Düğümler matematik ve bilimde özel bir öneme sahiptir. DNA’nın biyokimyası, yeni malzemelerin sentezi ve üç boyutlu uzayların geometrisi gibi birçok alanda gizli sırların açığa çıkmasına yardımcı olurlar. Bu konular, düğümlerin yapısını ve özelliklerini inceleyen düğüm teorisi kapsamında ele alınır.
Günlük hayatta düğümlerle karşılaşmadığımız bir gün bile yoktur. Sabah ayakkabı bağcıklarını bağlamaktan uzatma kablosunu açmaya ya da bir hediyenin etrafına kurdele sarmaya kadar düğümler hayatımızın ayrılmaz bir parçasıdır.
Üstelik, düğümler insanlık tarihinin en eski araçlarından biridir. Medeniyetin başlangıcında, ilkel kıyafetleri bağlamak, silahları vücuda sabitlemek, barınaklar inşa etmek için kullanılmışlardır. Binlerce yıldır onlara bağımlı olduğumuz açıktır. Ancak düğümler, fiziksel uygulamalarından çok daha fazlasını ifade eder.
Düğüm Teorisi Nedir?
Bir parça ip alın. Üzerine bir düğüm atın ve ardından ipin iki açık ucunu birbirine yapıştırın. Artık düğüm ip üzerinde sıkışıp kalmıştır. Ne kadar uğraşırsanız uğraşın, ipi kesmeden düğümü çözüp serbest bırakamazsınız. Bu basit deney, matematikte düğüm kavramını modellemektedir.
İki düğümlü ip halkası ele alındığında, biri diğerine yeniden düzenlenerek dönüştürülebiliyorsa ve bu süreçte iplerin birbirinden geçmesine izin verilmiyorsa, bu iki düğümü eşdeğer kabul ederiz.
Bu, düğüm teorisinin temel kavramlarından biridir. Bir düğümü başka bir düğüme dönüştürmek için yalnızca bükme, döndürme ve kaydırma gibi hareketlere izin verilir, ancak ipi kesmek veya içinden geçirmek yasaktır. Bu tür dönüşümler, düğümlerin matematiksel olarak sınıflandırılmasına yardımcı olur ve düğüm teorisinin temelini oluşturur.
İşte en ünlü düğümlerden bazıları. Bu düğümler birbirine eşdeğer değildir, yani hiçbiri diğerine yeniden düzenlenerek dönüştürülemez. Ancak, bu durumu kanıtlamak oldukça zordur. İşte tam da burada matematik devreye girer.
Sol tarafta görülen halka, çözülmüş düğüm ya da trivial düğüm olarak bilinir. Bu düğüm, düğüm teorisindeki en basit formdur ve aslında hiç düğümlenmemiş bir halka gibidir. Daha karmaşık düğümler, bu temel yapı ile karşılaştırılarak analiz edilir.
Matematikçiler, düğümleri sınıflandırmak ve birbirinden ayırt etmek için düğüm değişmezleri gibi çeşitli yöntemler kullanarak bu düğümleri kataloglamışlardır. Bu, düğümleri geçiş sayısına göre sınıflandırarak sistematik bir şekilde incelenmesini sağlar. Geçiş sayısı arttıkça düğümlerin yapıları giderek daha karmaşık hale gelir ve yeni düğümleri belirlemek zorlaşır. Buna rağmen, düğüm teorisi ilerledikçe daha fazla düğüm keşfedilmeye devam etmektedir.
Düğümleri Matematiksel Olarak İncelemeye Nasıl Başladık?
Matematiksel düğüm teorisi, atomları modelleme girişimleri sonucunda ortaya çıktı. 19. yüzyılın sonlarında Lord Kelvin, farklı atomların aslında, tüm uzayı doldurduğuna inanılan eter içinde düğümlenmiş yapılar olduğunu öne sürdü.
Bu fikir, dönemin fizikçileri ve matematikçileri arasında büyük ilgi gördü. Bilim insanları, farklı düğümleri sınıflandırarak bir düğüm tablosu oluşturmaya başladılar. O dönemde, bunun aslında bir elementler tablosu oluşturmakla eşdeğer olduğuna inanıyorlardı. Ancak daha sonra atomların bu şekilde düğümlenmiş yapılar olmadığı anlaşıldı.
1887’de yapılan Michelson-Morley deneyi, uzayı doldurduğu düşünülen eterin var olmadığını gösterdi. Bu keşifle birlikte, fizikçiler ve kimyagerler düğümlere olan ilgilerini kaybettiler ve bu konu bilim dünyasında bir süre arka planda kaldı.
