Bildiğiniz gibi matematikte “Kaç sayı var?” sorusu anlamlı bir soru değildir. Çünkü şu an saymaya başlasanız ve bire birer arttırarak yaşamınızın sonun kadar saysanız, sayıların sonuna erişemezsiniz. Bu nedenle basitçe sonsuz sayı vardır deriz.
“Seni sonsuz seviyorum!”. “Ah evet? Seni sonsuz artı 1 seviyorum!” Çocuklar sonsuzluk kavramıyla matematik dersinden çok önce karşılaşırlar. Kısa sürede de bu gizemli, kavrama karşı bir hayranlık geliştirirler. Bu çocukların bir kısmı sonsuzluktan büyülenen matematikçiler olarak büyür ve bu matematikçilerden bazıları sonsuzluk hakkında yeni ve şaşırtıcı şeyler keşfeder.
Bazı sayı kümelerinin sonsuz büyüklükte olduğunu biliyor olabilirsiniz, ancak bazı sonsuzlukların diğerlerinden daha büyük olduğunu biliyor muydunuz? Ve ayrıca ikisinin arasına sıkışmış başka sonsuzluklar olup olmadığından emin miyiz? Matematikçiler bu ikinci soruya Süreklilik hipotezi diyor üzerinde en az bir yüzyıldır kafa yoruyorlar. Ayrıca son zamanlarda yapılan bazı çalışmalar insanların bu konu hakkındaki düşüncelerini de değiştirdi. Detaylara geçmeden önce en baştan başlayalım.
Sonsuzluk birçok farklı boyutta gelir ve aslında açıklaması düşünüldüğü kadar da basit değildir. Bu nedenle bir matematikçiye “Sonsuzluk nedir?” biçiminde bir soru sorarsanız alacağınız cevap muhtemelen “Hangi sonsuzluk? biçiminde olacaktır. Bunun nedeni matematikçilerin sonsuzluğu Sayılabilen sonsuzluklar ile sayılamayan sonsuzluklar olarak ikiye ayırmasıdır.
Sonsuzdan Büyük Sonsuz Ne Anlama Gelir?
1873’te Alman matematikçi Georg Cantor, sayı doğrusunu dolduran “gerçek” sayıların (3,14159 gibi çoğu hiç bitmeyen rakamlardan oluşuyor) 1, 2 ve 3 gibi “doğal” sayılardan daha fazla olduğunu keşfettiğinde matematiği temelden sarsmıştı. Yani aslında tek bir sonsuzluk yoktu. Sonsuzdan daha büyük sonsuzlar da vardı.
Yazının başındaki gibi sayıları 1, 2, 3, 4, …. biçiminde saymaya başlarsanız sayıların sonuna asla ulaşamazsınız. Bu tür bir sonsuzluk, antik Yunan matematikçi Aristoteles’in potansiyel sonsuzluk dediği şeydir: Kesinlikle oradadır, ancak onunla asla yüz yüze gelemezsiniz.
Doğal sayılar sayılabilen bir sonsuzluktur. Eğer sonsuz bir zamanınız olsaydı hepsini sayabilirdiniz. Sonsuz sayıda insandan oluşan bir grup da sayılabilir bir sonsuzluktur. Sonucunda bir kere daha sonsuz zamanınız olsaydı bu insanların tümünün isimlerini bir liste yapardınız, sonra da aynı doğal sayılarda olduğu gibi sayardınız.
Peki ya sonsuz uzunluktaki düz çizgi? Sezgisel olarak düz çizgimizin doğal sayılardan daha büyük olduğunu fark etmiş olmalısınız. Sayma zahmetine katlanamıyorsanız, sonlu şeylerin boyutunu karşılaştırmanın bir yolu, onların tam olarak eşleşip eşleşmediğine bakmaktır.
Bu sayede Cantor bize tam sayılar ve doğal sayılar kümelerinin eşit büyüklükte olduğunu göstermiştir. Hatta Cantor, rasyonel sayıların da doğal sayılarla bire bir eşleşmeye sokulabileceğini kanıtlamıştır. Ancak gerçek sayıların (yani rasyonel ve irrasyonel sayılar) doğal sayılarla bire bir yazışmaya koymanın da mümkün olmayacağını da kanıtlamıştır.
Cantor’un sonluötesi sayılar kuramına göre doğal sayılar en basit sınıftadır ve sayılabilir sonsuzluğa sahiptir. Derecelendirme ℵn (alef) ile gösterilmektedir. Doğal sayılar ℵ0 (alef sıfır) olarak yazılır. Reel sayılar kümesi de sayılamaz bir sonsuzdur. Reel sayılar kümesi de bu nedenle ℵ1 olarak gösterilmektedir. Bu biçimde devam ederek, ℵ2 kümesini de tanımlamamız mümkündür. (ℵ2 elemanları gerçel sayıların tüm alt kümelerinden oluşan kümenin eleman sayısıdır. Yani gerçel sayılar kümesinin kuvvet kümesidir. )
Süreklilik Hipotezi Nedir?
