Hisse senetlerinin ve emtiaların gelecekteki fiyatlarını tahmin etme gücüne sahip olduğunuzu hayal edin. Bu öngörüyle, bu varlıkları satın alma veya satma konusunda akıllıca kararlar alabilir ve bu arada kar elde edebilirsiniz.
Yatırımda devrim yaratan ve sonuçta Fischer Black ve Myron Scholes’a Nobel Ödülü kazandıran Black-Scholes Opsiyon Fiyatlandırma modelini tanıyalım.
İş dünyasında şirketler, risklerini mümkün olduğunca ortadan kaldırmak isterler. Bunu yapmanın yollarından biri, türev adı verilen finansal ürünleri satın almaktır. Türev ürünler, değerleri hisse senetleri, tahviller, yabancı para, faiz gibi bazı temel varlıklara bağlı olan finansal ürünlerdir. Türev ürünlerin işlem gördüğü piyasalar türev piyasalar veya vadeli işlem piyasaları olarak adlandırılmaktadır.
Bu ürünler sigorta poliçesi olarak düşünmek gerekir. Bir şirket bu türev ürünlerden birini satın alırsa, gelecekte belirli risklere maruz kalmasını engelleyecektir. Bu türevler kendi başlarına da alınıp satılmaktadır. Ancak bu ticaret, büyük miktarlarda para kazanmanın yanı sıra kaybetme potansiyeline de sahiptir.
Bir yıl sonraki bir uçuş için bugünden bilet satan bir havayolu düşünün. Yakıt, bir havayolunun en büyük maliyetlerinden biridir. Bir yılın sonunda da yakıtın ne kadar değişeceğini tahmin etmek zordur. Gelecekte müşterilerin ödeyeceği fiyat yakıtın maliyetini bile karşılamayabilir.
Bu riskten kaçınmanın iyi bir yolu, havayolunun bir yıl içinde yakıt için ödeyeceği fiyatı belirleyen bir tür türev ürünü olan forward sözleşmesi imzalaması olacaktır. Forward finans dünyasında yaygın bir biçimde kullanılan bir çeşit sözleşmedir. Herhangi bir ürünün satışı hakkında geleceğe dönük olarak hazırlanır.
Tabii ki, yakıt fiyatlarının düşme olasılığı da vardır. Bu durumda kararlaştırılan fiyat, o zaman satın alması durumunda ödeyeceği fiyattan çok daha yüksek de olabilir. Yani bu durumda şirket bir risk alır. Ancak çoğu şirket bunun fazla olası olmadığını bildiği için bu riski almayı kabullenecektir. Elbette bir banka bir türev ürün satıyorsa, bunu kaça satması gerektiğini de bilmelidir.
Black Scholes Denklemi Nedir?
1970’lerin başlarında, finans dünyası büyük bir bulmacayla boğuşuyordu: opsiyonların değerini nasıl hesaplanmalıdır? ( Opsiyon, satın alan tarafa herhangi bir ürünün fiyatını bugünden sabitlemek koşulu ile bu ürünü ileride bir vadede satın alma ya da satma hakkını veren bir anlaşmadır.) İşte bu noktada da matematikçiler devreye girecekti.
En önemli opsiyon değerleme yöntemi olan Black Scholes denklemi 1973 yılında Fischer Black ve Myron
Scholes tarafından Avrupa tipi opsiyonların değerini bulmak için geliştirildi. Modelde temel
amaç, opsiyona konu olan dayanak varlığın fiyatının vade sonunda hangi fiyata sahip olacağını
belirlemektir.
Ekonomistler Fisher Black ve Myron Scholes modelin tezini geliştirmişler ve bunu 1973 tarihli “The Pricing of Options and Corporate Liabilities” adlı makalelerinde yayınlamışlardı. Terimi “Theory of Rational Option Pricing” adlı makalesinde ortaya atan ve genişleten ise Robert C. Merton’dı. Bu nedenle, sıklıkla Black-Scholes-Merton (BSM) modeli olarak da anılmaktadır.
Bu denklemin farklı gösterim biçimleri vardır. Bunlardan bir tanesini aşağıda görebilirsiniz. Denklemin arka planındaki matematik oldukça karmaşıktır. Bu nedenle sadece ne işe yaradığı konusuna odaklanacağız. Ancak detayları merak ederseniz kaynaklar kısmına göz atmanızı öneririz.
Black Scholes Modeli Nasıl Ortaya Çıktı?
Orijinal Black Scholes modeli, hisse senedi fiyatının rastgele bir Brown hareketinin bir fonksiyonu olduğunu varsayıyordu. Borsa da yaygın olarak kullanılmakta olan Brown hareketi temelde rastlantısal bir hareket olup, küçük taneciklerin sıvı veya gaz molekülleri içindeki hareketi ile ilgilidir. İlk olarak 1827’de İskoç botanikçi Robert Brown tarafından fark edildiği için onun adını taşımaktadır.
Brown hareketinin keşfi ve evrenselliği, matematiğin karmaşık olayları olasılıkları kullanarak tanımlama gücünü gösterir. Bu hareket biçiminde herhangi bir zamanda, hisse senedi fiyatı (veya parçacık) eşit olasılıkla yukarı veya aşağı (veya bir parçacıkla, mevcut yönlerden herhangi birinde) hareket eder. Bu modeli hisse senedi fiyatı davranışı için kullanan Black ve Scholes, bir opsiyonu fiyatlandırma probleminin ısı denklemini fizikten çözme problemine eşdeğer olduğunu bulmuştu.
Ancak bu modelin bazı sorunları vardır. En önemli sorunlardan birisi geliştirilmesi esnasında sadece Avrupa opsiyonlarını temel almasıydı. Bu nedenle ilerleyen yıllarda denklemde bazı iyileştirmeler yapılmıştır. Diğer bir sorun ise opsiyon sözleşmesinin teorik değerini hesaplarken sadece dayanak varlığın fiyatını dikkate alması ve diğer önemli faktörleri göz ardı etmesidir.
Sonuçta gerçek pazarlarda bu modelin öngördüğünden çok daha fazla büyük değişiklikler olmaktadır. Her ne kadar sınırlandırmaları olsa da Black Scholes denklemi ekonomi ile uğraşanların elindeki en önemli matematiksel araçlardan birisidir.
Kaynaklar ve ileri okumalar:
- Black-Scholes Model. Yayınlanma tarihi: 3 Haziran 2022; bağlantı: http://www.investopedia.com
- A risky business: how to price derivatives. yayınlanma tarihi: 1 Kasım 2018; Bağlantı: https://plus.maths.org/
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi artırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak, bilimin bütünsel yapısı itibarıyla diğer bilim dallarıyla ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı, sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak, ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca, yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım
Matematiksel
