Isaac Newton, bir gün rakibi Leibniz’e bir mektup yazdı. Bu mektup, Newton’ın matematiği yeni öğrenmeye başladığı zamanlara ait bir anısı hakkındaydı. Newton’ın Leibniz’e yazdığı bu anısı, binom kuvvet serilerini nasıl keşfettiğini anlatıyordu.
Her şey genç Newton’ın John Wallis’in 17. yüzyıl matematiğinde çığır açan Arithmetica Infinitorum adlı eserini okumasıyla başladı. Wallis, π sayısının değerini belirlemek için yeni ve tümevarımsal bir yöntem bulmuştu. Onun bulduğu bu yöntem, genç Newton’ın ilgisini çekmişti. Bu nedenle Newton da benzer bir şey yapmak istemişti. Newton bunun için işe x genişliğindeki bir dairesel parçanın alanı problemiyle başladı.
Yukarıdaki görselde de gördüğümüz gibi x, 0 ile 1 arasında herhangi bir değer alabilir. Çünkü Newton, problemi birim çemberi esas alarak çözmeyi seçmişti. Görselde turuncuyla gösterilen kısımsa y=√1−x2 ile tanımlanan alana karşılık gelmektedir.
Newton, yarıçapı 1 olan bir dairenin alanının π’ye eşit olduğunu biliyordu. Dolayısıyla yukarıdaki daire için eğer x=1 olsaydı çeyrek dairenin alanının π/4 olacağını da biliyordu. Fakat x’in 0 ile 1 arasında alabileceği diğer değerler için dairenin alanının kaç olacağına dair bir fikri yoktu.
İntegralle Alan Hesabından Binom Açılımına
Bu sorunun üstesinden gelmek için Newton’ın x’in her bir değeri için eğrinin altında kalan alanı bulmasını sağlayacak bir yola ihtiyacı vardı. Böylece tıpkı Wallis gibi π’ye yakınsayan harika bir yöntem geliştirebilirdi. Başlangıçta asıl amacı da buydu zaten. Fakat bundan çok daha iyi bir şey bulacaktı. Newton ilk olarak analojiler yoluyla bu problemi çözmeye başladı. Doğrudan dairesel parçanın alanını bulmak yerine aşağıdaki eğrilerle tanımlanan benzer parçaların alanlarını inceledi:
Ünlü fizikçi, yukarıdaki denklemlerden kuvveti tam sayı olanların (y0, y2, y4 ve y6) alanlarını hesaplamanın kolay olduğunu biliyordu. Örneğin y0 ‘ın değeri 1’e eşitti çünkü kuvveti 0’dı. y2, y4 ve y6 içinse integralle alan hesabı yapabilirdi. Örneğin y4‘ü ele alalım. 4 bölü 2’den denklemin kuvveti 2’dir. Bu da bize şu ifadeyi verir:
Bu ifadenin integralini aldığımızda ise aşağıdaki ifadeyi elde ederiz. Ve bu da bize x’in alabileceği değerler için o bölgenin alanın verir.
Daha sonra Newton, bu kuralın aynısını diğer tam sayı kuvvetli eğri denklemleri için de uyguladı. Böylece aşağıdaki eşitlikleri elde etmiş oldu. Burada n bir doğal sayı olmak üzere An eğrilerin altında kalan alanı temsil etmektedir.
Newton, kuvvetleri tam sayı olmayan eğri denklemlerinin alan ifadelerini tam olarak bilemediği için oralara “?” bırakmıştır. Daha sonra bu “?” olan yerleri diğer denklemlerden yola çıkarak bulmuştur. Ve böylece binom kuvvet serilerini keşfetme yolunda büyük bir adım atmıştır.
Denklemlerdeki Gizli Pascal Üçgeni
Newton “?” yerine gelecek ifadeler için x3 ‘lü terimleri inceledi. (A0 ‘ın katsayısı 0/3 olan x3 ‘lü terime sahip olduğunu unutmayalım.) Bu terimlere baktığında katsayıların paylarının 0/3, 1/3, 2/3 ve 3/3 şeklinde ardışık ilerlediğini fark etti. Dolayısıyla örüntünün “?” olan boşluklarda da devam ettiğini düşündü. Buna göre A1, A3 ve A5 ‘in terimleri sırasıyla şu şekildeydi:
Newton işi iyice ilerletmişti ama daha fazlasına ihtiyacı vardı. Bu esnada başka bir şey daha fark etti. Denklemlerin paydaları ardışık tek sayılardan oluşuyordu. Örneğin A6 denklemindeki katsayıların paydaları 1, 3, 5, 7 şeklinde ilerlemektedir.
Artık tek yapması gereken, paylarda bir örüntü bulmaktı. Bunun için A2, A4 ve A6 ‘yı tekrar incelediğinde bir şey fark etti. A2‘de paylar 1,1 ; A4 ‘te 1, 2, 1 ; A6‘daysa 1, 3, 3, 1 şeklindeydi. Ve bu örüntü son derece tanıdık olan Pascal üçgenine aitti. Fakat işin zor kısmı şimdi başlıyordu. Çünkü Newton’ın Pascal üçgenini genişletmesi gerekiyordu. Pascal üçgenini genişletmekten kastımız, tam sayı olmayan kuvvetler için de binom katsayılarını bulmaktır.
Newton ara satırlardaki değerler için m satır numarası olmak üzere aşağıdaki formülü üretti.
Yukarıdaki formülde m=1/2 değerini verdiğimizde -1/8, 1/16, -5/128,… şeklinde ilerleyen değerler elde ederiz. Bunlar A1 denklemindeki binom katsayılarıdır. Dolayısıyla A1 aşağıdaki gibi devam eden bir denklemdir. Bu şekilde devam eden Newton en sonunda x=1 değeri için π/4 sonucunu veren bir toplam elde etti.
Özetle;
Genç fizikçi, hem binom kuvvet serilerini keşfetmiş hem de bu yöntemiyle π sayısının ilk 15 basamağını hesaplamıştı. Fakat Newton’ın hıyarcıklı veba salgınından ötürü karantinada olduğu bu süreçte böylesi bir keşif yapmasından çıkarabileceğimiz dersler var.
Eğer bir problem ilk etapta gözünüze çok zor göründüyse probleme başka bir açıdan bakmayı denemeliyiz. Zira Newton’ın yaptığı da buydu. π için çıktığı yolculukta problemi başka bir alana taşıyıp çözüm üretmeye çalışmıştı.
Yanı sıra genç fizikçinin binom kuvvet serilerini bulması, kalkülüs noktasında da çok işine yarayacaktı. Çünkü serilerle integral alabilir, denklemlerin köklerini bulabilir, sinüs, kosinüs ve logaritma değerlerini hesaplayabilirdi. Dolayısıyla bugün Isaac Newton‘ı sadece fizikçi olarak değil aynı zamanda bir matematikçi olarak tanıyoruz.
Kaynaklar ve İleri Okumalar
- The Discovery That Transformed Pi ; Video Bağlantısı: https://youtu.be/gMlf1ELvRzc
- How Isaac Newton Discovered the Binomial Power Series ; Bağlantı: How Isaac Newton Discovered the Binomial Power Series | Quanta Magazine ; Yayınlanma tarihi: 31 Ağustos 2022
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
