Matematik çoğu zaman kalıpları incelemekle ilgilidir ve insanlar, bir yerde düzenli bir kalıp gördüklerinde, bunun ardında gizemli bir anlam olduğuna kolayca ikna olurlar. Bu duruma verilebilecek en iyi örneklerden biri, altın oran ve onunla bir şekilde bağlantılı olan Fibonacci dizisidir.
Altın oranla ilgili anlatılan birçok hikâye vardır. Mistik bir hava taşıdığı için bu tür hikâyeler ilgi çekicidir, ancak gerçekte doğru değildir. Benzer şekilde, Fibonacci dizisiyle ilgili duyduğunuz birçok bilgi de gerçeği yansıtmaz.
Bir doğru parçasını iki parçaya böldüğünüzü hayal edin. Bu parçaları A (büyük parça) ve B (küçük parça) olarak adlandıralım. Eğer bu iki parçanın toplamının büyük parçaya oranı, büyük parçanın küçük parçaya oranına eşit olursa, Altın Oran’ı elde etmiş olursunuz. Matematiksel olarak bu oran şu şekilde ifade edilmektedir.
Bu denklem çözüldüğünde, Altın Oran yaklaşık 1.6180339887498… olarak bulunur ve Yunanca phi (φ) harfi ile gösterilir. Altın Oran’ın değeri yaklaşık 1.618 olsa da, bu sayı 1.5’a oldukça yakındır. İnsan zihni, genellikle 1.5 civarındaki oranları Altın Oran’a benzetme eğiliminde olduğu için, onu doğada ve sanatta her yerde gördüğümüzü düşünebiliriz. Ancak bu, büyük ölçüde bir algı yanılgısıdır.
İlk olarak Öklid tarafından hesaplanan bu oran, 1509 yılında İtalyan matematikçi Luca Pacioli’nin kaleme aldığı ve estetik özelliklerini abartılı bir şekilde övdüğü kitap sayesinde popülerlik kazanmıştır. Rivayete göre, bu kitap için 60 çizim yapan Leonardo da Vinci, altın oranı Mona Lisa’nın yüz hatlarının boyutlarına da uygulamıştır. Bazı iddialara göre, bu tercih Mona Lisa’nın güzelliğinin kaynağıdır.
Fibonacci Dizisi Nedir?
Doğada altın oranın varlığına dair ilk ipuçları, başka bir İtalyan olan Fibonacci’nin tavşanların üreme şeklini incelemesi sırasında ortaya çıktı. Yaygın bir varsayıma göre, her tavşan çifti her ay yeni bir çift tavşan doğuruyordu.
Başlangıçta yalnızca bir tavşan çiftiyle başlanırsa, tavşan nüfusu sırasıyla 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256 şeklinde artacak ve her ay nüfus iki katına çıkacaktı. Ancak Fibonacci’nin asıl gözlemlediği şey, tavşanların ilk döngüyü cinsel olgunluğa ulaşarak geçirdiği ve ancak bundan sonra üremeye başladığıydı.
Bu durumda, tek bir tavşan çiftiyle başlayan nüfus artışı çok daha yavaş bir ilerleyiş gösterir: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34… Bu, Fibonacci’nin adıyla anılan ünlü dizidir. Dikkat ederseniz, her yeni nüfus değeri kendisinden önce gelen iki nüfusun toplamına eşittir.
Peki, tüm bu üretken tavşanlar arasında phi nasıl ortaya çıkıyor? Dizide ilerledikçe, her sayının bir öncekinden yaklaşık 1,6 kat daha büyük olduğunu görürsünüz. Aslında bu büyüme oranı, giderek 1,618… değerine, yani altın orana, daha da yaklaşır. Örneğin, 21 sayısı 13’ün yaklaşık 1,615 katıdır; 34 ise 21’in yaklaşık 1,619 katıdır. Bu da demektir ki tavşanlar zamanla, başlangıçtaki iki katına çıkma oranı yerine, altın orana giderek yaklaşan bir büyüme oranıyla üremeye devam eder.
Fibonacci Dizisinden Altın Orana Geçiş
Miladi takvimin ilk binyılının sonlarına gelindiğinde, bugün kullandığımız on rakamı (0–9) kullanarak tüm sayıları ifade etme ve temel dört işlemi yapma sistemi geliştirilmişti. Ancak 13. yüzyıla kadar Avrupa’da bu sistemi bilenler genellikle yalnızca akademisyenlerdi. Günlük yaşamda Roma rakamları, parmak hesap yöntemleri veya abaküs kullanılıyordu.
