Matematikte diferansiyel denklemler, bir ya da birden fazla fonksiyonu ve bunların türevlerini ilişkilendiren denklemdir. Fizik, kimya, mühendislik, biyoloji ve ekonomi alanlarında matematiksel modeller genellikle diferansiyel denklemler kullanılarak ifade edilirler.
Gelin bu yazımızda klasik bir ders notunun ötesine geçelim ve bir diferansiyel denklemin nasıl çalıştığını anlamaya çalışalım. Ürkütücü görünümlerine rağmen arka plandaki mantığın son derece basit olduğunu siz de fark edeceksiniz.
Diferansiyel Denklemler Nedir?
Otobanda 70 km/h sabit bir hızla sürdüğünüzü hayal edin. Bu hızla devam ederek, hedefinize 2 saat içinde varırsanız. Bu durumda da toplamda 140 kilometre yol kat etmiş olacağınızı kolayca hesaplarsınız. Burada aslında fark etmeden yaptığınız şey, bir diferansiyel denklemi çözmüş olduğunuzdur. Sonucunda hız, mesafenin zamana göre değişim oranıdır. Bu değişim oranını gözlemleyerek, yolculuğunuzun sonunda değişen miktarın, yani mesafenin değerini hesapladınız.
Basitçe söylemek gerekirse, diferansiyel denklemlerin konusu işte budur. Asla değişmeyecek olan bir şey, dünyanın sürekli değiştiği gerçeğidir. Matematiksel olarak, değişim oranları ise türevlerle tanımlanır. Çevrenizdeki dünyayı anlamak için matematiği kullanırsanız yani bir bitkinin büyümesi, borsadaki dalgalanmalar, hastalıkların yayılması veya bir nesneye etki eden fiziksel güçler gibi şeyleri hesaplamaya çalışırsanız çok geçmeden kendinizi fonksiyonların türevleriyle uğraşırken bulursunuz.
Diferansiyel denklem, bir fonksiyon ile onun türevlerini ilişkilendiren denklemdir. Örnek olarak arabamıza geri dönelim. Araba örneğimizde, y yol ve x zamandı. Alınan yol y(x)=70x biçiminde bir fonksiyon ile gösterilebilir. Eğer 2 saat araba kullanırsak x=2 olacağı için y(2)=70.2=140 km sonucunu elde ederiz.
Sonuçta hız, mesafenin zamana göre değişim oranıdır. Yani mesafenin zamana göre birinci türevini aldığınız zaman hızı elde edersiniz. Değişim oranı için dy/dx yazıldığında, karşılık gelen adi diferansiyel denklem dy/dx =70 biçiminde olacaktır. Matematiksel olarak söylersek bir y niceliğinin zamanla, başka bir x miktarına göre nasıl değiştiğidir. Bu değişikliği bir denklemle tanımlayabiliriz: buna adi diferansiyel denklem (Ordinary Differential Equation) denir.
İvme, hızın zamana göre değişim oranıdır. Bu durumda mesafenin zamana göre ikinci türevini aldığını zaman da ivmeyi bulacaksınız. Bu şekilde devam etmeniz, bir dizi daha yüksek dereceli türev elde etmenize neden olur. Adi diferansiyel denklem, bir y niceliğini ve bunun bir x miktarına göre daha yüksek dereceli türevlerini içeren bir denklemdir.
Diferansiyel Denklemler İle İlgili Anlamanız Gereken Bazı Temel Kavramlar
Ayrıca, bir y niceliğinin birkaç başka niceliğe göre değişim oranlarıyla ilgili denklemleriniz olabilir. Örneğin, uzayda hareket ederken bir y miktarının nasıl değiştiğini düşünüyorsanız, uzayın üç yönüne göre değişim oranını da göz önünde bulundurmanız gerekecektir. Bu olduğunda, bağlı olduğu miktarların herhangi birine göre y’nin kısmi türevlerini kullanmanız gerekir. Bu kısmi türevleri içeren bir denkleme de kısmi diferansiyel denklem denir.
