Her oylama sistemi, kaçınılmaz olarak kendi sorunlarıyla birlikte gelir. Bu nedenle matematikçiler yüzyıllar boyunca adil bir seçim sistemi bulmaya çalışmıştır. Daha iyi ya da daha adil bir sistem arayışı, iktisatçı Kenneth Arrow’un 1950 yılında “imkânsızlık teoremi”ni yayımlamasına kadar sürmüştür.
Stanford Üniversitesi profesörü Kenneth Arrow, iktisat alanına yaptığı kalıcı ve etkili katkılar sayesinde, tarihin en önemli iktisatçıları arasında gösterilmektedir. Çalışmaları, seçim sonuçlarının neden her zaman seçmen çoğunluğunun tercihlerini yansıtmadığını anlamamıza önemli ölçüde katkı sağlamıştır.
1972 yılında, Kenneth Arrow rekabetçi piyasalarda arz ve talep üzerine yaptığı temel çalışmalar nedeniyle Nobel Ekonomi Ödülü’ne layık görüldü. Ancak, Arrow’un toplumsal tercih teorisi, finansal menkul kıymetler ve sağlık ekonomisi alanlarına yaptığı katkılar sayesinde birden fazla Nobel ödülünü hak etmiş olabileceği de sıklıkla dile getirilmiştir.
Oldukça soyut bir yaklaşım benimsemesine rağmen, matematiksel sonuçlarından elde edilen içgörüler hem geniş hem de derin bir etki yaratmıştır. Örneğin, risk ve belirsizliği modelleme konusundaki çalışmaları, finans sektöründe geniş çapta uygulama alanı bulmuştur.
Arrow İmkansızlık Teoremi Nedir?
Toplumsal tercih teorisi, insanların bireysel tercihlerini dikkate alarak adil ve ilkelere dayalı ortak kararlar almayı inceler. Bu tür kolektif kararlar sadece siyasi seçimlerde veya Oscar ödüllerinde değil; örneğin birkaç adayın iş görüşmesine alındığı bir jüri değerlendirmesi gibi günlük yaşamda da sıkça karşımıza çıkar.
Arrow’un toplumsal tercihle ilgili en önemli bulgusu, 1940’lı yılların sonlarında Columbia Üniversitesi’nde doktora yaparken ortaya çıkmıştır.
Diyelim ki tüm seçmenler, adayları kendi tercihlerine göre sıralıyor. Biz de bu bireysel sıralamaları kullanarak herkesi temsil eden ortak bir sıralama elde etmek istiyoruz. Bu ortak sıralamayı oluşturmak için bir oylama yöntemi kullanacaksak, bu yöntemin şu temel özelliklere sahip olması gerekir.
- Eğer her seçmen A adayını B adayına tercih ediyorsa, ortak sıralamada da A, B’nin önünde yer almalıdır.
- Eğer seçmenlerin A ile B arasındaki tercihleri değişmiyorsa, A ile B’nin ortak sıralamadaki göreli konumu da değişmemelidir.
- Hiçbir seçmenin tercihi, her durumda ortak sıralamayla birebir aynı olmamalıdır. Başka bir deyişle, hiçbir seçmen “diktatör” gibi davranıp diğer tüm seçmenlerin tercihlerini geçersiz kılamamalıdır.
Arrow, şaşırtıcı bir keşifle, herhangi bir oylama kuralının bu üç özelliği aynı anda sağlamasının matematiksel olarak imkânsız olduğunu ortaya koymuştur.
Arrow’un imkânsızlık teoremi, şöyle yorumlanabilir. Mükemmel bir oylama yöntemi yoktur. Her birey ne kadar rasyonel olursa olsun, grup tercihlerini tamamen tutarlı hâle getirmek mümkün değildir.
İlginç bir şekilde, Arrow’un tanımladığı bu paradoks, aday sayısı üçten az olduğunda ortadan kalkar. Yani yalnızca iki aday varsa, çoğunluğun tercih ettiği adayı seçmek, bu üç koşulu da yerine getirir.
Arrow İmkansızlık Teoremi İçin Bir Örnek
Yedi seçmenin olduğu bir durumu ele alalım. Bu seçmenlerin iki adaya dair tercih sıralamaları şu şekilde olsun:
- 4 seçmen: Ayşe > Barış
- 3 seçmen: Barış > Ayşe
Bu durumda, makul herhangi bir oylama kuralı kullanıldığında, Ayşe, Barış’ın üzerinde yer almalıdır. Ancak üçüncü bir aday, Can, eklendiğinde matematiksel olarak işler değişir. Diyelim ki Can da seçime katılıyor ve yedi seçmenin aday sıralamaları şu şekilde değişiyor:
- 2 seçmen: Ayşe > Barış > Can
- 2 seçmen: Can > Ayşe > Barış
- 3 seçmen: Barış > Ayşe > Can
Bu durumda, adayları yalnızca kaç kez birinci sıraya yerleştirildiklerine göre sıralayan ve sıkça kullanılan bir yöntem olan çoğunluk kuralını düşünelim. (Basit seçimlerde bu yöntem, en çok oyu alan adayın kazanması anlamına gelir.) Bu kural, birinci ve üçüncü koşulları sağlarken, ikinciyi sağlamaz.
Kuralın ikinci koşulu sağlamadığını şuradan anlayabiliriz. Can aday olarak yarışa katıldığında, Barış üç seçmen tarafından birinci sıraya yerleştirilirken, Ayşe ve Can yalnızca ikişer kez birinci sırada yer alıyor.
Sonuç olarak, Barış en fazla birinci sıraya yerleştirilen aday oluyor ve seçimi kazanıyor. Ancak dikkat edilirse, seçmenlerin çoğunluğu aslında Ayşe’yi hem Barış’a hem de Can’a tercih etmektedir. Yani, Can’ın katılması, Ayşe’nin kazanmasını engelleyen bir etki yaratıyor.
Okuma Önerisi: Seçim Paradoksu: Seçimin Kazanını Belirlemek Kolay Değildir!
Sonuç Olarak
Felsefeciler yüzyıllardır toplu karar alma süreçleri üzerine düşünmüş olsalar da, Arrow bu konulara matematiksel bir çerçeve kazandırarak yepyeni bir bakış açısı geliştirdi. Daha genel olarak bakıldığında, onun ortaya koyduğu fikirler ekonomi ve siyaset biliminin hem teorisine hem de uygulamasına yön veren yeni alanların doğmasına öncülük etti.
Kaynaklar ve ileri okumalar:
- Amadae, S.M.. “impossibility theorem”. Encyclopedia Britannica, 15 Jan. 2015, https://www.britannica.com/topic/impossibility-theorem. Accessed 1 September 2024.
- Maths in a minute: Arrow’s theorem; yayınlanma tarihi: 29 Mayıs 2013. Kaynak site: Plus Math. Bağlantı: Maths in a minute: Arrow’s theorem
- Kenneth Arrow’s legacy and why elections can be flawed. Yayınlanma tarihi: 1 Mart 2017. Kaynak site. Conversation. Bağlantı: https://doi.org/10.64628/AA.fm9jkyj3h
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
