Bir Sayının Beşinci Derecen Kökünü Aklınızdan Bulabilir misiniz?

Bir sayıyı beş defa kendisi ile çarptığımız zaman sayının beşinci kuvvetini buluruz. Örneğin 2 sayısını beş defa çarptığımız zaman 2⁵ yani 32 sonucunu elde ederiz. Şimdi bu işlemin tersini düşünelim. Herhangi bir sayı verildiğinde bu sayının, hangi sayının kendisiyle 5 kez çarpımı sonucunda olduğunu bulabilir miyiz?  

Bu sorunun cevabını bulmak amacıyla yapılan işleme beşinci dereceden kök alma işlemi denir. Örneğin 32 sayısını düşünelim. 32 sayısının 5’nci dereceden kökü ⁵√32=2 olarak gösterilir. Çünkü 2x2x2x2x2=32 yapmaktadır. Peki, 79235168 sayısının hangi sayının beş defa kendisi ile çarpılması sonucunda olduğunu söyleyebilir misiniz?

Elinizde bir hesap makinesi var ise bu işlemi yapmak çok da zor sayılmaz. Ama verilen herhangi bir iki basamaklı sayının beşinci kuvvetine bakarak da kısa süre içinde sayıyı bulmanın ilginç bir yolu daha var. Üstelik bu yöntemi bir matematik dehası olmanıza gerek kalmadan temel bir kaç kavramı ezberleyerek siz de uygulayabilir ve etrafınızı şaşırtabilirsiniz.

Birinden 1’den 99’a kadar herhangi bir iki basamaklı bir sayıyı hesap makinesi yardımı ile beş kez kendisi ile çarpmasını isteyin. Çarptığı sayıyı size göstermesin. Sadece sonucu göstersin. Bu yöntem ile bir kaç saniye içinde hangi sayıyı çarptığını bulabilirsiniz. Ancak elbette öncesinde bir miktar bilgiye ihtiyacınız olacak.

Euler teoremi veya Fermat-Euler Teoremi 

Bu şaşırtıcı çözüm ise aslında temelini daha doğrusu birler basamağını, Euler teoreminden almaktadır. Euler teoremine göre herhangi bir a pozitif tamsayısı için a⁵ ve a sayılarının birler basamağı aynıdır. ( Teoremin ispatına girmeden sonucu üzerinden ilerliyoruz.)

Örneğin, 7⁵ = 7 x 7 x 7 x 7 x 7 işleminin sonucu 16807 biçimindedir. Benzer şekilde, 24⁵ = 24 x 24 x 24 x 24 x 24=7962624 yapacaktır. Beşinci kuvvetini aldığımız sayının birler basamağı ile sonucun birler basamağının aynı olduğuna dikkat ediniz.

Sonuç olarak çarpımın son basamağına bakarak orijinal sayının son basamağını nasıl bulacağımızı anladık. Peki, ilk basamağı nasıl bulacağız? Bu kısım biraz daha karışık ama nasıl yapıldığını anladıktan sonra da uygulaması kolay.

Bunun için yapmanız gereken çarpımın birler basamağının solundaki dört basamağı (yani, onlar, yüzler, binler ve on binler basamağını) yok saymak olacak. İsterseniz bir kalem ile üzerlerini çizip görmezden de gelebilirsiniz. Bu sayede kalan rakamlara daha kolay konsantre olursunuz. Yukarıda verdiğimiz 16807 örneğinde dört basamağı 16807 biçiminde sildiğiniz zaman geriye sadece 7 sayısı kalacaktır. Aslında bu zaten aradığımız cevaptır.

Şimdi, yazının başında verdiğimiz 79235168 sayısının 5’inci dereceden kökünü hesaplamaya çalışalım. Dört basamağı kapadığımız zaman 79235168 geriye sadece 792 sayıyı kalacaktır. Şimdi aşağıdaki tabloya dikkat edin.

Beşinci Dereceden Kök Bulma Probleminin Çözümü

Yapmamız gereken 792 sayısının bu tabloda nereye denk geldiğini bulmak. Ne yazık ki bu tabloyu aklınızda tutmuş olmanız gerekiyor. Sonucunda birilerini şaşırtmak istiyorsanız bir miktar çaba harcamalısınız. Sorumuza dönersek aşağıda da gördüğünüz gibi 792 sayısı tabloda 3 sayısına karşılık geliyor. Bu demektir ki sayımızın onlar hanesi 3 olmak zorunda. Sonucunda da sayımız 38 olarak bulunmuş oluyor.

Bir örnek daha yapalım. Bu sefer ki sayımız 69343957 olsun. Aradığımız sayının birler basamağının 7 olduğunu çarpıma bakarak anlayabiliyoruz. Onlar basamağını bulabilmek için de 7 sayının yanındaki dört basamağı kapatıyoruz. Yani 69343957.

Bu durumda geriye 693 sayısı kaldı. Tabloya bakarak sonucun 3 olduğunu görebiliriz. Yani 37⁵ = 69343957 olmaktadır. Bu esnada aklınıza, “geriye kalan sayının sınırda olması durumunda ne yapacağız?” sorusu gelebilir. Yani geriye kalan 230 olursa ne olacak? 2 mi yoksa 3 mü alacağız? Ancak endişe etmeyin. Geriye kalan asla sınırdaki sayılardan birisi olmayacaktır.

Son bir örnek daha yapıp yazımızı noktalayalım. Bu sefer ki sayımız da 7339040224 olsun. Aradığımız sayının ilk basamağı 4. Sonrası için yukarıdaki prosedürü takip edelim. Yani, 7339040224. Bu durum da geriye kalan sayımız 73390. Bu sayının tablodan karşılığına baktığımız zaman da 9 sayısını görüyoruz. Yani aranan sayımız 94 idi. Aktardığımız bu yöntem ile, konu hakkında biraz pratik yaparak beşinci dereceden kök hesabını kolayca yapmanız mümkün.

Kaynaklar ve ileri okumalar:

• Fifth Root Trick – Numberphile; Yayınlanma tarihi: 15 Şubat 2014; Bağlantı: https://www.youtube.com
•  Edward H. Julius; More Rapid Math Tricks and Tips: Tricks and Tips: 30 Days to Number Mastery (1996)

Size Bir Mesajımız Var!

Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.

Matematiksel