Bir kare nedir? Bu soruya temel matematik eğitimi olan herhangi bir kişi elbette kolay cevap verecektir. Sonucunda kare dört kenarı ve açıları birbirine eşit bir dörtgendir. Bu dört açının birbirine eşit olması ise karenin tüm açılarının 90 derece olma zorunluluğunu getirir. Peki, gerçekten öyle mi?
Bu tanım oldukça açık gibi görünse de, matematikte bazı kavramlar beklenmedik sonuçlar doğurabilir. Örneğin, üçgenin tüm açıları 90 derece olabilir mi? Ya da bir beşgenin, altıgenin veya daha fazla kenara sahip bir şeklin tüm açılarını 90 derece yapmak mümkün müdür?
İlk bakışta bu imkânsız gibi görünebilir. Ancak, geometri yalnızca düz yüzeylerle sınırlı değildir. Eğri yüzeyler ve farklı uzay geometrileri devreye girdiğinde, bu tür soruların cevapları şaşırtıcı olabilir.
Geometri denildiğinde çoğumuzun aklına okulda öğrendiğimiz üçgenler, açılar ve paralel doğrular gelir. Ancak bu kurallar, yalnızca belirli bir yüzeyde, yani Öklid yüzeyinde geçerlidir. Oysa, farklı yüzey türleri de vardır ve bunları anlamak için eğrilik kavramını incelemek gerekir. Burada sözünü ettiğimiz eğrilik, Gauss eğriliğidir.
Gauss Eğriliği Nedir?
Gauss eğriliği, bir yüzeyin nasıl kıvrıldığını matematiksel olarak ifade eder. Bir düz kağıt ile bir küreyi karşılaştıralım. Kağıdı masaya koyduğunuzda düzdür ve her yönde aynı şekilde uzanır. Ancak bir kürenin yüzeyi farklıdır. Küre üzerinde iki noktayı birleştiren en kısa yollar (jeodezikler), her zaman düz bir çizgi gibi görünmez ve iç açılarının toplamı 180 derece olan bir üçgen çizmek mümkün olmaz. İşte bu fark, Gauss eğriliği ile tanımlanır.
Düz bir yüzeyin Gauss eğriliği sıfırdır. Bir kürenin yüzeyi gibi her yönde dışa doğru kıvrılan yüzeylerde Gauss eğriliği pozitiftir. Buna karşılık, at eyerine benzeyen bir hiperbolik yüzeyin Gauss eğriliği negatiftir. Bu fark, Öklid dışı geometrilerin temelini oluşturur.
Bir kürenin yüzeyine oturduğunuzu düşünelim. Ayaklarınızın altında kalan yüzeye dikkat ederseniz, bu yüzeyin her yönde aşağı doğru kıvrıldığını fark edersiniz. Küre yüzeyindeki herhangi bir noktada, yüzeyin eğimi hep aynı şekilde içbükeydir. İşte bu, küresel yüzeylerin sahip olduğu pozitif Gauss eğriliğini tanımlayan özelliktir.
Ancak hiperbolik bir yüzeyde oturuyor olsaydınız, farklı bir durum ortaya çıkardı. Bacaklarınızın olduğu yönde yüzey aşağı doğru kıvrılırken, önünüze veya arkanıza doğru baktığınızda yüzeyin yukarıya doğru kıvrıldığını fark ederdiniz. Bu karşıt eğrilik, negatif Gauss eğriliğinin özelliğidir
Küreyi özel kılan temel özelliklerden biri, Gauss eğriliğinin her noktada aynı değere sahip olmasıdır. Yani kürenin hangi noktasına bakarsak bakalım, yüzeyin aynı şekilde kıvrıldığını görürüz. Ancak sabit Gauss eğriliğine sahip olan tek yüzey küre değildir. Eğriliği her noktada aynı olan fakat negatif olan bir yüzey de vardır.
Südoküre, küreye benzeyen bir yüzeydeğildir. Ancak matematiksel anlamda, küre ile benzer bir özelliğe sahiptir: Gauss eğriliği her noktada sabittir. Kürede bu eğrilik pozitifken, südokürede negatiftir.
Pozitif Eğriliğe Sahip Bir Şekil Üzerinde 90 Derece Nasıl Görünür?
