20. yüzyılın en büyük ve en üretken matematikçilerinden biri olan David Hilbert’in düşünce deneyi olan sonsuz otel paradoksuna göre bir otelde hiçbir zaman boş oda bulunmaz ancak yeni müşteriler için her zaman yer bulunacaktır.
Hilbert’in Sonsuzluk Oteli Paradoksu Nedir?
Diyelim ki bir otel yöneticisisiniz ve oteliniz tamamen dolu. Bu elbette sizin için harika bir durum ama her zaman daha fazla misafir sıkıştırmanın bir yolunu bulabilirsiniz. Bu normal hayatınızda, Trip Advisor’da kötü yorumlar almak anlamına gelecektir ancak matematik dünyasında sorun olmaz. Ancak bunun için elbette otelinizin sonsuz sayıda odası olması gerekmektedir.
Diyelim ki otelinizde 1, 2, 3 vb. numaralandırılmış sonsuz sayıda oda var. Yeni bir misafir geldiğinde ve yerleştirilmesini istediğinde tüm odalar dolu. Ne yaparsınız? Normal koşullarda iyi bir otel yöneticisi olsanız, elbette cevabınız “yeni gelen misafiri kibarca geri çeviririm” olmalıydı. Ancak hem parayı seviyorsunuz hem de matematik biliyorsunuz. Bu durumda eğer mevcut misafirlerinizden biraz işbirliği alabilirseniz aslında kolay bir çözüm bulabilirsiniz.
Bunun için yapmanız gereken, 1. odadaki misafirden 2. odaya, 2. odadaki misafirden 3. odaya, 3. odadaki misafirden 4. odaya taşınmasını istemek olacaktır. Sonlu sayıda oda olsaydı, son odadaki misafirin gidecek yeri olmazdı, ama sonsuz sayıda olduğu için herkes yeni bir yer bulur. Bu durumda da ilk oda boşalmış olur. Gelen müşterinizi bu odaya yerleştirirsiniz ve sonucunda problem çözülür.
Bu numarayı kullanarak, herhangi bir sınırlı sayıda yeni misafiri gerçekten ağırlayabilirsiniz. Yani n yeni misafir gelirse, mevcut her misafirden, n artı mevcut odasının numarası olan odaya taşınmasını isteyin. Örnek olarak, 8 yeni misafir varsa, şu anda 10 numaralı odada bulunan misafirin 10+8=18 numaralı odaya taşınması gerekir. Sonsuz sayıda odanız olduğu müddetçe bu hiçbir zaman sorun olmayacaktır.
Ama işler daha da iyiye gidiyor. Sonsuz sayıda yeni misafiri taşıyan sonsuz uzunlukta bir otobüsün otelinizin kapısına dayandığını düşünün. Şu anda otelin önünde sonsuz uzunlukta bir kuyruk var. Sonucunda az önce sonlu sayıda yeni müşteri ile başa çıkmayı başarmıştınız. Peki bu sonsuz müşteriyi ne yapacaksınız?
Hem parayı sevdiğinizi, hem de matematik bildiğinizi unutmayın. Bu durumda, mevcut her misafirden, mevcut oda numarasının iki katı olan odaya taşınmasını isteyin. Yani x odasında kalan bir misafir 2x odasına taşınsın. Sonucunda elinizde sonsuz odalı bir oteliniz olduğu içine, geriye kalan sonsuz sayıdaki tüm tek numaralı odalar sizin yeni misafirlerinizi ağırlamaya yetecektir.
Hilbert Sonsuzluk Otelinde Neler Oluyor?
Peki şimdi işleri biraz daha karıştıralım. Her biri sonsuz sayıda yeni misafir taşıyan sonsuz sayıda otobüs geldiğini varsayalım. Kolaylık olması açısından, otobüslere 1, 2, 3 biçiminde bir numara verelim. Her bir otobüsteki koltukları da 1, 2, 3 olarak numaralandıralım. Bu durumda her yolcuyu iki benzersiz numara ile tanımlayabiliriz. Örneğin ilk otobüsün ilk koltuğunda Ali isimli bir müşteri oturuyorsa onun numarası (1,1) olacaktır.
