Herkes düğümün ne olduğunu bilir. Ancak düğümlerin matematik ve bilimde özel bir önemi vardır. Çünkü özellikleri, DNA’nın biyokimyası, yeni malzemelerin sentezi ve üç boyutlu uzayların geometrisi kadar geniş bir yelpazede yer alan konularda saklı sırların açığa çıkmasına yardımcı olmaktadır. Tüm bunlar düğüm teorisi kapsamında ele alınır.
İki ucu serbest olan bir ipi alıp, uçları bir düğüm ile birleştirirseniz, bu düğüm kolayca çözülecektir. Düğüm çözülme sürecini engellemek için bir şey yapmamız gerekir. Bunu yapmanın bir yolu ipin ucunu birbirine yapıştırmaktır. Bu noktadan sonra da soru şu olacaktır. Bu düğümü bir şekilde manipüle ederek, ipi de kesmeden ilmekteki düğümü bir şekilde çözebilir miyiz? İşte bu sorunun cevabı bizi matematiksel düğümlere götürür.
Düğüm Teorisi Nedir?
Topolojide, düğüm teorisi matematiksel düğümlerin çalışmasıdır. Genel olarak iki konu ile ilgilidir. İlki iki düğümün topolojik olarak aynı olup olmadığıdır. Yani iki düğümü sürekli bir dönüşümle diğeri ile aynı hale getirip getiremeyeceğimizi çözmeye çalışır. İkinci uğraşı alanı ise düğümlerin sınıflandırılmasıdır. Düğümler aşina olduğumuz şekillerdir bu nedenle bize basit görünebilirler. Bununla birlikte binlerce tip düğüm vardır. Bu düğümleri birbirinden ayırt edecek biçimde sınıflandırmak ise topolojinin işidir.
Düğümleri Matematiksel Olarak İncelemeye Nasıl Başladık?
Bilim insanlarının elektron mikroskobunun olmadığı, yıllarda William Thomson (biz onu Lord Kelvin olarak tanıyoruz) tarafından önerilen önde gelen teorilerden biri, atomların eterde dönen girdap düğümleri olmasıydı.
W. Thomson’ın meslektaşı ve arkadaşı İskoç matematikçi Peter Guthrie Tait, girdap atom teorisinden etkilendi. Sonrasında çeşitli unsurları sistematik hale getirme umuduyla düğümler üzerine öncü bir çalışma yaptı. Devamında fizikçiler ve matematikçiler, elementlerin bir tablosunu oluşturduklarına inanarak, farklı düğümlerden oluşan bir tablo oluşturmaya başladılar.
Sonrasında matematikçi ve fizikçi Joseph John Thomson, 1883 yılında tamamladığı yüksek lisans tezinde, girdap halkalarının hareketini matematiksel olarak tanımladı. Girdap atom teorisi yanlış olmasına rağmen, T&T ve Thomson’ın bu çalışmaları bugün Düğüm Teorisi (Knott Theory) adı verilen topoloji dalını başlattı.
1887’de Michelson-Morley deneyi böyle bir eterin olmadığını gösterdi. Sonucunda da fizikçiler ve kimyagerler düğümlere olan ilgilerini kaybettiler. Ama matematikçiler için artık çok geçti. Alanın güzelliğine ve bunun doğurduğu matematiğe bağlandılar. Sonrasında da düğümlerin teorik yönleri geliştirilmeye devam ettiler.
Düğüm teorisi, düğümler hakkındaki bilgileri, bir düğümü diğerinden ayırt edebilen cebirsel ifadelere kodlamaya çalışır. Uzmanlar, bazı düğümleri diğerlerinden ayırt edecek ifadeler geliştirmiş olsa da, her düğümü benzersiz bir şekilde tanımlayabilen bir formül hala tam olarak yoktur.
Düğüm teorisinde düğümler biri diğerine benzeyecek şekilde yeniden düzenlenebiliyorsa, bunların eşdeğer olduğunu kabul ederiz. Yukarıda üç farklı tip düğüm görüyorsunuz. Bu üç düğüm de matematiksel olarak eşdeğer değildir. Başka bir deyişle, bu üçünden hiçbiri diğerlerine benzeyecek şekilde yeniden düzenlenemez.
Düğüm Teorisi Nerelerde Karşımıza Çıkar?
James Watson ve Francis Crick 1956’da hayatın sırrını, genetik bilgilerin depolanıp kullanıldığı temeli, DNA molekülünün çift sarmal yapısını keşfetti. Yaşayan bir canlının gelişmesini genetik harita kontrol ettiği için, düğüm teorisi günümüzde sarmalın iki ipliğinin ne şekilde çözüldüğünü anlamak için kullanılıyor. Düğüm teorisi perspektifinden bakıldığında, DNA’nın sarmal doğası önemli değildir; önemli olan çift sarmalın nasıl düğüm ve bağlantı oluşturduğudur.
DNA Sarmalının Düğümlü Yapısı
DNA sarmalı, birbirlerine devamlı sarılan iki iplikten ibaret halata benzer. Bir hücre bölündüğü zaman genetik bilgiler yeni hücrelere şu şekilde aktarılır: iplikler birbirinden ayrılır, kopyalanır ve yeni iplikler eskisiyle ikişer ikişer birleşir. DNA’nın açılması ve yeniden bağlanması, yani ilmek sayısını ve/veya birbirlerine geçme şekillerini değiştirir.
Düğüm teorisi, bu bükülmeleri zincirlerin uzunluğundan veya onları yöneten fiziksel güçlerden bağımsız olarak açıklar. Düğüm teorisini bu yapılara uygulamak, araştırmacıların gerçek dünya sistemlerinin enerji ve gerginliği en aza indirmek için topolojilerini nasıl basitleştirdiğini anlamalarına yardımcı olur.
Kimyacılar da temelde düğüm teorisi ile ilgilenmektedir. Döngüsel molekül, uçtan uca bağlanmış bir dizi atomdan oluşan bir moleküldür. Benzen buna bir örnek olarak verilebilir. Şimdi benzer bir döngüsel molekül olduğunu düşünün. Ancak bu sefer moleküler zincirde bir düğüm olsun. Aşağıda bunun bir örneğini görebilirsiniz. Düğümsüz versiyon bir yağ formunda iken düğümlü versiyon bir jel gibi olabilir. Aslında, düğüm tablolarındaki farklı düğümlerin her biri için, aynı atom zincirinden ayrı bir madde elde ederiz.
Düğümlerin matematiksel teorisi geliştikçe, kullanışlılıkları artmaya devam edecektir. Bu basit nesnelerin içinde, fizik, kimya, biyoloji ve diğer bilimler için temel etkileri olan inanılmaz miktarda matematik gizlidir.
Kaynaklar ve ileri okumalar:
- Matthew R. Francis, Untangling DNA with Knot Theory, 2018, Siam News, 2018 SIAM Annual Meeting, held in Portland, Ore.;https://sinews.siam.org
- Fell, A. (2017). Knotty Problems: Mariel Vazquez Shares How E. Coli Reconnects Tangled DNA. UC Davis College of Biological Sciences. Retrieved from https://biology.ucdavis.edu/
- Untangling Why Knots Are Important; Bağlantı: https://www.quantamagazine.org/
- Why knot: knots, molecules and stick numbers; Bağlantı: https://plus.maths.org
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak veya Patreon üzerinden ufak bir bağış yaparak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
Nesibe Hanım
Çok güzel bir derleme , tebrik ederim .
Teşekkürler.