Okullarda öğretilen matematik çoğu zaman, bir şekilde bir kanıtla gerekçelendirilir. Ancak matematikte doğru gibi görünen ancak hiçbir zaman kanıtlanamamış bir dizi problem vardır. Bunlara matematiksel hipotezler ya da varsayımlar denir. Bunlar, büyük olasılıkla doğru olan ancak henüz kesin bir kanıt bulunamayan ifadelerdir. Mesela, Goldbach hipotezi bunlardan bir tanesidir.
Dağcıların hedefi her zaman daha yüksek zirvelere ulaşmaktır. Matematikçiler için de bu zirve bu kanıtlanamamış varsayımları çözmektir. Bu arayışın arka planındaki itici güç bazı varsayımların önemli sonuçlarının olduğunun bilinmesidir. Ayrıca matematiğin zirvelerini ilk fethedenleri önemli bir şöhret de beklemektedir.
En iyi varsayımlar genellikle Fermat’ın defterin kenarına yazdığı sıradan notu gibi mütevazı kökenlere sahiptir, ancak bunların sonuçları yıllar geçtikçe önem kazanır. Ayrıca sorunun kısa ve öz bir şekilde, tercihen yalnızca birkaç sembol ya da kelime ile ifade edilebilmesi de ilgi çekici bir unsurdur. Ancak hatırlatalım. Fermat’ın yanıltıcı derecede basit gözleminin de gösterdiği gibi, en kısa ifadeler en uzun kanıtları gerektirebilir. Buna bir örnek Goldbach hipotezi olacaktır.
Goldbach Hipotezi Nedir?
Belki de yüzyıllardır matematikçileri hayal kırıklığına uğratan en ünlü matematiksel varsayımlardan biri, Alman matematikçi Christian Goldbach tarafından ünlü İsviçreli matematikçi Leonhard Euler’e 1742 tarihli bir mektupta yer aldı. Goldbach mektupta, ikiden büyük her tam sayının üç asal sayının toplamı olduğunu öne sürecekti. Euler, bunun “2’den büyük her çift tam sayı, iki asal sayının toplamıdır” şeklindeki daha basit ifadeden kaynaklanacağını söyledi.
Günümüzde sayılar teorisi alanındaki en büyük açık problemlerden ikisi ikiz asal sayılar varsayımı ve Goldbach varsayımıdır. İkiz asal sayılar ve Goldbach hipotezinin her ikisi de asal sayılarla ilgili sorulardır. Bu iki varsayım da birbirlerine çok benzerler ama aynı zamanda matematikçilerin kanıtlamayı başardığı her şeyden de farklıdırlar.
Goldbach hipotezi basit bir sorudur ve “2’den büyük her çift tam sayı iki asal sayının toplamı olarak yazılabilir mi?” biçimindedir. Bu soruya evet ya da hayır cevabını vermek için matematikçiler yıllardır uğraşıyorlar. Hemen bir kaç sayı ile deneme yapalım ve ne demek istediğimizi daha iyi açıklayalım.
- 4 = 2 + 2’dir. 2 asal olduğundan 4 sayısı için bu sorunun cevabı “evet”tir.
- 6 = 3 + 3 olur. Burada 3 asal olduğundan 6 için de cevap “evet”tir
- 8 = 3 + 5 ifadesi de doğrudur. Sonucunda 5 de asal olduğundan bu da başka bir “evet” olacaktır.
Denemeye devam ederseniz, 2’den büyük her çift sayının aslında iki asal sayının toplamı olarak yazılabileceğini göreceksiniz. Bu aynı zamanda Christian Goldbach’ın 1742’de vardığı sonuçtur. Ancak sonsuz sayıda olasılık vardır, dolayısıyla bu yaklaşımla asla varsayımı kanıtlayamayız.
1938’de Nils Pipping, Goldbach hipotezinin 100.000’e kadar (100.000 dahil) çift sayılar için doğru olduğunu gösterdi. Ancak o zamanlar bilgisayarlar hayatımızda yoktu. Sonrasında devasa büyüklükte çift sayılar için hipotezin doğruluğu gösterildi. Ancak şimdiye kadar hiç kimse bunun 2’den büyük tüm çift sayılar için geçerli olduğunu kanıtlayamadı.
Goldbach Hipotezinin İspatı Nedir?
Aslında sorunun sorulmasından bu yana yaklaşık 300 yıl geçmesine rağmen tam olarak bilemiyoruz. Bir mektupla başlayan bu serüven hala gizemini koruyor.
Goldbach hipotezinin ispatı iki farklı biçimde yapılacaktır. Ya iki asalın toplamı olarak yazılamayan bir çift sayı keşfedilecektir ya da birisi neden her çift sayının bu şekilde temsil edilebileceğini kanıtlayacaktır. Pek çok parlak matematikçi bunu kanıtlamayı denedi ve başaramadı. Eğer bir kanıt bulunursa, bu muhtemelen tamamen yeni bir fikir veya yaklaşımı içerecektir.
Aslında belki de olaya bakış açımız yanlıştır. Her matematiksel ifadeyi kanıtlamak mümkün müdür? Alman matematikçi David Hilbert buna inanıyordu. Bu nedenle 1928’de herhangi bir varsayımın geçerliliğini veya aksini kanıtlayacak bir algoritma talep ederek bir meydan okuma ortaya attı. Ancak hayal kırıklığına uğraması kaçınılmazdı. Kendisine cevap 1931’de mantıkçı Kurt Gödel tarafından verilecekti. Avusturyalı-Amerikalı mantıkçı, matematikçi Kurt Gödel matematiğin hem tutarlı hem de eksiksiz olamayacağını meşhur eksiklik teoremi ile gösterecekti.
Sonuç Olarak
Neyse ki Goldbach’ın varsayımının matematiğin olağan aksiyomlarına dayanarak kanıtlanamayacağını ileri sürmek için sağlam bir neden yoktur. Ayrıca varsayımın kanıtlanamaz olduğunu varsayalım. Bu durumda iki asal sayının toplamı olmayan bir çift sayı bulmuş olmamız gerekecektir. Bu durumda bir miktar araştırarak bunu doğrulayabilir ve varsayımın “yanlış olduğunun kanıtlanabilir” olduğunu söyleyebiliriz. Ancak bu durumda kabulümüz ile çelişmiş oluruz.
Bu çelişki bizi bir sonuca zorlar. Goldbach’ın varsayımı kanıtlanamıyorsa, doğru olmalıdır! Yazımızın devamında diğer çözülememiş problemlere göz atmak isterseniz: Henüz Kimsenin Çözemediği 10 Matematik Problemi
Kaynaklar ve İleri Okumalar
- The Subtle Art of the Mathematical Conjecture. yayınlanma tarihi: 7 Mayıs 2019. Kaynak site: Quanta Magazine. Bağlantı: The Subtle Art of the Mathematical Conjecture
- Mathematical mysteries: the Goldbach conjecture. Yayınlanma tarihi: 1 Mayıs 1997. Kaynak site: Plus Math. Bağlantı: Mathematical mysteries: the Goldbach conjecture
- Goldbach’s conjecture: if it’s unprovable, it must be true. Yayınlanma tarihi: 4 Mayıs 2021. Bağlantı: Goldbach’s conjecture: if it’s unprovable, it must be true
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak veya Patreon üzerinden ufak bir bağış yaparak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
