Diyelim ki elinizde birkaç sayı var ve bunların tipik değerini temsil eden tek bir sayı bulmak istiyorsunuz. Biraz matematik veya istatistik eğitimi aldıysanız, aklınıza ilk olarak ortalama almak gelebilir. Ancak hangi ortalama? Geometrik ortalama mı yoksa aritmetik ortalama mı? Hangisi elinizdeki sayıları en iyi temsil edecektir?
Muhtemelen hemen hepiniz aritmetik ortalamaya alışıksınızdır. Zaten “ortalama” dediğimizde akla ilk gelen her zaman aritmetik ortalama olur. Aritmetik ortalamayı hesaplamak son derece basittir: Elinizdeki tüm sayıları toplar, ardından toplamı sayı adedine bölersiniz.
Örneğin, bir öğrenci karnesine matematik dersinden kaç geleceğini hesaplamak istiyorsa yapması gereken şey, sınav notlarını toplamak ve bu toplamı sınav sayısına bölmektir. Bu yöntem oldukça mantıklıdır ve günlük hayatta en yaygın kullanılan ortalama türüdür. Ancak daha az bilinen ama bazı durumlarda çok daha anlamlı olan bir başka ortalama türü vardır: geometrik ortalama. Peki, geometrik ortalama nedir ve ne zaman kullanmalıyız?
Geometrik ortalama, aritmetik ortalamanın aksine, sayıları toplamak yerine çarpar ve ardından bu çarpımın kökünü alarak bir denge noktası bulur. Örneğin, iki sayının geometrik ortalaması, bu iki sayının çarpımının kareköküdür. Üç sayının geometrik ortalaması ise bu sayıların çarpımının küpköküdür. Peki, bu ortalamanın ne gibi bir faydası var?
Hangi Ortalama Ne Zaman Kullanılmalıdır?
Aritmetik ortalama hoş bir yöntemdir. Dengeli ve adil görünür. Ama geometrik ortalamanın da avantajları vardır. Özellikle toplamsal değil de çarpımsal olarak işleyen süreçlerle çalışırken işe yarar. JBüyük sayıları küçüklere daha fazla yaklaştırma eğilimindedir. Bu özelliği nedeniyle, genellikle düşük değerlere sahip ancak arada birkaç büyük değerin bulunduğu veri setleri için daha iyi bir temsil aracı olur.
Aritmetik ortalama, veriler arasındaki farkları doğrudan topladığı için bazı durumlarda aşırı büyük değerlerden fazlaca etkilenir. Örneğin, yıllık faiz oranlarını veya bir yatırımın yıllık getirisini hesaplarken geometrik ortalama kullanılır.
Diyelim ki bir yatırımınız ilk yıl %50 büyüdü, ikinci yıl ise %10 kayıpla azaldı. Aritmetik ortalama bu değişimleri basitçe toplayıp ikiye bölecektir. Ancak bu yöntem yatırımınızın gerçek büyüme oranını tam olarak yansıtmaz. Geometrik ortalama ise bu oranları çarpar ve kök alarak daha doğru bir gösterge sunar.
Geometrik Ortalama Anlamlı Sonuçlar Elde Etmenize Yarayacaktır
Elinizde bir ekmek, bir kilo et, 1 litre süt ve 1 litre benzinin hem geçen seneki hem de bu seneki fiyatları var. Siz de yaşam koşullarınızın nasıl değiştiğini anlamak istiyorsunuz. Diğer bir deyişle basit bir biçimde enflasyonu hesaplamak istiyorsunuz.. Aritmetik ortalamada önce toplama sonrasında da bölme yaptığımız için farklı birimler ile anlamlı bir sonuç ede etmemiz mümkün değildi. Aşağıda anlamsız bir hesaplama görebilirsiniz.
Ancak hatırlarsanız geometrik ortalama çarpma işlemi ile yapılmaktadır. Sonucunda birimler farklı olsa bile her sene için geometrik ortalamayı hesaplar ve sonrasında elde ettiğiniz rakamları birbirine oranlarsanız, litre, kilogram, metre gibi tüm birimler sadeleşecektir. Geriye sadece sadece bir oran kalacaktır. Aşağıdaki görselde birimlerin kolayca sadeleştiğini görüyorsunuz.
Sonuç olarak ortalamasını almak istediğini şeylerin birimleri farklı işse geometrik ortalama kullanmalısınız. Aynı zamanda verilerin uç değerleri arasındaki fark çok fazla olduğunda da geometrik ortalamayı tercih etmelisiniz.
Ya İki Ortalamayı Aynı Anda Kullanırsak?
Aritmetik-geometrik ortalama, iki sevdiğiniz pozitif sayı arasında, aritmetik ve geometrik ortalamaların bir uzlaşmasını sunarak içinizdeki kararsızlığı dindiren bir yöntemdir.
Bu ortalamayı bulmak için yinelenen bir süreç kullanılır. Her adımda, bir önceki iki sayının aritmetik ve geometrik ortalama hesaplanır. Örneğin, 1 ve 2 ile başlarsanız, ilk adımda 3/2 ve √2 elde edersiniz. Sonraki adımda, 3/2 ve √2’nin aritmetik ortalaması yaklaşık 1.457, geometrik ortalaması ise yaklaşık 1.456 olur. Bu noktada, iki değer birbirine zaten oldukça yakındır ve sonraki yinelemelerde sonuçlar giderek daha fazla yakınsama gösterir. Sürecin sonunda hem aritmetik hem de geometrik ortalamalar aynı limite ulaşır.
Aritmetik-geometrik ortalamanın yaklaşık değerleri oldukça hızlı bir şekilde birbirine yaklaşır. Bu nedenle, irrasyonel sayıların yaklaşık değerlerini hesaplarken kullanılır. Örneğin, bu yöntemle π’nin yaklaşık değerini hesaplamaya yönelik çalışmalar yapılmıştır.
Ayrıca hatırlatalım. Aritmetik ve geometrik ortalamanın yanısıra bir de harmonik ortalama vardır. Ne olduğunu ve nasıl çalıştığını anlamak için de bu yazımıza göz atmanız gerekecektir. Hız Hesaplarken Harmonik Ortalamayı Dikkate Almayı Unutmayın!
Kaynaklar ve ileri okumalar
- How to calculate an average if you’re indecisive. Yayınlanma tarihi: 26 Kasım 2019; Bağlantı: How to calculate an average if you’re indecisive./
- Outer space: Pretty mean prices. Yayınlanma tarihi: 1 Eylül 2008; Bağlantı: Outer space: Pretty mean prices/
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
