Kim demiş matematik işe yaramaz diye? İşte size hayatınızı kolaylaştıracak bir problem. Birazdan okuyacağınız ayakkabı bağlama sorusu, 2008 yılında yani, Fields Madalyası’nı kazanan matematikçi Terence Tao tarafından ortaya atıldı.
Diyelim ki izninizi ayarladınız, kış boyunca biriktirdiğiniz paraya uygun bir otelle anlaştınız, valizinizi hazırladınız ve yolculuğunuza başlamak için hava limanına ulaştınız. Şimdi güvenlikten kapınıza doğru yürüyorsunuz. Bu hava limanı oldukça büyük. Bu nedenle uçağa binmek için yürüdüğünüz yol iki kısımdan oluşuyor. İlk kısım normal bir yol. Ancak ikinci kısımda bir yürüme bandı yer alıyor.
Sabit bir hızla yürüdüğünüzü varsayalım. Bu sabit hızınız u kadar olsun. Yürüme bandının da sabit bir hızı var. Bu da v kadar olsun. Aceleniz olduğu için de yürüme bandının üzerindeyken de yürüdüğünüzü varsayım. Bu durumda hızınız u+v kadar olacaktır.
Uçağa doğru yürürken bir anda ayakkabı bağınızın açıldığını fark ediyorsunuz. Ayakkabı bağınızı her zaman aynı süre içinde bağlayabiliyorsunuz. Bağınızı yürüme bandına binmeden önce mi yoksa bandın üzerinde mi bağlarsanız uçağa bineceğiniz kapıya daha erken ulaşırsınız?
Geç kalmanız durumunda kısa bir süre koşacak kadar kendinizi enerjik hissettiğinizi varsayalım. Diyelim ki w hızıyla koşabiliyorsunuz. Uçağa yetişmek için banda kadar koşup sonra bantta yürümek mi daha mantıklıdır yoksa banda kadar yürüyüp bantta koşmak mı daha iyi olacaktır? Yoksa iki türlü de aynı sonuca mı varılır?
Ayakkabı Bağlama Sorusunun Çözümü Nedir?
Ayakkabı bağlama sorusu için verilecek kısa cevap şu biçimdedir. Ayakkabınızı bağlamanız gerekiyorsa, yürüme bandının üzerindeyken bunu yapın. Ancak koşmanız gerekiyorsa, önce koşun sonrasında yürüme bandına binin.
Şimdi de bu cevapların açıklamasına geçelim. Önce sezgisel cevaplar verelim. A ve B adlı, aynı hızda yürüyen iki kişinin güvenlikten aynı anda yürümeye başladığını hayal edin. A ayakkabısını yürüme bandının tam önünde iken bağlamak için dursun. B ise ayakkabısını banda adım atar atmaz bağlasın. İkisinin de ayakkabı bağlama işi bittiği zaman, B adlı yolcu A adlı yolcunun kesinlikle önünde olacaktır.
Şimdi de sorumuzun ikinci kısmına geçelim. Yolcularımız A ve B aynı biçimde yürümeye başlasın. Ancak A isimli yolcumuz önce koşsun. Bu durumda B isimli yolcu ile aralarında d kadar bir mesafe açılmış olacaktır. Bu durumda A isimli yolcu banda çıktığı anda da B’nin d kadar önündedir. Bant hareket ettikçe A ile B arasındaki mesafe de giderek artacaktır. Yani önceden koşmak daha mantıklıdır.
Sorunun Cebirsel Açıklaması
Şimdi işin içine sayıları sokalım. T = ayakkabı bağlama zamanı (10 saniye) ; u= sizin hızınız ( saniyede 1 metre); v= yürüme bandının hızı ( saniyede 4 metre); D1= Normal yürüyüş yolu (100 metre); D2= yürüme bandının uzunluğu (100 metre) olsun. Bildiğiniz gibi Yol=Hız x Zaman yani Zaman= Yol/ Hız. biçimindedir.
Bu durumda toplam zaman normal yolda yürümek için harcadığımız zaman + yürüme bandında harcadığımız zaman + ayakkabı bağlamak için harcadığımız zaman biçiminde olacaktır. Yani D1/u + D2/(u + v) + T. Yani 100/1 + 100/( 1+4) + 10= 130 saniye. Ancak bu toplam eğer bağcıklarınızı öncesinde bağlarsanız geçerlidir.
Bandın üzerindeyken ayakkabınızı bağlarsanız toplam zamanınız T+ D1/u + D2/(u + v) – T.v/ (u + v) olur. Yani 10+ 100/1 + 100/5 -10.4/5 =122 saniye. ( Burada T.v= ayakkabı bağlama zamanınız boyunca aldığınız yoldur).
Ayakkabımızı neden önceden bağlamamız gerektiğini anladık. Şimdi sorunun ikinci kısmına geçelim. Diyelim ki koştuğumuz zaman saniyede 4 metre (w) gidebiliyoruz. Bu biçimde T saniye kadar hızımızı sürdürüyoruz. ( Kolaylık olsun diye T=10 olsun)
Bu durumda önce koşarsak: T + D1/u – Tw/u + D2/(u + v) yani 10 + 100/1 – 4.10/ 1 + 100/5 =90 saniye yapar. Ancak önce yürüyüp sonra bantta koşarsak (D1/u) + T + D2 / (u+v) – T(w+ v))/(u + v) denklemi karşımıza çıkacaktır. Yani 100/1+ 10+ 100/ 5 – 10.8/5= 114 saniye yapar. Bu durumda anlıyoruz ki öncesinde koşarsak daha az zaman harcıyoruz.
Bu sorudan çıkarmamız gereken ders şudur. Eğer uçağa yetişmek istiyorsak yürüyen banda kadar koşup, yürüyen banda adım attıktan sonra dinlenmeliyiz. Ayakkabımızı da bu esnada bağlamalıyız.
Kaynaklar ve ileri okumalar
- Did you solve it? Where’s the best place to tie your shoe in an airport? Yayınlanma tarihi: 26 Haziran 2016; Bağlantı: https://www.theguardian.com
- An airport-inspired puzzle; bağlantı: https://terrytao.wordpress.com/
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
