Matematikçiler ve psikologların yolları fazla sık kesişmez. Arada bir kesişse bile bunun Hanoi Kulesi gibi (görünüşte) mütevazı bir bulmaca içermesini beklemezsiniz.
Hanoi kulesi (ayrıca Brahma kulesi veya Lucas kulesi olarak da adlandırılır) 19. yüzyılda Fransız matematikçi Édouard Lucas tarafından icat edildi. Édouard Lucas, Hanoi Kulesi’ni özyinelemeli algoritmaların ve üstel büyümenin nasıl çalıştığını göstermek için tasarlamıştır.
Hanoi Kulesi, basit kurallara sahip olmasına rağmen çözüm stratejisi gerektiren ve her hamlenin dikkatle planlanması gereken bir zeka oyunudur. Başlangıçta diskler, boyutlarına göre büyükten küçüğe doğru sıralanmış halde bir çubukta dizilidir. Amaç, tüm diskleri aynı sırayla başka bir çubuğa taşımaktır. Bu esnada var olan üçüncü çubuk ise, geçici olarak diskleri tutmak için kullanılır.
Amaç, sol tarafta üst üste duran diskleri, her seferinde bir disk hareket ettirmek kaydıyla, sağ tarafa taşımaktır. Bu sırada hiçbir disk, kendinden küçük olanın üstüne konulamaz. Mümkün olan en az hamle sayısıyla oyun tamamlanmalıdır. ve aynı anda sadece bir disk taşınabilir.
Hanoi Kulesi Efsanesi
Bu bulmaca, mistik bir efsaneye de bağlanmıştır. Efsaneye göre, Hindistan’ın Benares (günümüzdeki Varanasi) şehrinde bulunan bir Hindu tapınağı, evrenin yaratıcısı olan tanrı Brahma’ya adanmıştır. Tapınağın içinde, kutsal bir odada, üç elmas çubuk ve çeşitli boyutlarda 64 altın disk bulunmaktadır.
Diskler, en büyüğü altta olacak şekilde bir çubuğa sıralanmış bir kule oluşturur. Tapınaktaki rahipler, Hanoi Kulesi bulmacasının kurallarına uyarak bu 64 diski birinci çubuktan üçüncü çubuğa taşımakla görevlendirilmiştir.
Eğer rahipler her saniyede bir hamle yaparsa, 64 disklik bulmacayı çözmek için gereken minimum hamle sayısı şu formülle hesaplanır: 2n−1 formülü ile hesaplanmalıdır. Burada n, disk sayısını temsil eder. Bu durumda 64 disk için 264−1=18 446 744 073 709 551 hamle yapılmalıdır.
Bu hızla, tüm işlemin tamamlanması yaklaşık 585 milyar yıl sürer. Efsane, rahiplerin bu diskleri zamanın başlangıcından beri taşımakta olduğunu ve görevi tamamladıklarında dünyanın sonunun geleceğini anlatır. Hikaye kurgusal olsa da, Hanoi Kulesi bulmacasını 1883 yılında icat eden Édouard Lucas, bulmacayı daha ilgi çekici hale getirmek için bu efsaneyi yaratmıştır
Hanoi Kulesi Çözümü Nasıl Yapılır?
Bir disk ya da iki disk ile bu oyunu oynamanın anlamı yoktur. Çünkü çok kolaydır. Bir diskte tek hamlede işiniz biter. Sonuçta diski sadece soldan sağa taşırsınız. İki diskli oyunu ise üç hamle ile tamamlamak mümkündür. Oyunda 3 diskten itibaren belli kalıplar ortaya çıkmaya başlayacaktır. Aşağıdaki görselde de görebileceğiniz için elimizde üç diskimiz var ise bu problemi yedi adımda çözebiliriz.
Oyunu gittikçe daha fazla diskle oynadıkça, kalıbı daha net görebilirsiniz. Aslında bu sayede de oynamadan da oyunu tamamlamak için kaç hamle gerekeceğini hesaplayabilirsiniz.
- 1 Disk: Sadece 1 hamlede çözülür.
- 2 Disk: 3 hamle gereklidir.
- 3 Disk: 7 hamle gereklidir.
- n Disk: Minimum hamle sayısı 2n−1 formülüyle hesaplanır.
Bunun Psikoloji İle İlgisi Nedir?
İlk fiziksel Hanoi Kulesi bulmacaları, Avrupa’da popüler hale gelen ahşap oyuncaklar şeklinde üretilmiştir. Günümüzde Hanoi Kulesi, programlama ve matematikte özyinelemeyi, algoritma tasarımını ve problem çözme tekniklerini öğretmek için yaygın olarak kullanılmaktadır. Zamanla, çok çubuklu versiyonlar, renkli diskler ve süre sınırlı meydan okumalar dahil olmak üzere bulmacanın birçok çeşidi ortaya çıkmıştır.
Psikologlar, özellikle hastaların önceden plan yapma ve bir görevi daha küçük parçalara ayırma yeteneklerini değerlendirmek için bir süredir Hanoi Kulesi’ni kullanıyorlar. Sonuçta bu oyunu bir kişiye açıklamak kolaydır. Bir kişinin her bir adımını izleyerek düşünme sürecini gözlemleyebilirsiniz. Ayrıca sadece bir disk ekleyerek ya da oyunun kurallarını revize ederek oyunu zorlaştırmak da mümkündür.
Ancak oyunun tüm potansiyelinden yararlanmak biraz matematiksel uzmanlık gerekecektir. Matematikçilerin psikologlarla olan işbirliği yaptığı noktalardan birisi de bu testtir.
Kaynaklar ve ileri okumalar:
- Tower of Hanoi; Bağlantı: http://mathworld.wolfram.com/
- The Tower of Hanoi. Where maths meets psychology; Yayınlanma tarihi: 16 kasım 2012; Kaynak site: Plus Math. Bağlantı: The Tower of Hanoi: Where maths meets psychology; /
- The Tower of Hanoi; yayınlanma tarihi: 26 kasım 2017; Kaynak site: Scientific American. Bağlantı: The Tower of Hanoi; /
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak, bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
