İtalyan matematikçi Vincenzo Viviani’nin (1622–1703) adını günümüzde onun adı ile anılmakta olan Viviani teoremi ile duymuş olabilirsiniz. Ancak ne yazık ki pek çok kimse teoremin ardındaki bu ünlü matematikçiyi fazla tanımamaktadır.
Oysa ki onun adı Galileo Galilei ile birlikte ölümsüzleşmiştir. Bunun nedeni bu başarılı gencin Galileo’nun görme yetisini tamamen yitirdiği dönemde, henüz 17 yaşında olmasına rağmen onun asistanı olmasıdır. Viviani, Galileo’nun ölümüne kadar bu rolünü sürdürmüştür.
Viviani bu dönem boyunca Galileo’dan çok şey öğrendi ve onunla fizik ve geometri üzerinde çalıştı. Bununla birlikte, zaman içinde ilişkileri bir asistan ilişkisinin çok ötesine geçti ve daha çok bir baba ve oğul ilişkisine dönüştü.
Galileo’nun 1642’deki ölümünden sonra, Viviani ustasının çalışmalarını bir araya getirecekti. Bu esnada da Evangelista Torricelli ile ilişkilerini sürdürecekti. Galileo’nun ölümünden sonra Torricelli’den Galileo’nun yerini alması ve Pisa Üniversitesinde görev yapmasını istendi. Bu dönemde Viviani onun da asistanlığını yapmaya devam etti. 1644’te Viviani, Torricelli ile birlikte barometrenin geliştirilmesine yol açan deneyi gerçekleştirdi.
Uzun kariyeri boyunca Viviani, matematiksel ve bilimsel konularda çok sayıda kitap yayınladı. Kendisinin çalışma konularından birisi de sesin hızını ölçmekle ilgiliydi. Bununla birlikte, adı en çok Viviani teoremi ile ölümsüzleşti.
Viviani Teoremi Nedir?
Bir eşkenar üçgenin içindeki bir noktanın üç kenara olan uzaklıkları toplamı üçgenin yüksekliğine eşittir. Aslında bunun ispatını yapmak da son derece basittir. Daha detaylı anlamak için aşağıdaki görsele göz atalım.
Üçgenin kenar uzunluğuna s ve yüksekliğine h dersek, üçgenin alanını üç ayrı üçgen alanının toplamı biçiminde hesaplayabiliriz. Bu da bize 1/2 s.a + 1/2 s.b+ 1/2 s.c = 1/2 s.h’yi verir. Devamında da 1/2s.( a + b + c) = 1/2 s.h sonucuna ulaşırız. Gerekli sadeleştirmelerin ardından da a + b + c = h sonucuna ulaşırız. Gördüğünüz gibi Viviani teoreminin son derece basit bir sonucu vardır. İsterseniz aşağıdaki görselde bu ispatın sadece görsel düzenleme ile yapılmış haline de bakabilirsiniz.
Oldukça zekice sorulmuş bir soruya göz atalım. Elimizde 1 birim uzunluğunda bir çubuğumuz olsun. Bu çubuğu a, b ve c biçiminde üç parçaya ayıralım. ( a + b + c =1). Şimdi bu üç parçayı birleştirerek bir üçgen yapmak isteyelim.
Viviani Teoremi Yardımı İle Bir Olasılık Sorusu Çözelim
Bildiğiniz gibi bu ancak parçalarımız üçgen eşitsizliğini sağlarsa mümkün olacaktır. Yani iki kenarın toplamı üçüncü kenardan büyük olmalıdır. Bu durumda eşitsizliğin her iki tarafına yapacağımız eklemeler ile aşağıdaki sonuçları elde edebiliriz.
- a + b > c⇒ 1= a + b + c > 2c
- a + c > b⇒ 1= a + b + c > 2b
- b + c > a⇒ 1= a + b + c > 2a
Yukarıdaki eşitsizlikleri incelerseniz, her bir parçanın uzunluğunun 1/2’den küçük olması gerektiğini fark edeceksiniz. Sorumuz şu şekilde: Bir çubuk üç parçaya bölündüğünde her parçanın uzunluğunun 1/2’den az olma olasılığı nedir?
Sonucunda oldukça zor bir olasılık sorusu gibi gözüküyor. Sonuçta rastgele ayırdığımız üç parçanın her zaman üçgen eşitsizliğini sağlaması mümkün değil. Bu nedenle sayı denemenin ötesinde bir düşünce biçimine ihtiyacımız var. İşte bu noktada bir kere daha Viviani Teoremine göz atabiliriz.
Sonucunda a + b + c = 1 ile sıralı bir üçlü sayı (a, b, c) seçmenin bir yolunu arıyoruz. Yüksekliği 1 olan bir eşkenar üçgen çizersek, o zaman Viviani teoremi bu tür üçlülerin her birinin üçgenin içinde benzersiz bir noktaya karşılık geldiğini gösterir.
Bunu yaptıktan sonrada soruya farklı bir açıdan yaklaşalım. Yukarıdaki üçgeni duvara asıp, dart atmaya başladığınızı düşünün. Daha sonrasında da dartın düştüğü yerden belirtilen a, b ve c mesafelerini ölçün. Bir üçgenin var olabilmesi için her kenarın 1/2’den küçük olması gerektiğini başta bulduk.
Bu durumda dartımız yukardaki üçgenin sadece renklendirilmiş ortadaki bölümüne düşmüş olmalıdır. Bunun meydana gelme olasılığı yani problemin cevabı 1/4 olacaktır. Sonucunda bazı problemleri çözebilmek için soruna bambaşka bir açıdan bakmanız gerekecektir. Bu problem buna aslında güzel bir örnektir.
Kaynaklar ve ileri okumalar:
- Viviani’s Theorem; Bağlantı: https://en.wikipedia.org/wiki/Viviani%27s_theorem
- James Tanton; How Round Is a Cube? And Other Curious Mathematical Ponderings; LCCN 2019004260 | ISBN 9781470451158
- Villiers, Michael. (2013). 3D Generalisations of Viviani’s theorem. The Mathematical Gazette. 97. 441-445. 10.1017/S0025557200000188.
- Abboud, Elias. (2010). Viviani’s Theorem and Its Extension. The College Mathematics Journal. 41. 203-211. 10.4169/074683410X488683.
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
