1997 yılında, önceki basamakları hesaplamaya gerek kalmadan pi sayısının herhangi bir basamağını doğrudan hesaplamaya izin veren bir formül keşfedildi. Bu formül, David Bailey, Peter Borwein ve Simon Plouffe tarafından bulunduğu için, onların adlarının baş harflerinden oluşan BBP formülü (Bailey-Borwein-Plouffe formülü) olarak adlandırıldı.
Bailey Borwein Plouffe, pi’nin belirli bir basamağını hesaplamak için tüm önceki basamakları bilme zorunluluğunu ortadan kaldırarak bu alanda önemli bir dönüm noktası oldu. Bu keşif, pi sayısının hesaplanma yöntemlerine yepyeni bir bakış açısı kazandırdı.
Pi Sayısını Yıllar İçinde Öğrendik
Arşimet, bir dairenin içine ve çevresine çizilen çokgenleri kullanarak pi sayısını hesaplamaya çalıştı. 1666 yılında Isaac Newton, pi sayısının ilk 15 ondalık basamağını hesapladı ve bunu can sıkıntısından yaptığını söyledi. 1761’de İsviçreli matematikçi Johann Lambert, pi’nin irrasyonel bir sayı olduğunu kanıtladı.
Bundan bir asırdan fazla bir süre sonra, Ferdinand von Lindemann pi’nin aşkın bir sayı olduğunu ispatladı. Bu, pi’nin tam sayı katsayılı hiçbir polinomun kökü olamayacağı anlamına geliyordu. Aynı zamanda, antik Yunan’dan beri bilinen bir matematiksel soruya da kesin bir yanıt sundu: Bir dairenin alanına eşit bir kare çizmek, yani dairenin karelenmesi imkansızdı.
Bilgisayar çağıyla birlikte, pi’nin bilinen basamaklarının sayısı hızla arttı. 1949’da ENIAC bilgisayarı, pi’nin iki binden fazla basamağını hesapladı. Bu veriler içinde John von Neumann bir desen aradı, ancak herhangi bir düzen bulamadı.
1973’te pi bir milyon basamağa, 1989’da bir milyar, 2002’de ise bir trilyon basamağa ulaştı. Bugün, pi’nin 62,8 trilyon basamağı biliniyor. Matematikçiler, her geçen gün yeni basamakları keşfetmeye devam ediyor. Ancak yoğun çalışmalara rağmen hala yanıtlanmamış temel sorular var.
Örneğin, pi’nin basamakları rastgele sıklıkta ortaya çıkıyor gibi görünüyor. Ancak bunun gerçekten böyle olup olmadığını kanıtlayamadık. Her ne kadar düzensiz bir dağılım sergilese de, pi’nin tamamen rastgele bir sayı olduğu da söylenemez. Çünkü biz tahmin edemesek de, her basamağın değeri belirli ve değişmezdir.
Pi’nin normal bir sayı olup olmadığı da bilinmeyen konular arasında. Bir sayı, ondalık sistemde her rakam dizisinin eşit olasılıkla ortaya çıkması durumunda normal sayı olarak kabul edilir. Bu tür sayılar, teknik olarak rastgele olmasalar bile, rastgeleymiş gibi bir dağılım sergiler.
Pi’nin normal olup olmadığını belirlemek için yapılan istatistiksel testler, şimdiye kadar kesin bir sonuca ulaşamadı. Ancak elimizde önemli bir ipucu var: Basamak sayısı arttıkça her rakamın görülme sıklığı birbirine yaklaşıyor. Bu da pi’nin normal bir sayı olabileceğine dair güçlü bir gösterge olarak kabul ediliyor.
Bailey Borwein Plouffe Formülü Neden Farklıdır?
Bailey-Borwein-Plouffe formülünü özel kılan şey, pi’nin herhangi bir basamağını, önceki basamakları hesaplamadan doğrudan bulabilmesidir. Klasik yöntemlerde, pi’nin belirli bir basamağına ulaşmak için önceki tüm basamakların hesaplanması gerekiyordu. Bu da büyük sayıların hesaplanmasını zorlaştırıyordu. Ancak bu formül, pi’nin belirli bir onaltılık (hexadecimal) basamağını atlayarak doğrudan bulmayı mümkün kılar.
Simon Plouffe, Matematiksel Sabitler Ansiklopedisi adlı bir çalışmada, pi’yi tanımlayan yeni serileri incelerken, onaltılık sistemde doğrudan basamak hesaplamaya olanak tanıyan bir formül arayışına girdi. O sırada Bailey ve Borwein, Gamma fonksiyonu ve sonsuz serilerle ilgili araştırmalar yapıyordu.
Üç araştırmacı, birlikte çalışarak Chudnovsky algoritması ve diğer sonsuz serilerle ilgili önceki çalışmaları inceledi. Sonunda, aşağıdaki formülü keşfettiler. Formülün keşfi büyük bir ustalık gerektirdi, ancak bir kez bulunduğunda kanıtı şaşırtıcı derecede basitti.
Bu formülde, her terim bağımsız olarak hesaplanır. Yani, önceki basamakları hesaplamaya gerek kalmadan, pi’nin herhangi bir onaltılık (hexadecimal) basamağı doğrudan bulunur.
Bailey-Borwein-Plouffe formülünün en ilginç yanlarından biri, varyasyonlarının yalnızca pi için değil, diğer irrasyonel sayılar için de kullanılabilmesidir. Onaltılık taban, ikilik (binary), dörtlük ve sekizlik tabanların katı olduğu için, gerekli düzenlemeler yapıldığında bu tabanlarda da pi’nin belirli basamakları hesaplanır.
Bu yöntemin gücünü, 2010 yılında Yahoo’dan Nicholas Size gösterdi. Sze, BBP formülünün ikilik sistem versiyonunu kullanarak, pi’nin iki katrilyonuncu basamağını hesapladı ve bu basamağın 0 olduğunu tespit etti. Böyle bir sonuç, Bailey Borwein Plouffe formülü olmasaydı mümkün olamazdı.
Peki, BBP formülü gibi başka formüller var mı? Bilmiyoruz. Ancak kesin olan bir şey var: “Hayır, yok” diyemeyiz. Matematik, her zaman yeni keşiflere açık bir alan olmaya devam ediyor.
Kaynaklar ve ileri Okumalar
- Bailey, David & Borwein, Peter & Plouffe, Simon. (1996). On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants. Mathematics of Computation. 66. 10.1090/S0025-5718-97-00856-9.
- Bailey, David. (2006). The BBP Algorithm for Pi. 10.2172/983322.
- Bailey–Borwein–Plouffe formula; Bağlantı: https://en.wikipedia.org/
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