1900 yılında matematikçi David Hilbert, yeni doğmakta olan sonsuzluk matematiği karşısında büyülenmişti. Bu nedenle 20. yüzyılda çözülmesi gereken 23 matematik probleminden oluşan ünlü listesinde süreklilik hipotezini ilk sıraya koymuştu. Süreklilik hipotezi, sayma sayılarının sonsuzluğu ile gerçel sayıların sonsuzluğu arasında sonsuzluğun bulunmadığı ileri sürer. Yani eleman sayısı ℵ0 dan büyük ve ℵ1 den küçük bir kümenin var olmadığını söyler. Ancak bu ilk madde matematikçileri bir açmaza sürükleyecekti.
Yüz yıl sonra çok ilerleme kaydedildi, ancak bu ilerleme yeni gizemlere yol açtı. 1940 yılında ünlü mantıkçı Kurt Gödel, küme teorisinin yaygın olarak kabul edilen kurallarına göre, doğal sayılar ile reel sayılar arasında bir sonsuzluğun var olduğunu kanıtlamanın imkansız olduğunu kanıtladı.
ZFC, matematikte Zermelo-Fraenkel küme teorisi olarak bilinen bir aksiyomatik sistemdir. Bu sistem, matematiksel nesneleri kümelerle temsil eder ve bu kümelerin nasıl tanımlanacağına dair kuralları belirler. Matematiksel hemen hemen her şey kümelerden oluşturulabildiğinden (örneğin, boş küme {} 0’ı belirtir; {{}} 1’i belirtir; {{},{{}}} 2’yi belirtir vb.), kümelerin kuralları matematik boyunca kanıt oluşturmak için yeterlidir.
Ancak 1940 yılında Kurt Gödel, süreklilik hipotezinin bu aksiyomları kullanılarak kanıtlanamayacağını gösterdi. Bu, süreklilik hipotezinin doğru olduğunu kanıtlama yolunda büyük bir adım gibi görünecektir. Ancak yirmi yıl sonra matematikçi Paul Cohen böyle bir sonsuzluğun var olmadığını kanıtlamanın imkansız olduğunu kanıtladı! Süreklilik hipotezinin öyle ya da böyle kanıtlanamayacağı ortaya çıktı. Süreklilik hipotezini matematiğin aksiyomlarından bağımsız hale getirdi. Bu sayede de 1966 Fields Madalyasını kazandı.
Bu sonuçlar hep birlikte süreklilik hipotezinin “bağımsızlığını” ortaya koydu. Bu, kümelerin yaygın olarak kabul edilen kurallarının, doğal sayılar ile reel sayılar arasında bir sonsuzluğun olup olmadığını bize söylemek için yeterli olmadığı anlamına gelir.
Günümüzde Süreklilik Hipotezi Ne Durumda?
Gödel ve Cohen, süreklilik hipotezinin ZFC’den bağımsızlığını ortaya koyduktan sonra konu kapandı sanıyorsanız yanılıyorsunuz. Bu matematikçilerin sonsuzluğu anlama çabalarını sonlandırmak yerine onları yeni yönlere yönlendirdi.
Matematikçiler artık sonsuz kümeler için hem sonsuzluk hakkında bilinenleri açıklayabilecek hem de boşlukları doldurmaya yardımcı olacak yeni temel kurallar arıyorlar. Sorunun hala çözülebileceğini ancak bunun için yeni mantık araçlarına yani yeni aksiyomlara ihtiyacımız olduğunu düşünüyorlar. Hatta günümüzde bunu gerçekleştirme yolunda ilerleyen iki rakip teori de mevcut. İkisi de temelini Paul Cohen’in 1963’te yaptığı çalışmadan alıyor.
Cohen’in kanıtı, o güne dek bilinmeyen bir yöntem kullanmıştı. İngilizcesiyle Forcing, Türkçesi zor kullanma ya da zorlama olarak söyleyebileceğimiz bu yöntemle, Cohen, ZFC’nin aksiyomlarının doğru olduğu ama Süreklilik hipotezinin yanlış olduğu bir matematiksel evren inşa etmişti. Bu nedenle matematikçiler günümüzde yeni matematiksel evrenler üzerine çalışmalara devam ediyorlar.
Yazının başlığında da sorduğumuz “kaç sayı var?” sorusuna net bir cevap bulamayacak olsak da küme teorisyenleri matematiksel çoklu evrenden çıkmak ve tek bir resmin arkasında birleşmek istiyor.
Kaynaklar ve ileri okumalar
- How Many Numbers Exist? Infinity Proof Moves Math Closer to an Answer. Yayınlanma tarihi: Kaynak Site: Bağlantı: How Many Numbers Exist? Infinity Proof Moves Math Closer to an Answer.
- Martin’s Maximum++++ implies Woodin’s axiom (∗).
https://doi.org/10.4007/annals.2021.193.3.3
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak veya Patreon üzerinden ufak bir bağış yaparak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
