Hem sonsuzluğu hem de sonluluğu aynı anda barındıran iki ilginç matematiksel yapı vardır: Koch Kar Tanesi ve Cebrail’in Borusu. Bu yapılar, benzersiz ve paradoksal özellikleriyle dikkat çeker.
Koch Kar Tanesi, çevresinin sonsuz, ancak alanının sonlu olduğu bir geometrik şekildir. Diğer yandan, Cebrail’in Borusu adı verilen yapı, sonsuz bir yüzey alanına sahip olmasına rağmen yalnızca sonlu bir hacim içerir. Bu özellikler, her iki şekli de hem matematiksel açıdan hem de sezgisel olarak oldukça şaşırtıcı ve büyüleyici kılar.
Kock Kar Tanesi Nedir?
Koch Kar Tanesi, matematik tarihinde tanımlanmış en eski fraktal yapılar arasında yer alır. Bu karmaşık ve dikkat çekici şekil, ilk kez İsveçli matematikçi Helge von Koch tarafından 1904 yılında yayımlanan “On a Continuous Curve without Tangents, Constructible from Elementary Geometry” (Tanjantları Olmayan, Temel Geometriden İnşa Edilebilen Sürekli Bir Eğri Üzerine) başlıklı makalesinde tanımlanmıştır. Bu nedenle günümüzde bu şekil, Koch’un adıyla anılmaktadır.
Ancak, Helge von Koch’un makalesinde tanımlanan Koch eğrisi, bir eşkenar üçgen yerine bir doğru parçası ile başlar. Daha sonraları matematikçi Robert Fathauer, bu şeklin başlangıcını bir eşkenar üçgen olacak şekilde değiştirmiştir.
Koch Kar Tanesi‘nin son versiyonunda, süreç bir eşkenar üçgenle başlar. İlk olarak, bu üçgenin her bir kenarını üç eşit parçaya ayırırız. Daha sonra orta parçayı çıkarıp yerine eşit uzunlukta iki parça koyarız. Bu adımı her kenar için tekrarlarız ve bu işlemi sonsuz kez devam ettiririz. Bu sürekli tekrar işlemi, inanılmaz derecede karmaşık ve görsel olarak etkileyici bir şeklin ortaya çıkmasını sağlar.
Koch Kar Tanesinin Alanı Sonlu Ancak Çevresi Sonsuz Uzunluktadır
Koch Kar Tanesi’nin başlangıç aşamasını 0. adım olarak kabul edersek, başlangıçtaki şekil bir eşkenar üçgendir ve bu üçgenin toplam kenar sayısı 3‘tür. Bir sonraki adımda, yani 1. adımda, her kenar üç eşit parçaya bölünür ve orta kısma eklenen küçük üçgenler ile toplam kenar sayısı artar. Her adımda kenar sayısının bir önceki adıma göre nasıl değiştiğini formüle edebiliriz: 3.4 n-1 olur. (buradaki n adım sayısını belirtir).
Şimdi, başlangıç aşamasındaki eşkenarın üçgeninin bir kenar uzunluğuna x diyelim. O halde, eşkenar üçgenin alanı x2√3/4 olur. Yukarıdaki şeklin alanı içinde şöyle bir toplam elde ederiz:
Bu denklemin sağ kısmını biraz düzenlersek lise yıllarından beri gördüğümüz bir geometrik diziyi elde ederiz.
Sonunda alanımızın değerini bulduk. Gördüğünüz gibi alanımız sonludur. Bu değer x’e göre değişen bir reel sayıdır. Şimdi ise çevremizi hesaplamaya çalışalım. Yine başlangıç adımımızdaki eşkenar üçgenin kenar uzunluğunu x alalım.
Çevre hesabı yaparken yukarıdaki şekli izlemenin faydası var. Birinci adımda kenarı üç eşit parçaya bölüp bunlardan bir tanesini atıyoruz ve onun yerine iki tanesini ekliyoruz. Sonuçta elimizdeki uzunluk 4x/3 oluyor. İkinci adımda ise bu 4 küçük kenarı yine üçer parçaya bölüyoruz ve aynı işlemi uyguluyoruz ve sonuç olarak elimizdeki şeklin uzunluğu 16x/9 oluyor.
Aynı işlemi yapmaya devam ediyoruz ve tahmin edebileceğiniz gibi n’inci adımda uzunluğumuz x.(4/3)n oluyor. Unutmayalım ki biz bu işleme başlarken sadece bir kenarı baz aldık. Başlangıç adımında elimizde 3 kenar olduğu için her n’inci adımda elimdeki eğrinin çevre uzunluğu 3.x.(4/3)n diyebiliriz.
