Fermat'ın Son Teoremi Neden Bu Kadar Özeldir?

Matematikteki önemli problemleri çözmeye yönelik ilk çağrı ve yarışmalar on altıncı ve on yedinci yüzyıllara kadar uzanır. Bu problemlerin bazıları modern zamanlara kadar matematikçileri zorlamaya devam etmiştir. Buna bir örnek Fermat’ın Son Teoremi olacaktır.

Pierre-de-Fermat- — Pierre de Fermat “Amatörlerin Prensi” olarak tanınır. Bunun en önemli nedeni, adını günümüze kadar taşıyan Fermat’ın Son Teoremidir. 356 yıl boyunca kimse Fermat’ın eksik kanıtını bulamadı ama kimse onun yanıldığını kanıtlayamadı.

23 Haziran 1993’te matematikçi Andrew Wiles, üç buçuk yüzyıldır çözümsüz bekleyen bir problem olan Fermat’ın son teoreminin çözümünü detaylandıran üç dersin sonuncusunu vermişti. Wiles’ın bu başarısı hem matematik camiasında hem de medyada sansasyon yarattı.

İnsanlığın en zorlu entelektüel problemlerinden biri üzerinde harcadığı onca çabanın ardından, Andrew Wiles bir anda uluslararası bir şöhret haline gelecekti. Matematikçiye başarısının ardından matematiğin Nobel’i olarak kabul edilen 2016 Abel Ödülü verildi.

Andrew Wiles’ın ispatı Annals of Mathematics dergisinde 1995 yılında yayımlandı. Bu başarısının ardında yatan şey çocukluk hayalleri ve bitmek bilmeyen tutkusuydu.

Andrew Wiles, halk kütüphanesi raflarından tesadüfen çekip çıkardığı bir kitaptan Fermat’nın Son Teoremi hakkında bir şeyler öğrendiğinde on yaşındaydı. Ancak oldukça basit göründüğü için hemen çözülecekmiş gibi gözüken bu problemi çözmenin Ay’a roket fırlatmaya çalışmaktan daha kolay olmadığını kısa sürede anlayacaktı.

Son Teorem Denilmesinin Nedeni Nedir?

Wiles’ın tarihte bir yer edinmesine neden olan sorunun öyküsü, 1637’de Pierre de Fermat’ın şaşırtıcı derecede basit bir varsayımda bulunmasıyla başlar. Fermat, bir kitabın sayfa kenarına bir teorem önerisi not etmiş ve ardından da ispatı yazacak yeri olmadığını ama ispatı yaptığını söylemişti.

Matematikçilerin kalbini çalan şey bu iddia ve söz konusu problemin basitliği oldu. Kuşaklar boyunca matematikçiler, ispatı keşfetmek için boşuna uğraştı; bütün ömrünü teoremle boğuşarak geçiren ve eli boş ölüp giden birçok matematikçi de oldu.

Aslında her şey 1650 yılı civarında Fermat’ın Diophantus’un *Arithmetica* adlı kitabının kenarına gizemli bir not düşmesi ile başladı. “… *Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet!”*. Bu şunun gibi bir anlama gelmekteydi. “Teoremin müthiş bir kanıtını buldum fakat burada yazacak kadar yer yok”.

Pierre de Fermat profesyonel bir matematikçi değildi. Günlük işi hukuk danışmanlığıydı. Ama tutkusu matematik özellikle de günümüzde sayılar kuramı adını verdiğimiz tamsayıların özellikleri ile uğraşmaktı. Aslında Fermat kitabın kenarlarına ispatı verilmemiş sayılar kuramı ile ilgili başka sorularda yazmıştı.

Süreç içinde matematikçiler diğer tüm problemleri ispat ettiler. Sonunda geriye doğruluğu ya da yanlışlığı ispatlanamayan son bir teorem kaldı. Bu nedenle doğal olarak bu teorem Fermat’ın son teoremi olarak bilinmeye başlandı.

Teorem, ileri sürülen binlerce yanlış kanıtla birlikte, kanıtlanmasının inanılmaz derecede zor, hatta imkansız olduğu yönünde kısa sürede ün kazandı. Hatta teorem Guinness Dünya Rekorları’na “en zor matematik problemi “olarak da girdi.

Fermat’ın Son Teoremi Nedir?

