Matematikte en ilgi çeken sayılardan biri pi sayısıdır fakat en az onun kadar önemli bir sabit daha vardır. Bu sabit ise adını fazla kimsenin duymadığı e sayısıdır. Bazı matematikçilerin Euler sayısı olarak da adlandırdığı Euler sabiti 2,718281… olarak başlar ve diğer aşkın sayılar gibi sonsuza kadar devam eder.
Pi Günü’nü kutlamanın gerçek nedeni, tamamen soyut bir konu olan matematiğin evrenimizi çok iyi bir biçimde tanımlıyor olmasıdır. Oysa ki e sayısı da yaşantımızla yakından ilgilidir. Nüfus artışını belirlemede, finansal matematikle uğraştığımız zamanlarda, olasılık ve istatistik hesaplamalarında e sayısı sıkça karşımıza çıkar. Aslında yaşamda değişim ya da büyümeyi içeren bir şey yapmak istediğimizde muhtemelen arka planda bir yerlerde bu sayı gizlidir.
e Sayısı Nedir?
Sayıları çarpıp bölme işlemini toplama çıkarma işlemine dönüştüren ve dolayısıyla işlemlerin çok daha hızlı yapılmasını sağlayan yöntemleri geliştiren ilk kişinin İskoçyalı Baron John Napier (1550-1617) olduğu kabul edilmektedir. Bu işleme logaritma adını takan da Napier’dir.
Napier’in hesaplamalarını tamamlamasının ardından Oxford Üniversitesi’nde matematik profesörü olan Henry Briggs, Napier’in tablolarının önemini fark etti. Devamında matematikçiler bu tabloları daha işlevsel hale getirme yarışına başlayacaklardı. Onun temellerini attığı logaritmaya ise doğal logaritma ya da Napier logaritması dendi. Bugün lnx biçiminde gösterdiğimiz bu logaritma e sayısı ile ilişkilidir.
Onun kaldığı yerden 1600’lerin sonlarında, İsviçreli matematikçi Jacob Bernoulli devam etti. 1683’te bileşik faizle ilgili bir finansal problemi çözerken de e sabitini keşfetti. Bunu elbette kredi kartı borçlarımızın çığ gibi neden büyüdüğünü araştırırken değil, (1+1/n)n limitinin ne olacağı konusunda çalışırken bulmuştu.
Ancak e sayısının ne olduğunu ilk kez düşünen kişi Leonhard Euler oldu. Sayının Euler sabiti olarak anılmasının da nedeni de budur. Gösterimi ilk kez Euler’in 1731’de Goldbach’a yazdığı bir mektupta ortaya çıktı. Euler sonraki yıllarda e sayısı ile ilgili çeşitli keşifler yaptı. Sayıyı 18 ondalık basamağa kadar hesapladı ve konu üzerine ilk çalışmasını 1727 yılında yazdı. Bu hesaplamayı da aşağıda gördüğünüz formül ile gerçekleştirdi.
1873’te Fransız matematikçi Charles Hermite, e’nin cebirsel olmadığını yani aşkın bir sayı olduğunu kanıtladı. Bunun anlamı şuydu. Bir denklemi çözerek bu sayının hesaplanması imkansızdı.
e Sayısı ile Bileşik Faiz Nasıl İlişki İçindedir?
E sayısını anlamak için hepimizin iyi bildiği bir örnekten yola çıkalım. İki tür faiz vardır, basit faiz ve bileşik faiz. Basit faiz yönteminde anapara sabit kalmakta böylece her dönem elde edilen faiz geliri de aynı olmaktadır. Bileşik faiz yönteminde ise her dönem faizi anaparaya eklenecektir. Sonraki dönemler için de faiz artan anapara üzerinden hesaplanır.
Öncelikle 100 liramız olduğunu düşünelim ve %100 faiz oranına sahip bir bankaya 1 yıllığına yatıralım. Yatırdığımız 100 liramız bize 1 yıl sonunda 200 lira olarak geri dönecektir. Şimdi parayı 6 aylığına %50’den faize yatıralım ve 6 ay sonunda elimize geçen paranın tamamını tekrar 6 aylığına %50’den faize yatıralım. Bu durumda 150+75 = 225 liramız olacaktır.
Toplam Para: Yatırılan Para.( 1+1/n)n
Şimdi paramızı 3’er aylık dönemlerde %25 faizle bankaya yatıralım. Benzer hesaplamaları yapacak olursak 100 liramızın 244,141 lira olduğunu görürüz. Eğer bu işi her ay tekrarlarsak 100 liramız 261,304 lira olur. Paramız gittikçe artıyor diye düşünebilirsiniz ama bununda bir sınırı vardır o sınır da e sayısıdır.
Yukarıda örneğini verdiğimiz bileşik faiz hesaplaması üstel büyümeye bir örnektir. Bu tür bir büyüme bir grafik üzerinde çizilir ise bize bir eğri olarak görünecektir. Üstel fonksiyon, y eksenini (0,1)’de kesen ve giderek daha dik hale gelen y = ex eğrisini üretir.
E Sayısı Beklemediğimiz Yerlerde Karşımıza Çıkar
E sayısı elbette sadece para ile ilgili hesaplamalarda karşımıza çıkmaz. Büyüme ile alakalı, nüfus artışından radyoaktif bozulmaya kadar birçok doğal süreci açıklayan hesaplamalarda karşınıza bir biçimde e sayısı çıkacaktır. Euler, borçlarını ödemek için bir piyango yaratmayı planlayan Prusya Kralı Büyük Frederick için 10 sayının düzensizliğini analiz etmişti 10 sayı için Euler, bunun sonucunun 1⁄e olduğunu bulmuştu.
İlginç bir şekilde, bu 1 / e değeri, genellikle “sekreter sorunu” olarak bilinen başka bir alışılmadık durumda ortaya çıkar. Belirli bir iş için çok sayıda aday arasından bir sekreter seçmek istediğinizi ve bunun için mülakat yaptığınızı varsayalım. Doğru karar verebilmek için kaç aday ile mülakat yapmamız gerekir?
Görünüşe göre en iyi strateji ilk 1/e başvuranlarla (toplam başvuru sayısının yaklaşık % 37’si) kadar mülakat yapmaktır. Göz atabilirsiniz: Matematikçiler, Hayatınızın En Önemli Kararları İçin % 37 Kuralını Öneriyorlar
Kaynaklar ve ileri okumalar:
- Joel L. Schiff, The Mathematical Universe: From Pythagoras to Planck; Springer Praxis Books
- Reichert, S. e is everywhere. Nat. Phys. 15, 982 (2019). https://doi.org/10.1038/s41567-019-0655-9
- What’s the Big Deal With Euler’s Number?;Yayınlanma tarihi: 2 mart 2021; Bağlantı: https://www.popularmechanics.com/
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