Az önce yaptığımız gibi, mevcut her misafirden, mevcut odasının iki katı olan odaya taşınmasını isteyerek işe başlarsınız. Bu sayede de tek numaralı odalar boşa çıkmış olacaktır. Şimdi, 1. otobüsün, 1 numaralı yolcusuna 3. odaya geçmesini söyleyin. Aynı biçimde, 1. otobüsün 2. koltuğunda oturan kişi de 3’ün karesi 9 numaralı odaya, 1. otobüsün 3. koltuğundaki kişi 3’ün kübü 27 numaralı odaya geçsin. Bu sayede birinci otobüsteki herkes bir odaya yerleşmiş oldu.
Peki, ikinci otobüs ne olacak? Aslında dert değil. Yukarıda aktardığımız gibi çalışmaya devam edelim. 2. otobüsün 1 numaralı yolcusuna 5. odaya geçmesini söyleyin. Aynı biçimde, 2. otobüsün 2. koltuğunda oturan kişi de 5’in karesi 25 numaralı odaya, 2. otobüsün 3. koltuğundaki kişi 5’in küpü 125 numaralı odaya geçsin. Peki, üçüncü otobüs ne olacak? Dikkat etmiş olacağınız gibi 3 ve 5 ardışık asal sayılardır. Sıradaki asal sayı ise 7’dir. Bir sonraki asal sayı ise 11. Bu sayede aynı biçimde tüm yolcuları bir odaya yerleştirmeniz mümkün olacaktır.
Peki asal sayıların kuvvetlerine eşit oda numaralarının her zaman boş olacağını nasıl biliyoruz? İşte bu sorunun cevabı aritmetiğin temel teoreminde gizli. Çünkü pozitif her tam sayı, asal sayıların çarpımı şeklinde benzersiz olarak yani tek bir şekilde yazılacaktır. Bu durumda herhangi bir oda numarası bir asal sayının kuvveti ise başka bir asal sayının kuvvetine eşit olamaz. Ayrıca tek asal sayıların hiçbir kuvveti ikiye bölünemez. Kısacası bu odalar kesinlikle boş olacaktır.
Sonsuzluk Otelinde Her Zaman Bir Oda Var mı?
Yukarıda verdiğimiz sayı oyunlarından sonra belki şaşıracaksınız ancak cevabımız hayır. Neden hayır olduğunu anlamak için David Hilbert’in bize bu düşünce deneyi ile aslında neyi göstermeyi hedeflediğini anlamanız gerekiyor.
Sonsuzluk ile ilgili an garip şey de aslında büyüklükleri ile ilgilidir. Sonsuz işte büyüklüğü mü olurmuş demeyin! Alman matematikçi George Cantor’un 19. yüzyılın sonlarına doğru gösterdiği gibi çeşitli sonsuzluklar vardır. Üstelik bazıları açık bir şekilde diğerlerinden daha büyüktür.
Cantor bize tam sayılar ve doğal sayılar sonsuz kümelerinin eşit büyüklükte olduğunu göstermiştir. Hatta Cantor, rasyonel sayıların da doğal sayılarla bire bir eşleşmeye sokulabileceğini ve sonucunda onun da eşit büyüklükte olduğunu kanıtlamıştır. Ancak Cantor, doğal sayıların bir başka sayı ailesi olan reel sayılardan daha az sayıda olduğunu çok zekice bir argüman kullanarak göstermiştir.
Sonuç Olarak
Georg Cantor bu sonuçları yayınladığında matematik camiasını şok etmişti. Ancak aynı zamanda büyük bir muhalefetle de karşılaşmıştı. Sonucunda “Sonsuzluk nedir?” sorusuna aradığı ve bulduğu cevap onun akıl sağlığını etkiledi ve sonunu hazırladı. David Hilbert ise 1924 yılında, onun sonsuzluklarını popülerleştirdi ve daha anlaşılır hale getirdi.
Hilbert’in Sonsuzluk Oteli paradoksu bizlere imkânsız gibi görünen sonuçlara nasıl ulaşılabildiğini sonsuzluk kavramının incelikleriyle gösterdi. Yukarıda size verdiğimiz örneklerin hepsi sayılabilir sonsuzluklara ait idi. Ancak biliyoruz ki her sonsuzluk eşit değildir. Sayılamaz sonsuzluklar da vardır. Bu durumda otele gelecek her sonsuz sayıda müşteriye kalacak bir oda bulunması mümkün olmayacaktır.
Kaynaklar ve ileri okumalar için:
- Hilbert’s paradox of the Grand Hotel; Bağlantı: https://en.wikipedia.org/
- Hilbert’s hotel; yayınlanma tarihi: 13 Şubat 2017; bağlantı: https://plus.maths.org/
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak veya Patreon üzerinden ufak bir bağış yaparak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