Şimdiki sorumuz ise şu: Peki biz bu işlemleri sonsuza kadar devam ettirirsek elimizdeki eğrinin çevresi ne olur? Bu soruya liseden hatırladığımız limit konseptini kullanarak cevap verebiliriz. 4/3 sayısı 1’den büyük olduğu için bu limit ıraksar diyebiliriz. Bir diğer deyişle eğrimizin çevre uzunluğu sonsuzdur.
Sonlu Bir Hacme Ancak Sonsuz Yüzey Alanına Sahip Bir Şekil
Şimdi, hem sonsuz bir yüzey alanına hem de sonlu bir hacme sahip bir şekli düşünelim. Bu şekli bir kap olarak hayal edin ve bir ressama verin. Ressam, bu şeklin içini kolaylıkla boya ile doldurabilir; çünkü şeklin hacmi sınırlıdır. Ancak ressam, aynı şeklin dış yüzeyini boyamaya çalıştığında, bunu asla tamamlayamaz. Çünkü şeklin yüzey alanı sonsuzdur.
Eğer böyle bir şeklin var olamayacağını düşünüyorsanız, yanılıyorsunuz. Matematikte bu gibi paradoksal şekiller gerçekten vardır ve bunlardan biri de Cebrail’in Borusu Ya da Torricelli’nin Trompeti ( İng: Gabriel’s horn) olarak bilinir.
Şekil adını 17. yüzyılda bu şekil ile çalışmalar yapan fizikçi ve matematikçi Evangelista Torricelli’den almıştır. Bu şekil, matematikte yalnızca paradoksları değil, aynı zamanda sonsuzluk kavramının ne kadar şaşırtıcı ve sezgilerimize aykırı olabileceğini gözler önüne serer.
Cebrail’in borusu, y=1/x eğrisinin x’in 1’e eşit ya da büyük olduğu bölgelerde x ekseni etrafında 360 derece döndürülmesiyle oluşmuş bir üç boyutlu şekildir. Hatırlamayanlar için y=1/x şeklinin grafiği aşağıdaki gibi gözükmektedir.
Böyle bir nesnenin gerçekte var olması mümkün değildir. Ancak Torricelli’nin trompetinin sonlu bir hacme, ancak sonsuz yüzey alanına sahip olduğunu göstermek için standart matematik yöntemleri kullanılabilir! Yani bu şekil ancak matematiksel bir dünyada var olabilir.
Cebrail’in Borusunun Yüzey Alanı Ve Hacminin Hesaplanması
Önce işe hacmi ile başlayalım. Sınırlı bir hacmi olduğunu bildiğimiz için bunu yapmak daha kolay. İntegralle hacim hesaplama formülünü kullanarak bu hesaplamayı yapabiliriz. Formülü bizim eğrimize uygularsak şunu elde ederiz:
Buradaki a şu anda sadece bir reel sayıyı temsil etmekte olmakla beraber integrali aldıktan sonra bu a’nın sonsuza giderken limitini alacağız. İntegrali alırsak aşağıdakini elde ederiz.
Ve şimdi a sonsuza giderken limit alırsak karşımıza V= π çıkar. Bu da demektir ki Cebrail’in borusunun hacmi sonluymuş. Şimdi de yüzey alanımızı hesaplayalım. Yüzey alanı için uygulayacağımız integral ise biraz daha ileri bir seviye. (Analiz dersi alanların integralle yay uzunluğu bulma kısmından hatırlayacaklardır.)
Bu son integralin ıraksak mı yakınsak mı olduğunu anlamamız gerekli.
Bunun için onu yukarıda gördüğümüz ıraksak integral ile karşılaştırmamız yeterli. Sonuç, aşağıda gördüğünüz gibi olduğu için bizim integralimiz de ıraksar diyebiliriz.
Bu da bize Cebrail’in borusunun yüzey alanın sonsuz olduğunu söyler. Bu yaklaşımlardan yola çıkarak Cebrail’in borusunun içini boya ile doldurabileceğimizi ama onun dış yüzeyini asla boyayamaya yetecek boyaya sahip olamayacağımızı çıkarabiliriz.
Bu içlerinde hem sonsuzluğu hem de sonluluğu içeren ilginç objeler, bilimlerin kraliçesinin sahip olduğu sıra dışı objelerden sadece iki tanesi. Aslında bu gibi matematiksel şekillerden daha çok vardır. Diğerlerini de tanımak içinse tek gereken şey biraz ilgi ve biraz merak…
Kaynaklar ve ileri okumalar:
- Torricelli’s Trumpet & the Painter’s Paradox; Bağlantı: https://onlyphysics.org/
- Torricelli’s Trumpet (or Gabriel’s Horn): A Paradox of Area and Volume; Bağlantı: https://www.youtube.com
- Koch Snowflake; Bağlantı: https://mathworld.wolfram.com/KochSnowflake.html
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