Pozitif eğriliğe sahip küremize geri dönelim ve bunun Dünya olduğunu varsayalım. Şimdi ekvatorda bir noktadan başlayıp kuzey kutbuna doğru bir boylam çizgisi boyunca ilerleyelim. Bu boylam çizgisi, ekvator ile her zaman 90 derecelik bir açı yapar. Kuzey kutbuna ulaştığımızda, daha önce izlediğimiz boylam çizgisine 90 dereceyle kesişen başka bir boylam seçelim ve bu çizgi boyunca tekrar ekvatora doğru yürüyelim. Son olarak, başlangıç noktamıza dönene kadar ekvator boyunca hareket edelim.
Bu hareketler sonucunda oluşturduğumuz şekil, küre üzerindeki büyük dairelerin parçalarından meydana gelir. Büyük daireler, kürenin merkeziyle aynı merkezi paylaşan ve kürenin çapına eşit çapa sahip çemberlerdir. Bu nedenle her bir yolun uzunluğu aynıdır.
Küre üzerindeki büyük daireler, düzlemdeki düz çizgilerin karşılığıdır. Düz bir yüzeyde iki nokta arasındaki en kısa mesafe düz bir çizgi üzerindeyken, küre üzerinde iki nokta arasındaki en kısa mesafe bir büyük daire boyunca uzanır. Matematikte, bir yüzey üzerindeki en kısa mesafeye jeodezik denir.
Bu hareketlerle aslında özel bir üçgen oluşturduk. Tüm kenarları eşit uzunluktadır ve her köşedeki açılar 90 derecedir. Düz bir yüzeyde çizdiğimiz üçgenlerin iç açılarının toplamı her zaman 180 dereceyken, küre üzerinde çizilen bu üçgenin iç açılarının toplamı 180 dereceden fazladır. Bu, pozitif eğriliğe sahip yüzeylerde geçerli olan temel bir geometrik özelliktir.
Hatta küre üzerine, sadece iki kenardan oluşan özel bir şekil bile çizebiliriz. Bu şeklin bir kenarı büyük bir çemberin yarısı, diğer kenarı ise bu çemberle 90 derece yapan başka bir büyük çemberin yarısıdır. Matematikte, böyle bir şekle digon adı verilir. Digon, Öklid geometrisinde mümkün olmayan ancak küresel geometrinin sunduğu ilginç ve önemli kavramlardan biridir.
Negatif Gauss Eğriliğine Sahip Bir Şekilde 90 Derece Nasıl Görülür?
Bu sorunun cevabını anlamak için bir südoküre üzerinde düşünelim. Südoküre, sabit negatif eğriliğe sahip bir yüzeydir ve hiperbolik geometriyi anlamak için önemli bir örnektir. Şimdi südoküre üzerinde bir beşgen çizildiğini düşünelim. Aşağıdaki görselde, böyle bir yüzey üzerine çizilmiş beşgenin nasıl görünebileceğini görüyoruz.
Bu beşgenin köşe açıları, düzlemde çizilen bir beşgene kıyasla oldukça farklıdır. Öklid geometrisinde, düzgün bir beşgenin iç açılarının toplamı 540 derece olurken, südoküre üzerindeki bir beşgende bu toplam daha küçük olacaktır. Beş kenarlı şeklin kenarları bize kavisli gibi görünse de, aslında bu kenarlar yüzey üzerinde en kısa yolu takip eden jeodezik segmentlerdir. Yani, bu kenarlar bizim bildiğimiz anlamda eğri değildir; yüzeyin kendi geometrisi içinde düzdürler.
Hiperbolik geometrinin sunduğu bu ilginç sonuçlar, günlük deneyimlerimize uymasa da matematiksel olarak tutarlıdır ve diferansiyel geometri, fizik ve kozmoloji gibi birçok alanda önemli bir yer tutar.
Ayrıca göz atmak isterseniz: Gauss Ayakkabı Bağcığı Yöntemi İle Alan Hesaplamasını Öğrenelim!
Kaynaklar ve ileri okumalar
- What is a square? Yayınlanma tarihi: 31 Ekim 2022; Kaynak site: Plusmath. Bağlantı: What is a square?/
- 5-Sided Square – Numberphile. Kaynak site: Youtube. Bağlantı: 5-Sided Square
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
