Matematikçiler, Bach’ın yüzlerce eserini analiz ettiler ve müziğinin sandığımızdan çok daha etkileyici olabileceğini keşfettiler…
Barok Alman besteci Johann Sebastian Bach tüm zamanların en büyük bestecilerinden biridir. Füg ve org müziğinin babası, son derece üretken bir müzisyendi ve yaşamı boyunca 1100’den fazla eser yazmıştı. Eserleri üzerinde yorum yapan müzik tarihçileri her birinin ayrı bir zekâ ürünü olduğu konusunda hemfikirdir.
Bestecinin son derece matematiksel bir beyne sahip olduğu da bilinmektedir. Ayrıca kendisi sayılara takıntılı bir müzisyendi. Özellikle 14 ve 41 sayısının onun için özel bir anlamı vardı. Bach da, soyadının (BACH) harflerinin sayılara çevrilip toplandığında 2 + 1 + 3 + 8 = 14 olduğunu keşfetmiş ve devamında bu sayı onun imzası haline gelmişti.
Ayrıca kanonları da matematiksel bir düşünce biçimi ile oluşturulmuştu. Belki de bu nedenle Bach bestelerinin insanlar üzerinde kalıcı bir etkisi vardır. Bize bir mesaj aktarır gibidir. Bir çalışma, Bach’ın müziğinin düşündüğümüzden çok daha karmaşık olabileceğini ortaya çıkardı. Çalışmanın detaylarına geçmeden önce Bach’ın müziğinin arka planındaki matematiksel ilişkiyi kısaca anlamaya çalışalım.
Müzikte Kanon Nedir?
Müzikte bir çeşit çok seslilik kuralı ile yapılmış parçalara kanon denir. Önce birinci ses girer. Sabit bir süre geçtikten sonra tamamıyla aynı anahtardan onun “kopyası” girer. İkinci ses için de aynı sabit süre geçtikten sonra üçüncü ses girer. Böyle devam eder.
Kanonların çok daha karmaşık çeşitleri de vardır. Karmaşıklığı artıran ilk adım, temanın kopyasının yalnızca zaman aralıklarıyla değil farklı perdelerle söylenmesiyle olur. Örneğin birinci ses temaya Do sesiyle başlar. Ancak ikinci ses dört nota yüksekten sol sesiyle başlayarak aynı temayı söyler. Karmaşıklığın ikinci adımı farklı seslerin hızları eşit olmadığında ortaya çıkar. Yani ikinci ses birinci sesin iki katı hızlı veya iki katı yavaş olur.
Daha bitmedi! Kanon kuruluşunda karmaşıklığın sonraki adımı temayı çevirmedir. Bach’ın eserlerinde çevirmeler sıkça karşımıza çıkar. Bunun en iyi örnekleri Müzikal Sunu’da (Musical Offering) karşımıza çıkar. En karmaşık kanon türü de ters yönde olanlardır. Yani tema zaman içinde sondan başa doğru çalınır. Bu hilenin kullanıldığı kanon, yengeç kanonu diye adlandırılmaktadır.
Müziğin Aktardığı Bilgiyi Ağlar Yardımı İle Ölçebiliriz
Bazı besteler melodileri, armonileri ve ritimleriyle izleyiciyi duygusal bir yolculuğa çıkarır ve hikayeler anlatır. Ancak bir eserin içerdiği bilgi ve eserin bu bilgiyi iletmedeki etkinliğini ölçmek mümkün müdür? Pennsylvania Üniversitesi’ndeki araştırmacılar, bu niceliksel değerlendirmeleri gerçekleştirmek için ağ teorisine dayalı bir çerçeve geliştirdiler.
Bach’ın müziği üzerine yapılan bu yeni çalışmada, matematikçi Suman Kulkarni ve Pensilvanya Üniversitesi’ndeki meslektaşları, yüzlerce prelüd, füg, koral, toccata, konçerto, süit ve kantatı analiz ederek Bach’ın çalışmalarına odaklandılar. Bu araştırmada Bach tercih edilmesinin nedeni çalışmalarının son derece matematiksel bir yapıya sahip olması idi.
Bilgiyi Ölçmek Mümkün mü?
20. yüzyılın büyük mühendisleri arasında yer alıp, 21. yüzyıl teknolojilerimize en çok katkı sağlayan kimdir? Bir çok aday olsa da Claude Shannon aralarından bir adım öne çıkar. Shannon en çok bilgi teorisi alanını oluşturmasıyla tanınır. Shannon’un 1948 yılında yayınlanan “A Mathematical Theory of Communication” adlı çalışmasında iletişimin matematiksel bir modellemesini yaparak, bilgi teorisinin temelini oluşturmuştu.
