1980’lerin ortalarında tuhaf bir şekil, her nasılsa popüler olmuştu. Bu şekil, Mandelbrot kümesi olarak adlandırdığımız son derece karmaşık bir şekildi. Öğrenciler Mandelbrot kümesinin resmini duvarlarına asıyor, müzisyenler ve ressamlar sanatlarını icra ederken bu kümeden ilham alıyordu.
Neden böylesine karmaşık ve görünüşte anlamsız bir şekil bu denli popüler olmuştu? Ve en önemlisi neydi bu küme? Mandelbrot kümesinin neye benzediğini anlatmak için fraktallardan faydalanabiliriz. Fraktal, çoğunlukla daha küçük ölçeklerde aynı ya da benzer şeklin defalarca tekrarlanmasıyla oluşan geometrik şekillerin ortak adıdır.
İşte Mandelbrot kümesi de bir fraktaldır ancak sadece bir fraktal değildir. Çünkü Mandelbrot kümesi, dinamik sistemlerin bir tür ana kataloğudur. Yani uzayda basit bir kurala göre hareket eden bir nokta aldığınızda, bu noktanın alabileceği tüm farklı yolların bir açıklamasıdır. Yanı sıra bu küme, sadece dinamikle değil aynı zamanda sayı teorisi, topoloji, cebirsel geometri, grup teorisi ve hatta fizikle de derinden ilişkilidir.
Peki nereden çıktı bu Mandelbrot kümesi? Bu soruyu cevaplamak için matematik tarihinde biraz geriye gitmemiz gerekiyor.
Pierre Fatou ve Gaston Julia’nın Çalışmaları
Mandelbrot kümesinin keşfine giden yol bir ödülle başlamıştı. 1915 yılında fonksiyonların incelenmesindeki son gelişmelerden hareketle Fransız Bilimler Akademisi bir yarışma düzenledi. Yarışma kapsamında daha sonra Mandelbrot kümesini oluşturacak olan yineleme süreci üzerine yapılan çalışmalar için 3000 franklık büyük bir ödül verilecekti.
Matematikte yineleme (iterasyon), en basit tabiriyle bir kuralın tekrar tekrar uygulanmasıdır. Bu bağlamda fonksiyonları düşünmek oldukça kolaydır. Diyelim ki elimizde f(x)=a şeklinde bir fonksiyon var. Çıktımız olan a’yı x yerine yazdığımızda f(a)=b gibi bir sonuç elde ediyoruz diyelim. Şimdi de b’yi a yerine yazdığımızda başka bir çıktı elde ederiz ve bu böyle devam eder. İşte bu yinelemedir.
Akademinin koymuş olduğu ödül, iki matematikçiye yeni bir çalışma alanı geliştirmeleri için ilham vermişti. Bu matematikçiler Pierre Fatou ve Gaston Julia idi.
Fatou ve Julia, birbirlerinden habersiz çalışmalarına rağmen yinelenen fonksiyonlar konusunda çok benzer sonuçlar elde etmişti. Sonuçlarında o kadar çok örtüşme vardı ki, alana kimin daha fazla katkı yaptığı konusunda bir uzlaşı yoktur. Yine de ödülün kazananı bir kişiydi ve o da Julia idi. Julia daha dışadönük olduğu için onun çalışmaları daha çok ilgi görmüştü. Fatou ise yarışmaya başvurmamıştı bile. Buna rağmen bu ikili, karmaşık dinamikler alanının kurucuları olarak kabul ediliyor.
Karmaşık dinamikler diyoruz çünkü Fatou ve Julia karmaşık sayıların fonksiyonlarını yinelemişlerdi. Ve buldukları şey, basit karmaşık fonksiyonların bile yinelenmesinin başlangıç noktasına bağlı olarak zengin ve karmaşık davranışlara yol açabileceğiydi. Sonra bu davranışları belgelemeye ve geometrik olarak temsil etmeye başladılar. Fakat daha sonra bu ikilinin çalışmaları yarım yüzyıl boyunca unutuldu.
Benoit Mandelbrot’un Çalışmaları ve Mandelbrot Kümesinin Doğuşu
Aradan geçen onca yıl sonunda Benoit Mandelbrot isminde bir matematikçi, Fatou ve Julia’nın çalışmalarını tekrar gündeme getirmişti. O zamana kadar Benoit Mandelbrot, akademik bir amatör olarak ün salmıştı. Çünkü IBM’in New York’un kuzeyindeki araştırma merkezinde ekonomiden astronomiye kadar pek çok farklı alanla uğraşmıştı.