Bu durum, 1202 yılında genç bir İtalyan olan Leonardo Pisano’nun (sonradan Fibonacci) Liber abbaci adlı kitabı yazmasıyla değişmeye başladı. Liber abbaci, modern aritmetik yöntemleri halkın anlayabileceği şekilde sunan Batı’daki ilk kapsamlı kitaptı.
Leonardo, genç yaşta babasıyla birlikte Cezayir’in Bejaïa (eski adıyla Bugia) limanında yaşarken Hindu-Arap sayı sistemiyle tanışmıştı. Sonrasında bu bilgileri derleyerek ve sistemli bir şekilde sunarak, Avrupa’da matematik ve ticaret dünyasının dönüşümüne öncülük etti.
Ne yazık ki Leonardo’nun hayatına dair detaylar son derece kısıtlıdır. Doğum ve ölüm tarihleri, fiziksel görünüşü, evlenip evlenmediği ya da başka hangi işlerle uğraştığına dair kesin bilgiler bulunmamaktadır. Bugün ona ait olduğu düşünülen çizimler ve heykellerin tarihi bir temele dayandığına dair bir kanıt yoktur.
Leonardo’nun eserleri uzun süre unutulmuşken, 18. yüzyılın sonunda İtalyan matematikçi Pietro Cossali, araştırmaları sırasında Summa içindeki bu küçük atıfa rastladı. Böylece Leonardo’nun çalışmalarını yeniden gün yüzüne çıkardı.
Fibonacci’nin Liber Abaci adlı eserinde incelediği matematiksel problemlerden biri, ideal koşullar altında tavşanların ne kadar hızlı çoğalabileceğiyle ilgiliydi. 1877’de Fransız matematikçi Édouard Lucas, tavşan problemini resmen “Fibonacci dizisi” olarak adlandırdı. 1753’te de Robert Simson, ardışık Fibonacci sayıları arasındaki oranın bir sayıya yaklaştığını fark etti. Bu sayede de Fibonacci dizisi matematikçilerin ilgisini daha fazla çekmeye başladı.
Fibonacci Dizisi Doğada Karşımıza Çıkar mı?
Gerçek tavşanlar elbette bu kurala tam anlamıyla uymaz. Çünkü doğada, avcılar tarafından yenilme gibi talihsiz bir eğilimleri vardır. Ancak Fibonacci sayıları doğada oldukça yaygındır. Örneğin, tipik bir çam kozalağında görebileceğiniz spiral sayılarında bu diziyi gözlemleyebilirsiniz.
Bir ananası veya bir çam kozalağını inceleyin. Bu bitkilerde, yukarıdan aşağıya doğru uzanan spiral biçiminde pul sıraları vardır. Spiral sıralarının sayısı ananasta genellikle 8 ve 13’tür. Çam kozalağında ise tipik olarak 13 ve 21 veya 21 ve 34 biçimindedir.
Ayçiçeklerinde, çiçeğin merkezinden dışarıya doğru genişleyen spiraller görebilirsiniz. Bu spirallerin toplam sayısı genellikle saat yönünde ve saat yönünün tersinde sırasıyla 34 ve 55 ya da 55 ve 89 gibi Fibonacci sayılarına karşılık gelir. Benzer şekilde, farklı çiçeklerin taç yapraklarını saydığınızda da 8, 13, 21, 34 ve 55 gibi sayıların diğerlerine kıyasla çok daha sık karşınıza çıktığını fark edersiniz.
Gördüğünüz gibi, Fibonacci dizisi doğada bazı yerlerde karşımıza çıkar. Ancak bu durum, evrenin mimarisini yöneten gizli bir kod olduğu anlamına gelmez. Doğada bazı sayıların diğerlerinden daha sık görülmesi, tahmin edileceği gibi, tesadüfi değildir.
Bitkiler, güneş ışığına ve besin kaynaklarına ulaşabilmek için belirli bir düzen içinde gelişmek zorundadır. Fibonacci dizilimleri de, bu doğal seçilim sürecinin bir sonucudur. Leonardo Pisano’nun mirası, her bir çiçeğin kalbinde de yaşamaya devam ediyor.
Kaynaklar ve ileri okumalar:
- What is the Fibonacci sequence? Kaynak site: Live Science. Yayınlanma tarihi: 1 Mart 2023; Bağlantı: What is the Fibonacci sequence?
- Maths in a minute: the Fibonacci sequence. Kaynak site: Plus math. Yayınlanma tarihi: 1 Mayıs 2020; Bağlantı: Maths in a minute: the Fibonacci sequence./
- Mitchison GJ. Phyllotaxis and the fibonacci series. Science. 1977 Apr 15;196(4287):270-5. doi: 10.1126/science.196.4287.270. PMID: 17756084.
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