Günümüzde kullanamaya aşina olduğumuz bit kavramı da ilk olarak bu çalışma ile tanıtılacaktı. Bir bit sadece 0 ya da 1 değerini alsa da yeterli sayıda bit kullanılarak her türlü sayı, ses, görüntü oluşturmak mümkündü. Shannon’ın teorisinin en beklenmeyen sonucu bilginin doğası ne olursa olsun – ister Shakespeare sonesi, Beethoven’ın Beşinci Senfonisi’nin bir kaydı veya bir Kurosawa filmi – onu bitlere kodlamanın her zaman en mümkün olduğuydu. Araştırmacıların son çalışmalarında yaptıkları da tam olarak buydu.
Bach’ın Müziği Ne Tür Bir Bilgi Aktarıyor ve Bu Ne Anlama Geliyor?
Shannon bilgiyi temsil etmek için saniyedeki minimum bit sayısı için aşağıdaki formülü bulmuştu. Bu sayıya entropi oranı, H adını verdi. Bu sayı, kaynağın hangi mesajı üreteceğini belirlemede yer alan belirsizliği ölçüyordu.
Çalışmada da bu formül ile her ağdaki bilgi miktarı ölçüldü. Örneğin korollar daha çok kiliselerde söylenmek üzere bestelenmiş basit parçalardı ve bu nedenle bilgi içerikleri düşüktü. Ancak toccatalar ve prelüdler, insanları eğlendirmeyi ve şaşırtmayı amaçlıyordu. Karmaşıklıkları sayesinde de bol miktarda bilgi iletiyorlardı. Daha sonra araştırmacılar, her bir müzik ağının toplam bilgisini, bir insan dinleyicinin bundan toplayabileceği bilgi miktarıyla karşılaştırdı.
Peki ama bu bizim için ne anlama geliyor? Şöyle düşünelim. Tek notalı bir müzik parçasını öğrenmek kolay olacaktır. Bu arada burada kullandığımız “öğrenmek”, duyduğumuz seslerin doğru zihinsel temsillerini oluşturmak anlamına gelir. Yani tek notalı bir eserde bir sonraki sesin ne olacağını kolayca tahmin edebiliriz. Çünkü beyinlerimiz daha öncekilere dayanarak belirli bir sesin daha sonra gelme olasılığının ne kadar olduğunu tahmin eder. Bu nedenle bir piyano dinlerken kimi durumlarda son nota çalınmasa bile siz bu notanın ne olması gerektiğini tahmin edersiniz.
Şimdi bunu bütün bir beste için düşünün. Çoğu zaman, o ana kadar duyduklarınıza dayanarak melodideki bir sonraki notayı tahmin edebilirsiniz. Ama bazen beklemediğiniz bir nota sizi şaşırtacaktır. Müziğe gücünü veren de zaten budur. Yukarıda özetlediğimiz çalışmada da araştırmacılar Bach’ın hangi bestelerinin bizi şaşırtma potansiyeline sahip olduğunu belirlemiş oldular.
Sonuç Olarak
Bu çalışma size çok önemli bir bulgu gibi gelmemiş olabilir. Ancak öncelikle bir sanat eserinin matematiksel olarak incelenmesi kendi başına önemli bir gelişmedir. Ayrıca bu konuda yapılacak yeni çalışmaların sanatçılar, sosyologlar, müzikologlar ve sinirbilimciler arasında ortak bir çalışma alanı yaratacağı düşünülmektedir. Son olarak doğası ne olursa olsun bilgiyi ölçmek mümkündür diyen Shannon haklıdır.
Kaynaklar ve ileri okumalar
- Secret Mathematical Patterns Revealed in Bach’s Music. Yayınlanma tarihi: 16 Şubat 2024. Kaynak site: Scientific America. Bağlantı: Secret Mathematical Patterns Revealed in Bach’s Music
- Kulkarni, Suman & David, Sophia & Lynn, Christopher & Bassett, Dani. (2023). Information content of note transitions in the music of J. S. Bach. ArXiv.
- Measuring the Information Delivered by Music. Yayınlanma tarihi: 2 Şubat 2024. Kaynak site: Physics. Bağlantı: Measuring the Information Delivered by Music
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak veya Patreon üzerinden ufak bir bağış yaparak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