Mandelbrot 1974’te IBM bursiyeri olarak atandığında bağımsız projeler yürütmeye karar verdi. Böylece merkezin hatrı sayılır hesaplama gücünü karmaşık dinamikleri incelemek için kullandı. İlk başta bilgisayarları Fatou ve Julia’nın üzerinde çalıştığı türden şekiller üretmek için kullandı. Fatou ve Julia’nın 60 sene önceki çizimleri daire ve üçgen kümeleri gibi görünüyordu.
Fakat Mandelbrot’nun bilgisayarda oluşturdukları ejderha, kelebek, tavşan, karnabahar gibi karmaşık şekillere benziyordu. Bugün adına Julia kümeleri dediğimiz bu görüntüler, Mandelbrot’nun o güne kadar gördüğü en güzel ve karmaşık fraktal örneklerindendi.
Peki Julia kümesi ve Mandelbrot kümesi arasında nasıl bir ilişki var? Mandelbrot kümesi de Julia kümesi gibi yinelendiğinde karmaşık şekiller çıkaran basit fonksiyonlarla ilgilidir. Bu fonksiyonlar f(z)=z2 + c biçimindeki ikinci derecen fonksiyonlardır.
Dahası Mandelbrot kümesi, Julia kümelerinin bir haritası gibi davranır. Mandelbrot kümesinde bir c değeri seçin. Bu değere karşılık gelen bir Julia kümesi vardır. Ancak Mandelbrot kümesinden ne kadar uzakta bir c seçersek Julia kümemiz de o derece soluklaşacaktır.
Mandelbrot Kümesindeki Detaylar
Matematiğin bu meşhur fraktalının ilk resmi sadece birkaç yüz tane yıldan oluşan kaba bir görseldi. Bu görsel 1978’de grup teorisi ve hiperbolik geometride görünüşte ilgisiz bir soru üzerine çalışan matematikçiler Robert Brooks ve J. Peter Matelksi’nin bir makalesinde ortaya çıkmıştı.
Kümeyi tanıyan ve popülerleştirense Benoit Mandelbrot oldu. Daha sonra kendisi 1980’de Mandelbort kümesinin Brooks ve Matelski’nin makalesindekinden daha iyi bir versiyonunu üretti. Görsel çok hoşuna gidince fraktalın mümkün olduğunca halka açık bir imaj haline getirilmesine karar verdi. Böylece hem kümeye onun adı verilmiş oldu hem de Mandelbrot kümesi büyük bir popülerlik kazandı.
Mandelbrot kümesi her ne kadar yukarıdaki görseldeki gibi tanınsa da bünyesinde bir dolu detay barındırır. Zaten bu kümeyi bu kadar ilginç kılan şeylerden biri de budur. Basit bir fonksiyonun yinelenmesiyle oluşmasına rağmen son derece karmaşıktır. Aşağıdaki görselde bunu rahatlıkla görebiliriz.
Elbette Mandelbrot kümesini özel kılan bir tek bu değildir. Matematikçiler küme içinde kodlanmış Fibonacci dizisinin yanı sıra π’nin bir yaklaşımını da keşfetmişlerdi. Ve tüm bunların hepsi son yarım yüzyıldaki bilgisayar grafiklerinin gelişmesiyle mümkün olmuştur.
Sonuç olarak;
Fraktalı oluşturan matematik son derece basittir. Sadece toplama-çarpma ve fonksiyonları bilmeniz yeterlidir. Ancak kümeyi meşhur eden çizimi elle çizmek mümkün değildir. Ayrıca bu kolay hesaplamaların milyonlarca kez elle yapılması da son derece zordur.
Kaynaklar ve İleri Okumalar
- The Quest to Decode the Mandelbrot Set, Math’s Famed Fractal ; Bağlantı: The Quest to Decode the Mandelbrot Set, Math’s Famed Fractal | Quanta Magazine ; Yayınlanma tarihi: 26 Ocak 2024
- Unveiling the Mandelbrot set ; Bağlantı: Unveiling the Mandelbrot set | plus.maths.org ; Yayınlanma tarihi: 1 Eylül 2006
- Math’s Mysterious Infinite Fractal: The Mandelbrot Set ; Video bağlantısı: https://youtu.be/u9GAnW8xFJY
Matematiksel