Fermat’ın son teoremi, herhangi bir dik üçgenin kenarlarının x² + y²= z² denkleminin çözümünü verdiğini belirten Pisagor teoremine benzer. Fermat’ın son teoremi üssün 2’den büyük bir değere değişmesi durumunda ne olacağıyla ilgilidir. x³ + y³ = z³ denkleminin tam sayı çözümleri var mıdır? Peki ya üs 10, 50 ya da 30 milyon olursa ne olur?

Pierre de Fermat cevabın hayır olduğunu iddia etmişti. Yani ona göre n 2’den büyük herhangi bir tam sayı ise, xⁿ + yⁿ = zⁿ denklemini sağlayan sıfırdan başka x, y, z tam sayısı yoktur. Fermat bunu n=3 ve n=4 için kanıtlamıştı. Sonrasında pek çok matematikçi başka üsler için kanıtlar yapmaya devam etti. Matematikçiler, 2’den büyük tüm sayılar için aynı anda işe yarayacak bir kanıt arıyorlardı, ancak yüzyıllar boyunca böyle bir kanıta kimse ulaşamadı.

Eliptik eğriler ne elips ne de eğridir. Eliptik bir eğrinin denklemi y² = x³ + ax + b biçiminde olur ve bunlar kübik denklemlerin çözüm uzaylarıdır.

Ancak 20. yüzyılın sonlarına doğru Fermat’nın son teoreminin doğru olması gerektiğini öne süren çalışmaların sayısı giderek arttı. Bu çalışmanın merkezinde Taniyama-Shimura varsayımı olarak da bilinen modülerlik varsayımı adı verilen bir şey vardı. Modülerlik varsayımı, görünüşte ilgisiz iki matematiksel nesne arasında bir bağlantı önerdi: eliptik eğriler ve modüler formlar. Fermat’ın son teoremi bu sayede çözülecekti.

Modüler form ise, belirli karmaşık sayıları alan ve başka bir karmaşık sayı veren bir tür fonksiyondur. Modüler formlar barındırdıkları simetriler ile matematikçilerin ilgisini çeker. Her türlü problemde ortaya çıkarlar. Sicim teorisi ve kuantum fiziğindeki modelleri incelemek için bile kullanılırlar. Bunlar, Andrew Wiles’ın kanıtında da önemli bir bileşendi.

Fermat’ın Son Teoremi ve Simpsonlar

Günümüzde halen bazı matematikçiler Fermat’ın son teoremi ile oynamayı seviyorlar. Simpsons izlemeyi sevenler aslında bu animasyonun bazı karelerine daha dikkatli bakarlarsa çeşitli yerlere serpiştirilmiş matematik ile karşılaşacaklardır.

Bunun sebebi bu animasyonun yapım ekibinde birçok matematikçinin yer alması ve tutkularını yaptıkları işe aktarmalarıdır. Bunun yanında elbette biraz da kafa karıştırmak istemeleridir. Bunlardan bir kaç tanesi aşağıda gördüğünüz karelerdir. ( Daha fazlası için: Simpsonlar Dizisinden Akılda Kalan Matematik Şakaları)

Bu tahtada yazan işlemin cep telefonlarınızla sağlamasını yapmaya kalkarsanız doğru. Neler oluyor? Andrew yanılıyor mu? Aslında elbette değil bu sadece bir şaşırtmaca. Cep telefonlarımız veya klasik hesap makineleri sadece belli bir basamağa kadar işlem yapabilir. Bir bilgisayar yardımı ile verilen sayıları denerseniz çok yakın olduğunu ama tam olarak sağlamadığını görebilirsiniz.

Herkesin kafasında bir soru var. Fermat bu teoremin ispatını daha kısa biçimde yapabilmiş miydi? İşte bu bir muamma. Fermat’ı biraz daha tanımak isterseniz tarafımızca çevrilen aşağıdaki videoya da göz atabilirsiniz…

Kaynak ve İleri izlemeler:

Fermat’s Last Theorem – Numberphile; https://www.youtube.com
Castelvecchi, D. Fermat’s last theorem earns Andrew Wiles the Abel Prize. Nature 531, 287 (2016). https://doi.org/10.1038/nature.2016.19552
Proving Fermat’s last theorem. 2 mathematicians explain how building bridges within the discipline helped solve a centuries-old mystery. Yayınlanma tarihi: 22 Temmuz 2022. Kaynak site: Conversation. Bağlantı: Proving Fermat’s last theorem. 2 mathematicians explain how building bridges within the discipline helped solve a centuries-old mystery

Size Bir Mesajımız Var!

Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.

Matematiksel

Etiketler