Bir sayının ilginç özelliklerini oldukça nesnel bir şekilde belirlemenin bir yolu vardır. Hatta bu sayede doğal sayıları heyecan verici ya da sıkıcı sayılar olarak ikiye de ayırabiliriz.
En sevdiğiniz sayı hangisidir? Birçoğunuzun vereceği cevap, pi sayısı (π), Euler sayısı ( e ) veya 2’nin karekökü gibi irrasyonel bir sayı olacaktır. Ancak kiminizin en sevdiği sayı belki de şanslı olduğunu düşündüğünüz bir sayıdır. Yada pek çok yerde karşımıza çıktığı için yedi sayısını veya Otostopçunun Galaksi Rehberi romanıyla popüler hale gelen 42 sayısını da seviyor olabilirsiniz.
1729 gibi daha büyük bir değere ne dersiniz? Bu sayı size büyük ihtimal ile fazla da heyecan verici gözükmemiştir. Aslında matematikçi Godfrey Harold Hardy 1918’de Londra’da 1729 numaralı bir taksiye bindiğinde de aynı şeyi düşünmüştü. Oysa ki bu sıkıcı taksi numarası hastanede ziyaretine gittiği arkadaşı Srinivasa Ramanujan için çok özel bir sayı idi.
Taksi sayılar ile matematik dünyası G.H. Hardy tarafından anlatılan anekdot ile tanıştı. Anekdot şu şekildeydi: “Bir keresinde Putney’de hasta olduğu zaman (Ramanujan’ı) görmeye gittiğimi anımsıyorum. 1729 numaralı bir taksi ile yolculuk yaptım ve bu sayının bana oldukça sıkıcı geldiğini söyledim. ‘Hayır’ diye yanıtladı, ‘Çok ilginç bir sayı. İki küpün toplamı olarak iki farklı şekilde ifade edilebilen en küçük sayıdır.’ “
Peki, bir şekilde ilginç olmayan herhangi bir sayı var mı? Bu soru aslında bir paradoksa yol açar. Sonuçta ilginç olmayan herhangi bir sayı bu özelliği nedeniyle ilginç olacaktır. Bu durumda her sayının bir ilginçliği var gibi gözüküyor. Peki bunu nesnel olarak belirlemek mümkün mü?
Sıkıcı Sayılar Nelerdir?
Matematikçi Neil Sloane, 1960’larda doktora tezini yazarken 0, 1, 8, 78, 944 … biçiminde devam eden bir sayı dizisiyle karşılaştı. Bu dizideki sayılar arasındaki bağlantıyı bir türlü bulamayınca da meslektaşlarına danışmaya karar verdi. Ancak onlarda daha öncesinden böyle bir dizi ile karşılaşmamışlardı.
Bu olaydan sonra Neil Sloane’nin aklına tüm matematikçilerin işini kolaylaştıracak bir fikir geldi. 10 yıl sonra da Sloane, belirli hesaplamalar yapmakta yararlı olduğu kanıtlanmış yaklaşık 2.400 dizi içeren ilk ansiklopedisi A Handbook of Integer Sequences isimli kitabını yayınladı.
Sonraki yıllarda, Sloane’un sayı dizileri kataloğu daha da büyüdü. 1995 yılında matematikçi, meslektaşı Simon Plouffe ile birlikte yaklaşık 5.500 sayı dizisi içeren The Encyclopedia of Integer Sequences yayınlanacaktı.Aslına bakarsanız o gün bugündür liste büyüyor.
Günümüzde Çevrimiçi Tamsayı Dizileri Ansiklopedisi (OEIS) 360.000’den fazla öğe içeriyordu. Aklınıza takılan herhangi bir sayı dizisi var ise açılan sayfaya sayıları yazıp, nerelerde karşınıza çıktığını öğrenebilirsiniz.
Aslına bakarsanız OEIS, web’deki en iyi bilinen matematiksel veritabanlarından biridir. Matematikçiler ve bilim insanları OEIS’i her zaman kullanırlar. OEIS’in en büyük güçlerinden biri, profesyonelleri ve amatörleri bir araya getirmesidir.
Bu sayı dizileri içinde bazı sayılar karşımıza daha çok, bazıları da daha az çıkar. Bir sayı bir listede ne kadar çok belirirse o sayı o kadar da ilginç olur. Sonucunda pi sayısını, e sayısını ve benzer sayıları ilginç bulmamız da bu nedenledir.
Mesela Hardy, 1729 sayısının sıkıcı olduğunu söylerken yanılıyordu. 1.729 sayısı bu veritabanında 918 kez yer almaktadır. Bu da oldukça ilginç olduğu anlamına gelir. Peki gerçekten sıkıcı bir sayı var mıdır? Diğer bir deyişle OEIS kataloğunda en nadir gözüken sayı hangisidir?
Cevap şu an için 20.067 gibi gözüküyor. Aynı zamanda 20.068 de karşımıza 6 kez çıkıyor. ( Veri tabanını bir sayı dizisinin yalnızca ilk 180 karakterini depolar. Yoksa er ya da geç bütün sayılar karşımıza bir biçimde çıkardı).
