Katı cisimlerin hacim formülleri aslında kolay olmasına karşın, kimi zaman karıştırılmaktadır. Özellikle küre için hacim ve alan formülleri, prizma, piramit ve koni kadar akılda kalıcı değildir. Ancak, size göstereceğimiz yöntemle kürenin hacim ve alan formüllerini aklınızda tutmakta zorlanmayacaksınız.
Bunun için en baştan başlamamız gerekiyor. Önce katı cisimleri üç kategoriye ayıralım: Prizmalar, sivri cisimler ve küre. Şimdi sırasıyla bunların ne olduğunu ve hacim formüllerini verelim.
Prizmalar
Prizma, düzlemsel bir şeklin bir doğru parçası boyunca hareket ettirilmesi ile oluşan cisimdir. Prizmalar, tabanına göre isim alır. Tabanı kare ise kare prizma, tabanı üçgen ise üçgen prizma, tabanı daire ise silindir denir.
Prizmalar, dik ve eğik prizmalar olmak üzere ikiye ayrılır ancak her ikisi için de hacim formülü aynıdır. Bir prizmanın hacmi, taban alanı ile yüksekliğinin çarpımıdır. Bunu da kısaca V=S.h formülü ile gösterebiliriz. Burada V – volume yani hacim, S – taban alanı ve h yükseklik anlamına gelmektedir. Daha iyi anlamak için aşağıdaki görseli inceleyebilirsiniz.
Sivri Cisimler (Piramit ve Koni)
Sivri cisimler, düzlemsel bir şeklin her noktasının, düzlem dışında bir nokta ile birleştirilmesi ile oluşan cisimlerdir. Tıpkı prizmalarda olduğu gibi, sivri cisimler de tabanına göre isim alır. Tabanı kare olan sivri cisme kare piramit, tabanı üçgen olan sivri cisme üçgen piramit ve tabanı daire olan sivri cisme de koni denir.
Bütün sivri cisimlerin hacmi, taban alanı ile yüksekliğinin çarpımının üçte biridir. Yani aslında biraz önce kullandığımız formülü aynısının üçte biri kadardır. Bu durumda da formülümüz V= S.h/3 biçimindedir.
Küre
Katı cisimler konusunda bir sonraki bilmeniz gereken şekil küredir. Bir küre, ne prizmadır ne de sivri cisimdir. Tamamen yuvarlak geometrik 3 boyutlu bir nesnedir. Belirli bir noktadan (merkez), r (yarıçap) kadar uzaklıkta bulunan tüm noktaların kümesi olarak karakterize edilebilir.
Kürenin formülleri diğerlerinden farklıdır. Ancak, kürenin hacim ve yüzey alan formüllerini akılda kolay tutmak için güzel bir yol da vardır. Kürenin hacmi, tabanı ve yüksekliği de kürenin çapı kadar olan iki koninin hacimleri toplamına eşittir. Öncelikle şekli inceleyiniz. Sonrasında da bunun nedenini anlatmaya çalışalım.
Aslında bir kürenin hacim formülünün ispatını belli geometrik cisimler aracılığı ile sizler de yapabilirisiniz. Bunun için size yukarıda özelliklerini anlattığımız bir koni ve koninin yüksekliği ile eş boyutta bir çapa sahip olan küre gerekecektir. Ayrıca koninin yarıçapı ile kürenin yarıçapı da birbirine eşit olmalıdır.
Şimdi elimizde iki tane eş koni olduğunu düşünelim. Bu koninin yarıçapı r kadar olsun. İşte bu iki koni yardımı ile yarıçapı yine r kadar olan ve yüksekliği 2r kadar olan bir kürenin hacmini hesaplayabiliriz.
Bir koni için gerekli olan hacim formülünde yükseklik yerine 2r yazarsanız yukarıda görmüş olduğunuz sonucu elde ederseniz. İki koninin hacminin toplamı da size kürenin hacmini verecektir. Fiziksel olarak bu nesnelere erişim şansınız olursa deneme yoluyla da bunu gözlemleyebilirsiniz.
Bu arada hatırlatalım. Bir kürenin hacmini belirleyen ilk kişi antik dönemin büyük matematikçisi Arşimet idi. Arşimet bunu hepsi aynı taban alanına sahip bir silindir, koni ve küre ile yapmıştı. Arşimet bu sonuca şekilleri tartarak ulaşmıştı. (Şekillerin içinin dolu ve aynı homojen maddeden yapıldığını kabul etmişti. Maddenin yoğunluğunu da 1 kabul ettiği zaman ağırlık= hacim olmuştu)
Kürenin Yüzey Alanı
Katı cisimler ile ilgili bilmemiz gereken son önemli formül kürenin yüzey alanı. Bir kürenin yüzey alanını hesaplamak için kürenin merkezinde bir daire hayal etmek mantıklı olacaktır. Bu sayede o dairenin çapı, kürenin de çapı olur. Öncelikle aşağıda şekli inceleyelim ve formülü öğrenelim. Sonra da nedenini anlamaya çalışalım.
Öğrencilerin anlamakta en çok zorlandıkları formüllerden birisi 4 tane aynı yarıçapa sahip daire ile bir kürenin yüzey alanının ilişkisidir. Bunu deneme yoluyla yapmaya çalışırsanız başarılı olmanız da mümkün olmaz. Ancak basit bir düşünce ile çözüme ulaşabiliriz.
Öncelikle kürenin yüzey alanını hesaplamak istediğimiz için kürenin etrafına bir silindir yerleştirdiğimizi düşünelim. ( Bu silindirin üstü ve altı yok. Sadece kürenin etrafında bir sınır yarattık.) Bu silindir küre ile aynı yükseklikte ve yarıçapta olmalıdır. Aşağıdaki şekil size fikir verebilir.
Aslında bundan sonra yapmamız gereken şey çok kolay. Şimdi bu silindirin açık halini düşünelim. Elimizde aşağıdaki şekilde gördüğünüz dikdörtgen olacaktır. Bu dikdörtgenin kısa kenarı kürenin yüksekliği kadardır yani 2r. Uzun kenarı ise kürenin çevresi kadar olmalıdır. Bunun sonucunda bizim yapmamız gereken sadece uzun ve kısa kenarı çarpmak ve bunun sonucunda bir kürenin yüzey alanının nasıl hesaplandığını anlamaktır.
Gördüğünüz gibi tüm katı cisimler birbirleri ile ilişkili formüller yardımı ile hesaplanır. Bu nedenle sadece bir formül olarak ezberleyip geçmek yerine arka plandaki nedeni anlamak bilginin kalıcılığını arttıracaktır.
İspatlar için kaynaklar ve izleme önerileri:
- But why is a sphere’s surface area four times its shadow?; https://www.youtube.com/
- Visualizing the Volume of a Sphere Formula; https://www.youtube.com/
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak veya Patreon üzerinden ufak bir bağış yaparak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
