Elinizde bazı sayılarınız var ve bu sayıların değerlerini temsil eden yeni bir sayı üretmek istiyorsunuz. Bu durumda ortalama almak uygun bir yöntem olacaktır. Peki ama hangi ortalama elinizdeki sayıları en iyi temsil edecektir? Aritmetik mi yoksa geometrik mi? Peki ya harmonik ortalama? Okullarda öğrendiğimiz bu formül herhangi bir işe yarar mı?
Popüler inanışın aksine, ortalama aslında matematiksel olarak doğru bir söylem değildir. Ortalama olarak adlandırılan matematiksel bir işlem yoktur. Genellikle ortalama ile kastettiğimiz şey aritmetik ortalamadır. Örneğin bir öğrenci karnesine matematik dersinden kaç geleceğini hesaplamak istiyorsa yapması gereken basitçe sınav notlarını toplaması sonrasında da bu notları girdiği sınavların sayısına bölmesidir.
Bu son derece mantıklı ve basittir. Ancak asıl mantıklı olmayan geometrik ortalamadır? Peki onu ne zaman kullanmalıyız? Üstelik bir de harmonik ortalama vardır. Şimdi size oldukça basit bir soru soralım sonra da sorunun bu harmonik ortalama ile ilişkisini aktaralım. ( Geometrik ortalama hakkında bilgi için de bu yazıya göz atmalısınız. ( Aritmetik Ya da Geometrik: Hangi Ortalamayı Ne Zaman Kullanmalıyız?)
Güneşli güzel bir hafta sonu sabahında, Çokgezenler ailesi Şile’ye doğru günübirlik bir geziye çıkmaya karar verdi. Maalesef pek çok insan aynı fikre sahipti ve Çokgezenler ailesini yoğun bir trafik bekliyordu. Gidişteki hızı ortalama saatte 30 kilometre kadardı. Gün bitip akşam dönüş yoluna çıktıklarında onları daha kötü bir trafik bekliyordu. Bu sefer ortalama hızları saatte 20 kilometre kadar oldu. Peki, yolculuk boyunca ortalama hızları neydi?
Ortalama Hız Nasıl Hesaplanır?
Ortalama hız hesaplamak için çoğu kişinin yaptığı gibi hızı toplayıp 2’ye bölmek size 25 cevabını verir. Bu çok basit cevap maalesef yanlıştır. Tüm yolculuk boyunca ortalama hız aslında 24 km/sa idi. 24 cevabı sizi şaşırttıysa, o zaman insan zihninin sorunları çözerken kandırılabileceği yollardan birini deneyimlediniz demektir. Bir hesaplamanın basit ve tanıdık görünmesi, köşede pusuda bekleyen bir sürpriz olmadığı anlamına gelmez.
Ortalama bir hız bulmanın yolu, toplam mesafeyi almak ve geçen süreye bölmektir. Bu durumda mesafeyi bilmiyoruz, ancak cevap herhangi bir mesafe için aynı çıkacaktır. Diğer bir deyişle çözümde gidilen yolun hiçbir önemi yoktur.
Çokgezenler ailesinin evi ile Şile arasının 60 kilometre olduğunu varsayalım. Bu durumda gidiş yolu 60/30= 2 saat, dönüş yolu ise 60/20=3 saat sürecektir. Bu, tüm yolculuğun ortalama hızının beş saatte 120 kilometre yani saatte 24 kilometre olduğu anlamına gelir.
Çözümün aslında yoldan bağımsız olduğunu söylemiştik. O halde şimdi daha genel bir çözüm yapalım. Evleri ile Şile arasındaki mesafeyi x olarak kabul edelim. Bu durumda gidiş zamanları x/ 30 saat dönüş zamanları da x/20 saat olacaktı. Tüm yolculuk için harcanan x/30 + x/20 = 50x/600 olur. Gidiş dönüş toplam yol 2x kadardır. Şimdi yolu zamana bölerseniz x’ler birbirini götüreceğiniz için sonucunuz yine 24 çıkacaktır.
Harmonik Ortalama Nedir?
Bu ortalama hız, harmonik ortalama olarak bilinir. Harmonik ortalama, gözlem sonuçlarının birim değerlerinin terslerinin aritmetik ortalamasının tersidir. Bu hesaplama biçimi örneğimizde olduğu gibi ortalama hız, verimlilik gibi oranların ortalaması alınması gerektiği zamanlarda işimize yarar. Birim değerleri x1, x2, … , xn gibi gösterilirse harmonik ortalama aşağıdaki gibi olur.
İki hız birbirine nispeten yakın olduğu sürece sonuç basit ortalama hesabına yakın çıkacaktır. İki sayı ekleyerek ve ikiye bölerek hızların ortalaması alınamaz. Bunun nedeni vereceğimiz başka bir örnekle daha net anlaşılacaktır. Şimdi Çokgezenler ailesinin Şile’ye 30 km/sa hızla gittiğini ve gidiş dönüş ortalama hızlarının 15 km/sa olduğunu düşünelim. O zaman geri dönüş hızları ne kadardı?
Hatalı bir düşünüş biçimi (30 + 0) / 2 = 15 çıktığı için sorunun cevabının 0 km/sa olması gerektiğini söyler bize. Bu hesapla Çokgezenler ailesi asla evlerine varamayacaktır diğer bir deyişle. Sorunun cevabını harmonik ortalama ile çözerseniz dönüş hızlarının saatte 10 kilometre olduğunu kolayca bulabilirsiniz. İşlemleri yapmayı bu sefer size bırakalım. Ancak basit bir soruya cevap vermeden önce bir kere daha düşünmenin iyi fikir olduğunu bir kere daha hatırlayalım.
Kaynaklar ve ileri okumalar:
- Eastaway, Robert.; Wyndham, Jeremy. Why Do Buses Come in Threes? : The Hidden Mathematics of Everyday Life
- Why is harmonic mean used for speeds, not arithmetic mean?; https://www.quora.com/
- On Average, You’re Using the Wrong Average: Geometric & Harmonic Means in Data Analysis; yayınlanma tarihi: 28 Ocak 2018; Bağlantı: On Average, You’re Using the Wrong Average: Geometric & Harmonic Means in Data Analysis
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak veya Patreon üzerinden ufak bir bağış yaparak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