Sıkıcı Ve Sıkıcı Olmayan Sayıları Nasıl Bulabiliriz?
Elbette evrensel sıkıcı sayılar yasası yoktur ve 20.067’nin durumu değişebilir. Belki de bu makalenin yazılması sırasında, içinde 20.067’nin geçtiği yeni bir dizi keşfedildi. Bununla birlikte, belirli bir sayı için OEIS kayıtları, o sayının ne kadar ilginç olduğunun bir ölçüsünü bize verecektir.
Sonuçta sıkıcı sayılar matematikçi Philippe Guglielmetti’nin dikkatini çekmişti. Sonrasında da Guglielmetti bütün sıkıcı sayıları bir grafikte göstermeye karar verdi. Ortaya yukarıda gördüğünüz eğri çıktı. Eğrinin üstünde ise asal sayılar, 2’nin, 3’ün 5’in katları gibi sayılar yer alıyor. Bunlar bizim bir biçimde ilginç bulduğumuz sayılar.
Altında ise herhangi bir bilindik özelliğe sahip olmayanlar var. Ancak sizin de fark ettiğiniz gibi iki grup arasında bir boşluk var. Mavi renk ile gösterilen boşluk, herhangi bir doğal sayının OEIS veritabanında nadiren göründüğü anlamına geliyor.
Bu grafiği elde eden Guglielmetti, sonuçları yorumlaması için Fransa’daki Lille Üniversitesi’nden matematikçi Jean-Paul Delahaye’ye ulaşacaktı. O da kendi çevresindeki matematikçilere durumu aktardı. Daha sonra matematikçiler konuyu algoritmik bilgi teorisi kapsamında incelemeye başladılar.
Her gün internet üzerinden bilgi gönderiyoruz. İster bir doğum günü mesajı, ister ev ödeviniz olsun, tüm bu bilgiler 0’lar ve 1’ler halinde kodlanıyor. Peki, bunu yapmanın en iyi ve en verimli yolu nedir? Diğer bir deyişle en az miktarda 0 ve 1 kullanarak bir bilgiyi nasıl iletebiliriz? Adı Claude Shannon ile hatırlanan bilgi teorisi temelinde bu gibi sorulara cevap bulmaya çalışır.
Üç matematikçi, boşluğun belirli sayılara yönelik tercihler gibi sosyal faktörlerden kaynaklandığını öne sürdü. Bunu doğrulamak için Monte Carlo simülasyonu kullandılar. Elde ettikleri sonuç yukarıdaki grafiğe benziyordu. Ancak arada bir boşluk oluşmamıştı.
Boşluk Neden Oluşuyor?
Bunun üzerine matematikçiler sayıların hangi aralığa düştüğüne bakmaya karar verdiler. Grafiğe tekrar bakarsanız 300’e kadar sayılarda boşluğun belirgin olmadığını göreceksiniz. Ancak sayılar büyüdükçe boşluğun büyüdüğünü de fark edeceksiniz.
300 ile 10.000 arasındaki tüm sayıların yaklaşık yüzde 18’i “ilginç” kalan yüzde 82’si ise “sıkıcı” sayılardır. İlginç tarafta, tüm kare sayıların yaklaşık yüzde 95,2’si, asal sayıların yüzde 99,7’si ve ayrıca birçok asal çarpanı olan sayının yüzde 39’u yer alır.
Bilgi teorisine göre, özellikle ilgi çekici olması gereken sayılar, karmaşıklığı düşük, yani ifade edilmesi kolay olanlardır. Ancak matematikçiler, belirli değerler aynı karmaşıklığa sahip olsa da birinin diğerinden daha heyecan verici olduğunu düşünebilirler.
Örneğin: 2n + 1 ve 2n + 2, bilgi teorisi açısından eşit derecede karmaşıktır. Bu nedenle aynı bölgede yer almalıdır. Ancak 2n + 1 asal sayıları temsil ettiği için bir çok yerde karşımıza çıkar. ve bu sayıyı ilginç buluruz. Oysa 2n + 2 için herhangi bir tanımlama mevcut değildir. Bu da aradaki boşluğun oluşmasına neden olacaktır.
Gördüğünüz gibi ilginç ve sıkıcı sayıları ayırmada da, insan psikolojisi bir biçimde işin içine karışıyor. Bu boşluk belirli sayılara önem vermek gibi yaptığımız yargılardan kaynaklanıyor gibi görünüyor. Sonuç olarak biri size en sevdiğiniz sayıyı sorarsa 20.067 diyebilirsiniz. Emin olun bu en sıkıcı sayı oldukça ilginç bir tercih olacaktır.
Kaynaklar ve ileri okumalar
- The Most Boring Number in the World Is …. Yayınlanma tarihi: 3 Mart 2023; Bağlantı: https://www.scientificamerican.com/
- Neil Sloane: the man who loved only integer sequences. Yayınlanma tarihi: 7 Ekim 2014; Bağlantı: https://www.theguardian.com
Matematiksel
