Bundan binlerce yıl önce Elealı Zeno’nun ortaya attığı bir paradoks, bilim insanlarını uzun yıllar boyunca uğraştırmıştı. Sonrasında bu paradoksu çözmüş olmamıza rağmen kuantum fiziği, Zeno paradoksu üzerine yeniden düşünmemiz gerektiğini gösteriyor.
Öncelikle bilmeyenler için Zeno paradoksunun ne olduğundan bahsedelim. MÖ 450’lerde yaşamış Elealı Zeno’ya göre hareket etme eylemi tartışmalıydı. Ona göre bir noktadan bir noktaya ulaşmak pek mümkün görünmüyordu. Öyle ki Aşil paradoksu olarak da bilinen bu paradoksu için şöyle bir hikaye ortaya atar.
Bir gün Antik Yunan’ın en hızlı insanı olan Aşil ve bir kaplumbağa, 100 metrelik bir koşu yarışı yapmaya karar verir. Aşil çok hızlı olduğu için rakibi kaplumbağaya ufak bir avantaj sağlar. Böylece kaplumbağa, yarışa Aşil’den 1 metre önce başlar. Sizce bu yarışın galibi kim olur?
Hepimiz bu soruya “Aşil” cevabını veririz. Ne de olsa Aşil çok hızlı, kaplumbağa ise çok yavaştır. Ancak Zeno’ya göre kazanan Aşil değil, kaplumbağadır. Çünkü ona göre Aşil, kaplumbağaya asla yetişemeyecektir.
Elbette Zeno, Aşil’in kaplumbağadan çok çok hızlı olduğunu ve onu geçeceğini bilmektedir. Ancak onun dikkat çekmek istediği şey, bu durumun matematiksel bir perspektiften bakıldığında çok açık olmadığıdır. Nihayetinde Zeno paradoksu çok uzun bir süre boyunca matematikçileri düşündürmüştür. Fakat daha sonra bu paradoksa matematiksel anlamda bir çözüm sunulmuştur.
O halde Zeno paradoksunu kuantum fiziği bağlamında düşünmeden önce matematiksel anlamda bir inceleyelim.
Zeno Paradoksunun Çözümü Farklı Sonsuzluk Türleriyle İlgili
Elealı Zeno söz konusu paradoksunu ortaya attıktan sonra bu paradokslar oldukça ilgi gördü. Örneğin Aristoteles, onun bu paradokslarını uzay ve zamanın sonsuz sayıda küçük parçaya bölünemeyeceği görüşüne destek olarak görmüştür. Buna göre Aşil, nihayetinde kaplumbağaya minimum mesafede yetişecek ve sonrasında onu geçecektir.
Fakat bir başka Antik Yunan düşünürü olan Arşimet, Aristoteles ile aynı fikirde değildi. Arşimet’e göre bu paradoksun çözümünün kalbinde farklı büyüklükteki sonsuzlukları anlamak yatıyordu. Peki nedir bu farklı büyüklükteki sonsuzluklar?
Yukarıdaki görseldeki gibi tam sayıların yer aldığı bir sayı doğrusu düşünelim. Sayı doğrusuna bakınca tam sayılar kümesinin hem pozitif tarafta hem de negatif tarafta sonsuza kadar gittiğini görebiliriz. Bu nedenle tam sayılar kümesi sonsuz sayıda elemana sahiptir deriz.
Şimdiyse sayı doğrusuna daha yakından bakalım. Örneğin 3 ve 4 sayıları arasında da sonsuz sayıda sayı vardır. Fakat 3 ve 4 sayıları arasındaki aralık aslında sonlu bir aralıktır. Buna rağmen sonsuz eleman barındırır.
İşte Arşimet’in dikkat çekmek istediği nokta burasıydı. Çünkü Aşil ve kaplumbağa arasında da sonlu bir mesafe vardır. Ancak paradoksa göre Aşil ve kaplumbağa arasındaki o sonlu mesafe bir türlü kapanmaz. Çünkü paradoks, o sonlu mesafedeki Aşil’in kat edeceği mesafe sürekli parçalara ayrılarak sonsuz hale gelir. Tıpkı sayı doğrusunda 3 ile 4 arasındaki aralığa yakınlaşıp oradaki sonsuz sayıya bakmak gibi.
Arşimet bu iddiasını kanıtlayamamış olsa da haklıydı. Ve Zeno’nun bu paradoksu, 2000 yıldan daha fazla bir süre geçtikten sonra kalkülüs sayesinde çözüme kavuşmuştu. Newton ve Leibniz‘in geliştirdiği matematiksel araçlar, Arşimet’in fikrinin kanıtlanmasını sağlamıştı. Böylece Arşimet’in de dediği gibi bir mesafeyi sonsuz parçaya bölmenin o mesafeyi sonsuz sürede kat edeceğimiz anlamına gelmediği ortaya çıkmış oldu.
