Bir Sayısı Neden Asal Sayı Değildir?

Ders kitapları ve özellikle soru bankaları, ünite başlarında konuyla ilgili tanımları ve özellikleri çoğu zaman ispatsız olarak sunmayı sever. Asal sayı tanımı da bu alışkanlıktan nasibini alır: “Bir ve kendisinden başka böleni olmayan sayıya asal sayı denir. En küçük asal sayı 2’dir.” Bu tanım, yüzeyde oldukça net görünse de, önemli bir soruyu açıkta bırakır: “1 sayısı neden asal sayı değil?”

Basit gibi görünen bu soru, aslında matematiksel tanımların tutarlılığı ve sistematik yapıların korunması açısından oldukça önemlidir. Matematiğin kesin tanımlar üzerine kurulu yapısı, bu tür sorulara verilen cevapların hem pratik hem de teorik açıdan tutarlı olmasını gerektirir. 1’in asal sayı olmaması da bu tutarlılığı sağlamanın bir parçasıdır.

Asal Sayı Nedir?

Matematikte asal sayıların tanımına göre, bir sayı yalnızca 1 ve kendisi dışında böleni olmayan, 1’den büyük bir doğal sayı olmak zorundadır. Örneğin 2, yalnızca 1 ve 2’ye bölünür. Aynı şekilde 3 de yalnızca 1 ve 3’e bölünecektir. Buna karşın 4, 1, 2 ve 4 olmak üzere üç farklı bölene sahiptir. Bu nedenle asal sayı değildir.

Bu tanıma göre 1, yalnızca tek bir böleni olan bir sayı olduğundan asal sayı olamaz. Bir asal sayının, 1 ve kendisi olmak üzere tam olarak iki farklı pozitif böleni olması gereklidir. Diğer deyişle sayılar:

• Yalnızca 2 böleni olan sayılar → Asal sayılar.
• Fazla böleni olan sayılar → Bileşik sayılar.
• 1 ve 0 gibi özel durumlar, olarak gruplanacaktır.

Ancak 1’in asal sayı olup olmadığı her zaman bu kadar net bir şekilde tanımlanmamıştı. Erken dönem matematikte, özellikle Antik Yunan döneminde, 1’in asal sayı olarak kabul edilip edilmeyeceği belirsizdi. Antik Yunan matematikçileri arasında en ünlüsü olan Öklid (Euclid), Elementler adlı eserinde asal sayıları tanımlarken 1’i açıkça dışlamamıştı.

Öklid’in tanımı, bir sayının bölünebilmezliği üzerine kuruluydu ve asal sayılarla ilgili çalışmalarını 1’den büyük doğal sayılarla sınırlandırmıştı. Ancak sayı teorisi geliştikçe ve matematiğin sistematik yapısı güçlendikçe, matematikçiler 1’i asal sayı olarak kabul etmenin doğuracağı sorunları fark etmeye başladılar.

Bir Neden Asal Sayı Olamaz?

19. yüzyıla gelindiğinde, Carl Friedrich Gauss sayı teorisini modern matematiksel temeller üzerine oturttu. Gauss, 1801 yılında yayımladığı Disquisitiones Arithmeticae adlı eserinde asal sayılar için net bir tanım getirdi.

Tanımda, asal sayılar 1’den büyük olan ve yalnızca iki pozitif böleni bulunan sayılar olarak tanımlandı. Böylece 1, asal sayıların dışında bırakılmış oldu. Gauss’un tanımı, sayı teorisinin temellerini sağlamlaştırdı. Aynı zamanda matematiksel teoremlerin ve algoritmaların tutarlı bir şekilde işlemesini sağladı.

1’in asal sayı olmamasının arkasında yatan en önemli gerekçelerden biri, Aritmetiğin Temel Teoremi ile ilgilidir. Bu teoreme göre, her pozitif tam sayı, birim olmayan asal sayıların çarpımı şeklinde tek bir şekilde ifade edilir.

Örneğin, 60 sayısını ele alalım: Bu sayı 2²⋅3⋅5 şeklinde asal çarpanlarına ayrılır. Ve bu çarpanlara ayırma benzersizdir. Ancak 1’i asal sayı kabul edecek olursak, bu benzersizlik bozulurdu.

Örneğin, 60 sayısı 1⋅2²⋅3⋅5 veya 1².3.5 gibi sonsuz farklı şekilde ifade edilebilirdi. Bu durum, matematikte tutarlılığı bozar ve algoritmaların verimli bir şekilde işlemesini engellerdi. Bu durumda, Aritmetiğin Temel Teoremi gibi önemli teoremler ek istisnalara ihtiyaç duyardı. Matematiksel ifadelerde bu tür istisnaların sayısının artması, teorinin anlaşılmasını zorlaştırır ve pratik kullanımı karmaşık hale getirirdi.

Bu konu modern matematikçilerin çalışmalarıyla daha da netlik kazanmıştır. Örneğin, ünlü matematikçi G. H. Hardy, 1908 ile 1933 yılları arasında yayımlanan kitabının ilk altı baskısında 1’i asal sayı olarak kabul etmişti. Ancak 1938’de bu tanımı güncelleyerek 2’yi en küçük asal sayı olarak belirledi. Hardy bu değişikliği, matematiksel tutarlılığı sağlama amacıyla yapmıştı. Bu da modern matematikteki asal sayı tanımını kalıcı hale getirdi.

Sonuç olarak

Asal sayıların tanımı, sayı teorisinin temel yapı taşlarından biri olan Aritmetiğin Temel Teoremi ile doğrudan bağlantılıdır. Eğer 1 asal sayı olsaydı, bu teorem matematiksel sistemlerde karmaşıklığa yol açardı. Bu nedenle, matematikçiler 1’i asal sayı tanımının dışında bırakmayı tercih etmişlerdir. Asal sayıların 1’den büyük olması, matematiği daha tutarlı, daha sade ve daha işlevsel hale getirmiştir.

Kaynaklar ve ileri okumalar

• Why Isn’t 1 a Prime Number? Yayınlanma tarihi: 2 Nisan 2019; Kaynak site: Scientific Amerikan. Bağlantı: Why Isn’t 1 a Prime Number?
• Catching primes. Yayınlanma tarihi: 1 Haziran 2008. Bağlantı: Catching primes

Matematiksel, matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak, bilimin bütünsel yapısı itibari ile, diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.

Matematiksel