Ancak matematikçiler için artık geri dönüş yoktu. Düğüm teorisinin içsel güzelliği ve ortaya çıkardığı matematiksel yapılar, onları bu alana bağlamıştı. Bu nedenle, düğüm teorisi fiziksel bir model arayışından bağımsız olarak matematiksel bir disiplin olarak gelişmeye devam etti. Zamanla, topoloji, kuantum mekaniği ve DNA araştırmaları gibi birçok alanda yeni uygulamalar buldu ve matematikçiler için önemli bir çalışma alanı haline geldi.
Düğüm Teorisi Nerelerde Karşımıza Çıkar?
1980’lerde, kimyagerler ve biyokimyagerler düğüm teorisine yeniden ilgi duymaya başladılar. Bu ilginin en önemli uygulamalarından biri, deoksiribonükleik asit (DNA) molekülü üzerinedir. DNA, milyonlarca atomdan oluşan ve yaşamın temel planını içeren bir yapıdır. Çift sarmal şeklinde olsa da, matematiksel olarak hücre çekirdeğinde sıkıca paketlenmiş uzun, ince bir iplik gibi düşünülebilir. Bu ipliksi yapıda ortaya çıkan dolaşıklıklar, DNA’nın temel işlevlerini yerine getirmesini zorlaştırır.
DNA Sarmalının Düğümlü Yapısı
Bu noktada, hücre çekirdeğinde bulunan enzimler devreye girer. Bu enzimler, DNA’nın düğümlenmesini ve çözülmesini sağlayarak genetik işlemlerin sorunsuz bir şekilde gerçekleşmesine yardımcı olur. Düğüm teorisinin biyoloji ile kesiştiği bu alan, günümüzde biyokimyagerler ve matematikçilerin birlikte çalıştığı büyüleyici bir araştırma konusu haline gelmiştir.
Kimyagerler de düğümlü moleküller oluşturmak konusunda da büyük bir ilgi göstermektedir. Örneğin, “siklik” moleküller en basit düğümlü moleküllerdendir. Bu tür moleküllerde, atomlar uç uca bağlanarak bir halka oluşturur. Benzen, bu tür döngüsel moleküllere verilebilecek en bilinen örneklerden biridir.
Düğümsüz bir molekül, bir yağ gibi akışkan davranabilirken, düğümlü versiyonu bir jel gibi farklı fiziksel özellikler gösterecektir.. Bu düğümlenme, molekülün daha önce hiç görülmemiş yeni özellikler kazanmasına neden olur. Aslında, düğüm tablolarındaki her farklı düğüm, aynı atom zincirinden farklı bir madde elde edilmesini sağlar.
Teorik olarak, sonsuz sayıda farklı düğüm olduğu için, belirli bir atom diziliminden sonsuz sayıda farklı molekül üretmek mümkün görünmektedir. Ancak gerçekte durum tam olarak böyle değildir. Örneğin, sadece 10 atomdan oluşan bir zincirle 50 geçiş noktasına sahip karmaşık bir düğüm oluşturmak imkânsızdır. Bu nedenle, belirli bir atom sayısı için düğümlenme karmaşıklığının bir üst sınırı olacaktır.
Sonuç olarak
Düğüm teorisinin gelişimi, fizik, kimya, biyoloji ve diğer bilimlerde yeni keşiflerin kapısını aralamaya devam ediyor. Basit gibi görünen düğümlerin içinde karmaşık ve derin matematiksel yapılar gizlidir ve bunlar, bilimin birçok dalında hayati rol oynamaktadır. Bu nedenle, düğüm teorisi neden önemli sorusunun cevabı oldukça açıktır: çünkü düğümler, evrenin işleyişini anlamamızda kritik bir yere sahiptir.
Kaynaklar ve ileri okumalar:
- Matthew R. Francis, Untangling DNA with Knot Theory, 2018, Siam News, 2018 SIAM Annual Meeting, held in Portland, Ore.;https://sinews.siam.org
- Fell, A. (2017). Knotty Problems: Mariel Vazquez Shares How E. Coli Reconnects Tangled DNA. UC Davis College of Biological Sciences. Retrieved from https://biology.ucdavis.edu/
- Untangling Why Knots Are Important; Bağlantı: https://www.quantamagazine.org/
- Why knot: knots, molecules and stick numbers; Bağlantı: https://plus.maths.org
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
Nesibe Hanım
Çok güzel bir derleme , tebrik ederim .
Teşekkürler.