Bir Sayısı Neden Asal Sayı Değildir?

İlköğretim ve lisede asal sayı şu şekilde tanımlanıyor: “Bir ve kendisinden başka böleni olmayan doğal sayıya asal sayı denir.” Bazı öğrenciler bu tanımdaki eksikliği fark ederler: “O zaman 1 sayısı da asal sayıdır diyemez miyiz hocam.”

Ancak öğrencinin kendi başına bir şey düşünmüş olmasının sevinci uzun sürmez, çünkü öğretmenin yanıtı hazırdır: “Ama sözlerimi daha bitirmemiştim ki… 1’e asal sayı demiyoruz, çünkü en küçük asal sayı 2’dir.” “Ha, o zaman tamam, hocam,” der öğrenci bir anlık şaşkınlıkla. Bu arada öğretmen konuyu işlemeye devam eder.

Ancak öğrencinin kafasında başka sorular belirmiştir. “Neden en küçük asal sayı 2 olsun ki? Neden 1’i de asal sayı kabul etmiyoruz? Tanıma uyuyor sonuçta. 1 ve kendisinden başka böleni yok.” “Ama, matematikte tanımlar sorgulanmaz,” der öğretmen.“ Kitapta da bu şekilde verilmiş, 1 asal değildir.” Öğrencinin bu güzel sorusuna çok daha tatmin edici yanıtlar veren öğretmenler vardır mutlaka.

Ancak bütün ders kitapları, özellikle de soru bankaları ünite başında konuyla ilgili özellikleri ispatsız olarak sıralamayı çok severler. Asal sayının tanımı da hep bu şekilde verilir: “Bir ve kendisinden başka böleni olmayan sayıya asal sayı denir. En küçük asal sayı 2’dir.”

Öğrencinin sorgulamaya zamanı yoktur, ayrıntılara takılmadan yoluna devam etmelidir, daha çözeceği 500 soru vardır. (Bazı dershaneler, öğrencilere günde 500 soru ödev verirler.) Bu arada 1’in neden asal sayı kabul edilmediği sorusu havada kalmıştır.

Asal Sayı Nedir?

Oysa okullarda asal sayıların çok daha güzel bir tanımı kullanılabilir: “(Pozitif) Bölenlerinin kümesi iki elemanlı olan doğal sayılara asal sayı denir.” Ve tabi ki 1 bu tanıma uymamaktadır. Örneğin 6’nın (pozitif) bölenlerinin kümesini yazarsak 4 elemanlı olduğunu görürüz: {1, 2, 3, 6}. Benzer şekilde:

İşte bu yüzden 1 asal sayı kabul edilmez ve en küçük asal sayı 2 olur. Bu arada, tanımın dışında, 1’in asal sayı kabul edilmemesinin esas nedeni, her doğal sayının bir ve yalnız bir şekilde asal çarpanlarına ayrılabileceğini söyleyen teoremdir.

Örnek: Diyelim ki 12 sayısını asal çarpanlarına ayırmak istiyoruz. 12 = 2²×3. Bu açılım başka türlü yazılamaz. (Tabi asalları küçükten büyüğe doğru yazmak ve terimlerin tabanını oluşturan asal çarpanları bir kez kullanmak koşulu ile.) Ancak 1’i asal sayı kabul etseydik asal çarpanlarına ayırmanın farklı biçimleri söz konusu olurdu. Mesela 12’nin asal çarpanlara ayrılışı 12=1¹×2²×3 ya da 12=1⁵×2²×3 biçiminde iki farklı şekilde yazılabilirdi.

Bir Neden Asal Sayı Olamaz!

Bu durumun sakıncası, bu açılıma bağlı formüllerin çalışmaması olacaktı. Örneğin, bir sayının pozitif bölen sayısı, sayının asal açılımında üslerin birer arttırılıp çarpılmasıyla bulunur ve 1’in üssü her doğal sayı olabilir.

Bu nedenle de formül işlemeyecektir. (Daha doğrusu formüllerde 1’in üssünün kullanılamayacağına dair sürekli uyarı yapmak zorunda kalacaktık.)

Ayrıca ilkokulda öğretilen asal çarpanlara ayırma algoritması 1 ile başlayamazdı. Çünkü 1 ile başlandığında bölüm hep aynı çıkacağından, 2’ye geçmek imkânsız hale gelecekti. Bu ve bunun gibi başka nedenlerden 1’i asal kabul etmiyoruz.

Yukarıda önerdiğimiz tanım, en baştan 1’i asal sayılar kümesinden çıkarmaktadır. Sanıyoruz ki ilk ve orta öğretim ders kitapları ve müfredatında bu tanımın kullanılması yerinde olur. Bölen kavramı ilkokulda zaten verilmektedir. Küme kavramı da keza öyle. Dolayısıyla bir öğrenci için bu tanımı kavramak zor olmayacaktır.

Bir Zamanlar Bir Sayısı Asal Olarak Kabul Görmemekteydi

Bu arada hatırlatalım. Bir sayısının asal olup olmadığı bir tanım meselesidir. Ancak tanımlar rastgele yapılmaz. Dokuzuncu yüzyıl Arap matematikçisi Kindi aslında bir sayını bir sayı olarak bile görmemişti. Bu nedenle çift veya tek olmadığını yazmıştı. Bu sayının tüm sayıların yapı taşı olduğu, ancak bir sayı olmadığı görüşü yüzyıllarca sürdü.

1585’te Flaman matematikçi Simon Stevin, 1 rakamı ile diğer rakamlar arasında hiçbir fark olmadığına dikkat çekti. Hemen olmasa da, bu gözlem sonunda matematikçilerin 1’i diğer sayılar gibi bir sayı olarak ele almalarına yol açtı. Sonrasında da 19. yüzyılın sonuna kadar bir çok matematikçi 1 sayısını asal olarak kabul etti.

Bir sayısını asal olarak kabul eden son matematikçinin GH Hardy olduğu düşünülmektedir. 1908 ve 1933 arasında yayınlanan A Course in Pure Mathematics isimli kitabınlk altı baskısında bir sayısı asal olarak yer alır. 1938 yılında ise asal sayıların tanımı 2’yi en küçük asal yapacak şekilde güncellenmiştir. Ayrıca göz atmak isterseniz: Matematikçilerin İkiz Asallar İle İlgili Sorunları Nedir?

Kaynaklar ve ileri okumalar

• Why Isn’t 1 a Prime Number? Yayınlanma tarihi: 2 Nisan 2019; Bağlantı: https://blogs.scientificamerican.com

Matematiksel