Bir diferansiyel denklemde hangi değişkene göre türev alınıyorsa, bu değişkene bağımsız değişken denir. Türevi alınan değişkene ise bağımlı değişken denir. Bu durumda dy/dx ifadesinde y bağımlı, x ise bağımsız değişkendir.
Bağımlı değişkenin bağımsız değişkene göre bir kere türevi alındığında ise bu türevli ifadeye birinci mertebedendir (veya basamaktandır) denecektir. Bu durum dy/dx = f(x, y) = y’ biçiminde gösterilmektedir. Benzer bir biçimde ikinci mertebeden bir diferansiyel denklem ise d/dx(dy/dx) = d2y/dx2 = f”(x) = y” olarak yazılır.
Daha ileri gitmeden önce notasyonla ilgili bir uyarıya ihtiyacımız var. Özellikle bir noktada bir fonksiyonun türevini yazmanın birçok yolu vardır. Temelinde kafa karıştıran şey ise bunun tam olarak anlaşılamamış olmasıdır. Aslında aşağıda bunun iki farklı biçimini görüyorsunuz. Konu hakkında daha fazla bilgi için Kalkülüs’ü İlk Kim Buldu? Newton mu Yoksa Leibniz mi? başlıklı yazımıza göz atabilirsiniz.
Üstte gördüğünüz yazım biçimi Newton tarafından önerilmişti. Alttaki ise Leibnitz’in tercihi idi. Matematikçilerin hangi gösterim biçimini tercih ettiği tamamen kişisel tercihlerine bağlıdır. Ancak temelinde ikisinin de aynı şey olduğunu anlamamız önemlidir.
Diferansiyel Denklemler Ne İşimize Yarar?
Bu denklemler, matematiğin neredeyse tüm modern uygulamalarının kalbinde yer alır. Uygulama alanları neredeyse sınırsızdır ve modern teknolojinin çoğunda hayati bir rol oynarlar. Aslına bakarsanız matematiksel modellerin çoğu (fizik, biyoloji, kimya veya finansal pazarlar) diferansiyel denklemler içerir. Bileşik faizin nasıl hesaplanacağı gibi bireysel finansmana ilişkin en basit sorular dahi bizi hemen diferansiyel denklemlere götürür.
Birçok doğa yasası diferansiyel denklemler yani fonksiyonları ve bunların türevlerini içeren denklemler biçiminde ifade edilir. Maxwell’in elektromanyetizmayı tanımlayan denklemleri ile Einstein’ın yer çekimi kuvvetini tanımlayan denklemleri birer diferansiyel denklemdir.
Diferansiyel denklemlere çözüm bulunması matematikçilerin yüzyıllardır uğraştığı bir konudur. Diferansiyel denklemlerin hepsini birden çözen genel bir metot mevcut olmadığı için çeşitli çözüm yöntemleri geliştirilmiştir.
Bu yazının amacı bu çözüm yöntemlerini anlatmak değildir. Zaten bir yazıda anlatmamız da mümkün değildir. Bunun için yapmanız gereken herhangi bir cebir kitabını açıp bakmaktır. Ancak diferansiyel denklemler nedir? sorusunun cevabını elde etmiş olmalısınız.
Doğal dünyada her şey sürekli değişir, bu yüzden onu incelemek için değişimi anlamanın bir yoluna ihtiyacınız vardır. Ve bunu kalkülüs başarmıştır. İntegraller ve diferansiyeller, genellikle insanları korkutacak şekilde sunulsa da çevremizdeki dünyayı anlama biçimimiz için bir zemin sağlar. Bu nedenle fazla da korkmanıza gerek yok. Daha fazla bilgi için Türev Nedir? İntegral Nedir? Bu Kavramları Bilmek Neden Gereklidir? başlıklı yazımıza da göz atabilirsiniz.
Kaynaklar ve ileri okumalar:
- Maths in a minute: Differential equations; Yayınlanma tarihi: 6 Mayıs 2020; Bağlantı: https://plus.maths.org/
- Differential Equations; Bağlantı: https://www.mathsisfun.com/
Matematiksel
