Johann Carl Friedrich Gauss (1777–1855) bizlere matematiksel başarılarla dolu bir ömür sürdü. Ancak övgüyü hak eden tüm başarılarına rağmen ölümünün ardından mezar taşına “düzgün bir onyedigen” kazınmasını istedi.
Antik Yunanlılar geometri ustaları idi ve özellikle bir pergel ve cetvelle oluşturulan yapılara özel bir önem vermişlerdi. Ancak o dönemde kullanılan her iki aletin üzerinde herhangi bir işaret yoktu. Yani cetvel bir uzunluğu ölçmeye değil yalnızca düz bir çizgi çizmeye yarıyordu. Benzer biçimde bir pergel ile de yapabileceğiniz tek şey, merkezi verilen ve belli bir yarıçapa sahip çember çizmekti.
O dönemin matematikçilerinin amacı elbette matematiği zorlaştırmak değildi. Aslında bir geleneği devam ettirmeye çalışıyorlardı. Çünkü pergel ve cetvelle şekiller oluşturma oyunu, şimdiye kadar yazılmış en önemli ders kitaplarından biri olan Öklid’in Elemanlar kitabında yer alıyordu.
Neden Matematikçiler 2000 Yıl Boyunca Belli Geometrik Şekilleri Çizmek İçin Uğraştılar?
Geometrik nesnelerin varlığını yalnızca iddia etmek yerine, Öklid bunları açıkça en basit bileşenlerden, yani çizgiler ve dairelerden inşa etmek istemişti. Pergel ve cetvelle herhangi bir üçgeni oluşturmak kolaydır. Sonucunda yapmanız gereken tek şey bir sayfanın üzerine üç tane rastgele nokta koymak ve daha sonra bu noktaları çizgiler ile birleştirmek olacaktır.
Ancak mükemmel simetrik şekiller çizmek isterseniz durum değişir. Düzgün çokgenler, tüm kenarlarının eşit uzunlukta ve tüm açılarının eşit ölçüde olması açısından en fazla simetriye sahip şekillerdir.
Öklid, üç, dört ve beş kenarlı düzenli çokgenlerin -veya sırasıyla eşkenar üçgenler, kareler ve düzenli beşgenlerin- nasıl çizileceğini kitabında göstermişti. Daha sonrasında da bu temel yapılardan birkaç genelleme çıkarmıştı.
Detaylarını açıklamasa da düzgün bir çokgenin kenar sayısını iki katına çıkartmanız durumunda, ortaya çıkan şeklin yeni bir düzgün çokgen olduğunu da yazmıştı. Bu, üç, dört ve beş kenarlı düzgün çokgenlerin altı, sekiz ve 10 kenarlı düzenli çokgenlere ve ayrıca 12, 16 ve 20 kenarlı çokgenlere dönüştürülebileceği anlamına geliyordu.
Öklid üç ve beş kenarlı düzenli çokgenler ile 15 kenarlı bir çokgenin nasıl üretileceğini de göstermiştir. Ancak ilerleme burada durmuştu. Öklid, prensipte düzenli 3.072-geni inşa etmenin mümkün olduğunu söylüyordu (bir üçgeni 10 kez iki katına çıkardık). Ancak düzenli bir 7-genin veya 11-genin nasıl inşa edileceği hakkında hiçbir fikri yoktu.
Bu durumda “Hangi düzgün çokgen cetvel ve pergel ile çizilebilir?”. Bu soru, iki bin yıl boyunca cevapsız kalacaktı. Aslında uzun süre cevapsız kalması da matematik dünyası için bir şanstı. Çünkü bu sayede Carl Friedrich Gauss ile tanışacaktı.
Gauss Onyedigen İle İlgili Sorunu Nasıl Çözdü?
30 Mart 1795 sabahı, henüz 18 yaşında olan Gauss,yataktan düzgün bir onyedigeninin nasıl çizileceğini bularak kalkmıştı. O kadar heyecanlanmıştı ki bu bulgusunu hemen günlüğüne yazdı. Kendisi bu buluşuyla profesyonel matematikçi olmaya da karar vermişti. Üstelik bu sonuca hiç düzgün onyedigen çizmeden ulaşmıştı. Buna ihtiyacı yoktu.
Bu büyük başarısının ardından Gauss düzgün onyedigen çizme yöntemini bir kurama dönüştürdü. Tahmin edeceğiniz gibi ortaya koyduğu kuramı, bir kaç paragraf ile bir yazıda anlatmak olası değildir. Eğer iş zaten bu kadar kolay olsaydı, bu soru 2000 yıl boyunca çözümsüz kalmazdı. Ancak yine de Gauss’un yaptığı şeyi anlamaya çalışabiliriz.
Antik Yunanlıların geometrik şekilleri çizmek için kullandıkları ilkel araçlar, modern cebirin doğal işlemleriyle yani toplama (+), çıkarma (–), çarpma (x), bölme (/) ve karekök alma (√) ile mükemmel bir şekilde uyuşmaktadır. Bunun nedeni, doğrular ve daireler için denklemlerin yalnızca bu beş işlemi kullanmasıdır.
Ancak işler bazı düzgün çokgenlerin çiziminde karışacaktır. Örneğin düzgün yedigen ve onbirgen çiziminde sorun çıkacaktır. Bunun nedeni pi (π) ya da 2’nin küp kökü gibi bazı sayıların toplama, çıkarma, çarpma, bölme veya karekök işlemleriyle ifade edilememesidir.
Gauss’un yaptığı hesaplamalara göre cos(2π/n) uzunluğu çizilebilirse düzgün bir n-gen çizmek mümkün oluyordu. Bu durumda cos (2π ⁄17) çizilebilirse düzgün bir onyedigen de çizmek mümkün oluyordu. Aşağıda Gauss’un karmaşık sayılar aracılığı ile ulaştığı sonucu görüyorsunuz.
İfade oldukça karışık gibi gözükse de bu ifade sadece tamsayılara ve toplama, çıkarma, çarpma, bölme, karekök alma gibi temel işlemlere bağlıdır. Bu nedenle de cos (2π ⁄17) çizilebilir. Bu da bize düzgün bir onyedigenin sadece cetvel ve pergel yardımı ile çizilebileceğini gösterir.
Sonuç olarak
Gauss binlerce yıllık problemi çözmekten büyük gurur duymuştu. İddiaya göre bir arkadaşına mezar taşında düzenli bir onyedigen olmasını istediğini söylemişti. Ne yazık ki onun bu isteği gerçekleşmedi. Ancak Gauss’un doğum yeri olan Almanya’nın Brunswick kentindeki bir anıtın arkasında 17 köşeli bir yıldız yer alıyor.
Kaynaklar ve ileri okumalar
- Why This Great Mathematician Wanted a Heptadecagon on His Tombstone. Yayınlanma tarihi: 12 Eylül 2024. Kaynak site: Bağlantı: Why This Great Mathematician Wanted a Heptadecagon on His Tombstone
- Why are Most Polygons Impossible to Construct? Kaynak site: Youtube. Bağlantı: Why are Most Polygons Impossible to Construct?
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
