da geliştirdi. 1980 yılında D-modülleri kullanarak alanın en önemli problemlerinden birini çözdü. Bu problem, Alman matematikçi David Hilbert’in 1900 yılında Paris’teki Uluslararası Matematikçiler Kongresi’nde sunduğu ünlü yüzyıl konuşmasında yer alan 23 temel problemden biriydi.
Hilbert’in 21. problemi, diferansiyel denklemlerle ilgilidir. Hilbert, belirli bir eğri yüzeyde tekillikler içeren bir çözümü olan diferansiyel denklemlerin her zaman bulunup bulunamayacağını sormuştu. Kashiwara, bazı yüzey türleri için bu tür diferansiyel denklemlerin gerçekten var olduğunu kanıtladı ve böyle durumlarda uygun bir denklem hesaplanabileceğini gösterdi.
D-modüller, matematiğin pek çok alanında ilerlemelere yol açtı. Ancak fizik alanında da etkisini göstermeye başladı. Oldukça karmaşık yapıya sahip bu integraller, diferansiyel denklemlerin çözümleri olarak kabul görür. Bu nedenle cebirsel analiz yöntemleri, bu integrallerin özelliklerini belirlemekte önemli bir rol oynar.
Masaki Kashiwara, yalnızca cebirsel analiz alanına değil, matematiğin başka temel dallarına da önemli katkılar sağladı. Bunlardan biri, simetriyi matematiksel olarak tanımlamak için kullanılan temsil kuramıdır.
Bir nesne, belirli dönüşümlerden sonra aynı görünmeye devam ediyorsa simetrik kabul edilecektir.. Örneğin, eşkenar bir üçgeni 120 derece döndürdüğümüzde şekli değişmez. Temsil kuramı, bu tür simetri dönüşümlerinin nasıl işlediğini inceleme olanağı sunar.
Örneğin, bir şekli önce 270 derece döndürüp ardından y eksenine göre yansıtırsak ne olur? Bu tür soruları cevaplamak için dönüşümleri matrislerle ifade etmek mümkündür. Ancak her tür simetri için uygun matris temsilleri oluşturmak her zaman mümkün değildir.
Kashiwara, bu alanda özellikle sürekli simetrileri tanımlayan Lie gruplarına odaklandı. Bu grupların matematiksel temsillerini araştırdı ve temsil kuramında önemli ilerlemeler sağladı. Bu çalışmalar, modern matematiğin pek çok alanında kullanılan simetri anlayışına katkı sundu.
2025 Abel Ödülüne Giden Yol
Kashiwara, kesikli yapılarla da ilgilendi. Özellikle kuantum grupları üzerine yaptığı çalışmalar bu alanda iz bıraktı. Kuantum grupları, kuantum fiziğinde önemli bir yer tutar. Çünkü mikroskobik ölçekte doğa kesintisiz değil, parçalı bir yapı sergiler. Pek çok fiziksel büyüklük yalnızca belirli adımlarla ölçülebilir; yani bu değerler “kuantize” bir şekilde ortaya çıkar. İşte bu kuantize yapıların simetrisini anlamak için Kashiwara, “kristal tabanlar” adını verdiği özgün bir yaklaşım geliştirdi.
Kristal tabanlar, kuantum gruplarını yönlü ağlar (graf yapıları) üzerinden temsil etmeyi mümkün kılar. Bu sayede, temsil kuramında yıllardır çözülmesi güç olan pek çok problem, sezgisel ve basit kombinatorik yöntemlerle ele alınır hale gelir. Kashiwara’nın geliştirdiği bu yöntemler, hem matematikte hem de fizikte etkili bir şekilde kullanılmaya devam ediyor.
Kashiwara, bu etkileyici araştırmalarıyla bugüne kadar pek çok uluslararası ödül aldı. 2025 Abel Ödülü ise bu başarıların en görünür noktası olarak öne çıkıyor. 78 yaşındaki Masaki Kashiwara ise çalışmalarını sürdürmeye devam ediyor. Hâlâ yeni araştırmalar yayımlıyor ve matematik dünyasına yeni katkılar sunmayı sürdürüyor.
Yazının devamında göz atmak isterseniz: 2024 Abel Ödülünün Sahibi Rastgeleliği Anlamlandıran Michel Talagrand Oldu
Kaynaklar ve ileri okumalar
Top Math Prize Recipient Wedded Algebra and Calculus to Found a New Field. Kaynak site: SCientific American. Yayınlanma tarihi: 26 Mayıs 2025. Bağlantı: Top Math Prize Recipient Wedded Algebra and Calculus to Found a New Field
Matematiksel
