Pi Günü, her yıl 14 Mart’ta (3/14) kutlanan ve dünyanın en ünlü matematik sabitlerinden biri olan π (pi) sayısını onurlandıran özel bir gündür. Bu yıl, Pi Günü’nü daha farklı bir şekilde kutlamak isterseniz, basit bir fizik deneyi ile pi sayısını hesaplamayı deneyebilirsiniz. Bu yazıda çarpışan toplar yardımı ile pi sayısını hesaplamayı öğrenelim.
Bu ilginç deney, matematikçi Gregory Galperin tarafından 2001 yılında formüle edilmiştir. Deney, çarpışan cisimlerin kütleleri arasındaki matematiksel ilişkiyi ve enerjinin korunumu yasasını kullanarak çalışır.
Çarpışan Toplar ile Pi Sayısı Hesaplaması
Düşünce deneyi şu şekilde ilerliyor: Bir duvarın önünde duran küçük bir kütle m ve ona doğru hareket eden daha büyük bir kütle M var. Tüm çarpışmalar esnek, yani enerji ve momentum korunuyor. Küçük kütle, duvara çarptığında momentum korunmaz, sadece yönü tersine döner.
Başlangıçta m duruyor (v=0) ve M birim hızla hareket ediyor (V=1). Eğer iki kütle eşit olursa, çarpışma sonrası M tamamen durur ve m, duvara doğru hareket eder. Duvara çarptığında geri döner ve tekrar M ile çarpışır. Toplamda üç çarpışma gerçekleşir.
Ancak, M’nin kütlesini artırdıkça çarpışma sayısı değişir. Eğer M, m’nin 100 katı olursa, m duvar ve M arasında defalarca gidip gelir, sonunda 31 çarpışma yaşanır. Eğer M, m’nin 10.000 katı olursa, çarpışma sayısı 314 olur. Daha da artırırsak:
- M=1003×m → 3.141 çarpışma
- M=1004×m→ 31.415 çarpışma
Bu sayı dizisi π=3.1415… sayısının ilk basamaklarını takip ediyor! Genel olarak, M=100N×m olduğunda, toplam çarpışma sayısı π’nin ilk N+1 basamağını verir. Bu sürecin nasıl olup da π sayısının basamaklarını ortaya çıkardığını anlamak gerçekten şaşırtıcı. π denildiğinde aklımıza genellikle çemberler gelir. Peki burada gizli bir çember mi var? Evet, var!
Çarpışan Toplar İle Pi sayısının İlişkisi Nedir?
Bu bağlantıyı görmek için enerji korunumu denklemine daha yakından bakmak gerekir. Çarpışmalar sırasında kinetik enerji korunur ve momentum transferi belirli bir düzene göre gerçekleşir. Daha büyük kütleler arasındaki çarpışmalar, bir tür dairesel hareketle ilişkili bir model oluşturur.
Momentum korunumu ve enerji korunumu denklemlerini kullanarak, her çarpışmadan sonra hızların nasıl değiştiğini belirleyebiliriz. Çarpışma sistemine dikkatlice bakıldığında, büyük kütlenin küçük kütleye momentum aktarması ve çarpışmaların belirli bir düzenle gerçekleşmesi, dönen bir sistemin periyodik hareketine benzer bir örüntü oluşturur.
Kütle oranı (r=m/M ) büyüdükçe, çarpışmaların sayısı belirli bir matematiksel kurala göre artar. Bu kural, çarpışma sayılarının π’nin basamaklarını takip etmesine neden olur.
Sonuç olarak
Bu fenomen ilk olarak G. Galperin tarafından keşfedilmiş ve daha sonra matematikçiler tarafından analiz edilmiştir. Görünüşte basit bir çarpışma problemi, π\piπ’nin basamaklarını ortaya çıkaran bir örüntü içerdiği için şaşırtıcı bir şekilde çembersel geometriye bağlanmaktadır. Bu, fizik ve matematiğin birbirine nasıl derinden bağlı olduğunu gösteren harika bir örnektir.
Kaynaklar ve İleri Okumalar:
- The most unexpected answer to a counting puzzle; yayınlanma tarihi:13 Mart 2019; Bağlantı: https://www.youtube.com
- Galperin, G.. (2003). Playing pool with π (the number π from a billiard point of view). Regular and Chaotic Dynamics. 8. 10.1070/RD2003v008n04ABEH000252.
- Pi Day: How to calculate pi using a cardboard tube and a load of balls; Yayınlanma tarihi: 13 Mart 2020. Kaynak site: New Scientict. Bağlantı: Pi Day: How to calculate pi using a cardboard tube and a load of balls/
- Urban Maths: Computing Pi – Inefficiently!; Bağlantı: https://ima.org.uk/
- Pi and Bouncing Balls – Numberphile; Bağlantı: https://www.youtube.com/watch?v=abv4Fz7oNr0
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
