Kurt Gödel, tüm zamanların en önemli mantıkçılarından biri kabul edilir. Matematikte kanıtlanamazlık üzerine ortaya koyduğu eksiklik teoremi, 20. yüzyılın en büyük bilimsel başarılarından biridir.
Ondan önce birçok matematikçi, tüm matematiksel doğruların aksiyom adı verilen temel ilkelerden türetilebileceğini düşünüyordu. Matematiği, her sonucun belirli kurallardan çıkarılabildiği kapalı ve eksiksiz bir sistem olarak görüyorlardı. Gödel ise bunun mümkün olmadığını gösterdi.
1931’de Gödel, matematikte dönüm noktası sayılan bir makale yayımladı. Bu çalışmada, en azından temel aritmetiği içeren her matematiksel sistemde, sistemin kendi aksiyomlarıyla kanıtlanamayan ifadelerin kurulabileceğini gösterdi. Yani hiçbir matematiksel sistem, tüm doğruları kendi içinde kanıtlayacak biçimde tamamlanamazdı.
Eksiklik teoremi, matematiğin temellerine yönelik çalışmaları kökten değiştirdi. Ayrıca bilgisayar bilimi açısından da büyük önem taşıdı. Çünkü kodlama dilleri gibi bütün biçimsel sistemlerin neleri başarabilecekleri konusunda sınırları bulunduğunu gösterdi. Bu teorem, birazdan gelecek bilmecenin de merkezinde yer alıyor.
Gödel’in Mantık Bulmacasını Çözebilir misiniz?
Tümdengelim Okyanusu’nda “If” adlı mantıksal bir ada bulunur. Bu adada doğan insanlar iki kabileden birine aittir: Alethianlar ve Pseudianlar. Bu iki grubu ayırt etmenin tek yolu onlarla konuşmaktır. Alethianlar her durumda doğruyu söyler. Pseudianlar ise ne söylerlerse söylesinler hep yalan söyler.
Adanın merkezinde, Alethianların lideri Kimlik Defteri’ni tutar. Bu defterde adada doğan herkesin adı ve hangi kabileye ait olduğu yazılıdır. Defterdeki bilgiler doğrudur ve isteyen herkes bu bilgilere erişebilir.
Bir gün cesur bir kaşif bu adaya gelir. Karşılaştığı insanlara akıllıca sorular sorarak onların Alethian mı yoksa Pseudian mı olduğunu belirler.
Birkaç başarılı karşılaşmadan sonra Kurt adında bir adamla tanışır. Kaşif onun hangi kabileye ait olduğunu bilmez. Ancak ona soru sormaya fırsat bulamadan Kurt şöyle der:
“Benim Alethian olduğumu kesin olarak kanıtlayacak bir delile asla sahip olamayacaksın.”
- Kurt bir Alethian mı, bir Pseudian mı, yoksa hiçbiri mi?
- Bu durum Gödel’in eksiklik teoremiyle nasıl ilişkilendirilebilir?
Mantık Bulmacasının Cevabı
Kurt hiçbirine ait değildir. Eğer Kurt bir Pseudian olsaydı, söylediği “Benim Alethian olduğumu kesin olarak kanıtlayacak bir delile asla sahip olamayacaksın” ifadesi doğru olurdu. Ancak Pseudianlar asla doğru söylemez. Bu nedenle Kurt Pseudian olamaz.
Eğer Kurt bir Alethian olsaydı, söylediği her şey doğru olurdu. Bu durumda aynı ifade de doğru olmalıydı. Oysa bu ifade yanlıştır. Çünkü kaşif Kimlik Defteri’ne gidip Kurt’un adını kontrol ederek onun Alethian olduğunu doğrulayabilir. Bu nedenle Kurt Alethian da olamaz. Sonuç olarak Kurt, If adasında doğmuş biri değildir.
Bu Bulmacanın Gödel’in Eksiklik Teoremi İle Nasıl Bir İlişkisi Var?
Gödel’in eksiklik teoremi, doğru olduğu halde kanıtlanamayan ifadelerin var olduğunu söyler. Bu bulmaca da buna benzer bir durumu gösterir.
Şöyle düşünelim: Kaşif, adaya dışarıdan gelen ilk kişidir. Bu yüzden adadaki herkes ya Alethian ya da Pseudian’dır ve kaşif bunu bilir. Ayrıca Kurt konuşur konuşmaz Kimlik Defteri’nin yok olduğunu varsayalım. Böylece Kurt’un kimliğini dışarıdan doğrulama imkânı ortadan kalkar.
Önceki akıl yürütmeye göre Kurt Pseudian olamaz. Çünkü bir Pseudian bu cümleyi söyleyemez. O halde Kurt Alethian olmalıdır. Bu da onun söylediği sözün doğru olduğu anlamına gelir.
Ancak burada ikinci bir sorun ortaya çıkar. Kaşif, Kurt’un söylediği sözün doğru olduğunu da hiçbir zaman kesin biçimde kanıtlayamaz. Çünkü böyle bir kanıt elde ederse, bu aynı zamanda Kurt’un Alethian olduğunu kanıtlar. Bu ise Kurt’un söylediği şeyle çelişir. Dolayısıyla ifade doğru olsa bile, doğruluğu kanıtlanamaz.
Bu durum Gödel’in ortaya koyduğu fikre karşılık gelir. “Bu cümle kanıtlanamaz” türünden ifadeler hem doğru hem de sistem içinde kanıtlanamazdır.
Özetle, If adasında Kimlik Defteri varken her şey doğrulanabilir. Ancak defter ortadan kalktığında, doğru olduğu halde kanıtlanamayan ifadeler ortaya çıkar. Matematik de buna benzer. Doğru olan her şeyin kanıtlanabildiği kapalı bir sistem değildir. Bazı doğrular vardır ki, sistem içinde kanıtlanamaz.
Sonuç Olarak
Gödel’in makalesi yayımlandıktan sonra, bu sonucun ne anlama geldiği tartışılmaya başlandı. Bu tartışmaya katılanlardan biri de Alan Turing’di. Gödel’in fikirlerini daha somut hale getirmeye çalışırken, bilgisayarların kuramsal temeli sayılan Turing makinesi fikrine ulaştı.
Bilgisayarı kurallarla işleyen bir sistem olarak düşünürsek, eksiklik teoremi şunu gösterir: Her zaman çözülemeyecek problemler vardır. Turing de bunu şu şekilde ifade etti: Bir program ya sonlu adımlarda biter ya da sonsuza kadar sürer. Ancak yalnızca programa bakarak bunu her zaman anlayamayız.
Bu durum, insan zihniyle ilgili yeni sorular doğurdu. Zihin de bir tür mantıksal sistem gibi çalışıyorsa, aynı sınırlamalar bizim için de geçerli midir? Yoksa insan düşüncesi bundan daha fazlasını mı içerir? Gödel bu sorularla hayatının sonuna kadar uğraştı, ancak kesin bir sonuca ulaşamadı.
Kaynak ve ileri okumalar: Can you solve it? Gödel’s incompleteness theorem. Yayınlanma tarihi: 10 Haziran 2022; Bağlantı: https://www.theguardian.com/
Matematiksel