Peki Aşil Kaplumbağayı Ne Zaman Geçecek?
Şimdi işin işlemsel kısmına gelelim. Aşil ve kaplumbağa senaryomuzda Aşil’in kaplumbağadan 5 kat hızlı olduğunu söylemiştik. Ayrıca Aşil, centilmence davranarak kaplumbağanın 1 metre önden başlamasına izin vermişti. İşlem yapabilmek için bir de Aşil’in hızına ihtiyacımız var. Bu hız da diyelim ki 12 km/h olsun.
Aşil, kaplumbağa ile aralarındaki 1 metre mesafeyi koştuğunda kaplumbağa da 20 cm ilerleyecektir. Koşucumuz o 20 cm’yi de koştuğunda kaplumbağa 4 cm ilerleyecektir ve bu böyle devam edecektir. Bundan bahsetmiştik. O halde Aşil’in kaplumbağaya yetişirken kat edeceği mesafeyi şu şekilde ifade edebiliriz. S toplam mesafeyi göstermek üzere S = 1 + 1⁄5 + 1⁄25 + 1⁄125 + …. olur.
Görüldüğü üzere buradaki toplam gittikçe küçülen sonsuz tane sayının toplamından oluşmaktadır. Kalkülüs olmadan böyle bir toplamı hesaplamanın pek bir yolu yoktur. Ancak Newton ve Leibniz’in ortaya attığı sonsuz küçükler sayesinde bu toplamın sonucu bulunabilir.
Bu toplamın sonucunu bulmak için 1/5 parantezine almamız yeterlidir. Böylece S = 1 + 1⁄5 x (1 + 1⁄5 + 1⁄25 + 1⁄125 + …) eşitliğini elde ederiz. Ve fark etmiş olabileceğiniz üzere parantez içindeki kısım S’ye eşittir. Bu nedenle aslında elimizde S = 1 + ⅕S eşitliği var. Buradan S’nin 1,25 olduğunu görmek son derece kolaydır.
Bu da 1,25 metre sonra Aşil ile kaplumbağanın yan yana olacağı anlamına gelir. Ve Aşil’in 12 km/h hızla koştuğunu göz önünde bulundurursak koşumuz kaplumbağayı 0,375 saniye gibi bir sürede geçecektir.
Fakat Kuantum Fiziğinde İşler Farklı İşliyor Gibi Görünüyor
Az önce de açıkladığımız üzere Zeno paradoksu 17. yüzyıldan itibaren çözüme kavuştu. Matematiksel açıdan baktığımızda ortada herhangi bir sorun kalmamıştı. Ta ki kuantum fiziği ortaya çıkana kadar.
Kuantum dünyasının bizim deneyimlediğimiz dünyadan çok farklı olduğunu hepimiz biliyoruz. Örneğin bizim dünyamızda bir nesneyi gözlemleyip gözlemlemememiz o nesnenin davranışını etkilemez. Ancak kuantum dünyasında durum tam tersidir. Bir elektron siz ona bakmazken olası her durumda aynı anda var olur. Elektrona baktığınızda ise o olası durumların sadece birinde var olur. Fizikte buna süperpozisyon denir.
İşte kuantum fiziğinde Zeno paradoksu da bu kısımda karşımıza çıkıyor. Zaman içerisinde durum değiştiren kuantum nesneler üzerinde eğer yeterince sık ölçüm yaparsak durum değiştirmeleri daha az olası hale geliyor. Ve fizikçiler bu durumu deneylerde gözlemledi bile. Hatta bunun bir ismi bile var: Kuantum Zeno etkisi.
Kuantum Zeno etkisi günümüzde ticari manyetometrelerde kullanılıyor. Bunun sebebi manyetik alanı çok hassas bir şekilde ölçen kuantum sistemlerinin istenen durumlarını korumasıdır. Hatta kuantum Zeno etkisinin kuşların manyetik duyularında da rol oynayabileceği tahmin ediliyor.
Kısacası Elea’lı filozofumuzun bu düşünce deneyinden 2500 yol sonra bile üzerine düşünmeye devam ediyoruz. Evet, paradoksa matematiksel bir çözüm sunduk. Fakat işe kuantum tarafından baktığımızda karşımıza bazı sorular çıkıyor. Hareket, değişim ve ölçüm aslında nedir? Kuantum dünyasında gözlem ne anlama gelir? Bakalım bu soruları yanıtlamak için de birkaç bin yıl beklememiz gerekecek mi?
Kaynaklar ve İleri Okumalar
- Quantum Physics Has Reopened Zeno’s Paradoxes ; Bağlantı: Quantum Physics Has Reopened Zeno’s Paradoxes | Scientific American ; Yayınlanma tarihi: 30 Temmuz 2024
- Quantum Zeno effect ; Bağlantı: Quantum Zeno effect – Wikipedia
Matematiksel
